Tensotorio

En matemàtiques i física teòrica, un tensotorio es referix a l'aplicació iterada del producte tensorial sobre una seqüència finita o infinita de tensors. És una operació que generalisa l'idea d'agregació de tensors en espais de dimensions superiors. El terme "tensotorio" és un neologisme falcat per a descriure este procés de manera anàloga a "sumatorio" (para sumixques) i "productorio" (per a productes).

Definició

Donada una seqüència de tensors $T_{1}, T_{2}, \dots, T_{n}$ , el tensotorio es definix com el producte tensorial iterado:

$⨂_{i = 1}^{n} T_{i} = T_{1} \otimes T_{2} \otimes \dots \otimes T_{n}$

Ací, $\otimes$ denota l'operador de producte tensorial, i el resultat és un tensor de dimensions superiors que el seu ranc és la suma dels rancs dels tensors individuals.

Propietats

Asociatividad: El producte tensorial és associatiu:

$(T_{1} \otimes T_{2}) \otimes T_{3} = T_{1} \otimes (T_{2} \otimes T_{3})$ Per lo tant, l'orde de les operacions en un tensotorio no afecta el resultat.

No conmutatividad: El producte tensorial generalment no és conmutativo:

$T_{1} \otimes T_{2} \neq T_{2} \otimes T_{1}$

Linealidad: El tensotorio és llineal sobre l'adició de tensors:

$⨂_{i = 1}^{n} (T_{i} + T'_{i}) = ⨂_{i = 1}^{n} T_{i} + ⨂_{i = 1}^{n} T'_{i}$

Dimensionalidad: Si $T_{i}$ són tensors de dimensions $d_{i}$ , el tensor resultant del tensotorio tindrà una dimensió igual al producte de $d_{i}$ :

$dim (⨂_{i = 1}^{n} T_{i}) = \prod_{i = 1}^{n} dim (T_{i})$

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Tensotorio» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.