Producte tensorial topològic

En matemàtiques, normalment hi ha moltes formes diferents de construir un producte tensorial topològic de dos espais vectorials topològics. Para espais de Hilbert o espais nuclears existix una teoria senzilla en bon comportament del producte tensorial (vore producte tensorial d'espais de Hilbert), pero per a espais de Banach o espais vectorials topològics convexos generals la teoria és notòriament sotil.

Motivació

Una de les motivacions originals dels productes tensoriales topològics $\hat{\otimes }$ és el fet de que els productes tensoriales dels espais de funcions suaus de valors reals en ${ℝ}^n$ no es comporten com s'esperava. Existix una injecció

$C^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)\otimes C^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^m)\hookrightarrow C^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^{n+m})$

pero este no és un isomorfisme. Per eixemple, la funció $f(x,y)=e^{xy}$ no es pot expressar com una combinació llineal finita de funcions suaus en

$C^{\mathrm{\infty }}({ℝ}_x)\otimes C^{\mathrm{\infty }}({ℝ}_y).$

Solament s'obté un isomorfisme despuix de construir el producte tensorial topològic; és dir,

$C^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)\hat{\otimes }{C}^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^m)\cong C^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^{n+m}).$

Este artícul detalla primer la construcció en el cas dels espais de Banach. L'espai $C^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)$ no és un espai de Banach, i al final s'analisen més casos.

Productes tensoriales d'espais de Hilbert

Artícul principal → Producte tensorial d'espais de Hilbert.

El producte tensorial algebraic de dos espais de Hilbert A i B té una forma sesquilineal (producte escalar) definit positiu natural induït per les formes sesquilineales de A i B. Llavors, en particular, posseïx una forma quadràtica definida positiva natural, i la completación corresponent és un espai de Hilbert A ⊗ B, cridat producte tensorial (espai de Hilbert) de A i B.

Si els vectores a_i i b_j són bases ortonormals de A i de B, llavors els vectores a_i⊗b_j formen una base ortonormal de A ⊗ B.

Vore també

• Espai de Fréchet
• Núcleu de Fredholm
• Producte tensorial inductivo
• Producte tensorial inyectivo
• Producte tensorial proyectivo
• Topología inicial
• Producte tensorial d'espais de Hilbert

Bibliografia

• (2002).«Introduction to Tensor Products of Banach Spaces».Springer..
• (1955).«Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires».Memoirs of the American Mathematical Society.16.