Patologia (matemàtiques)
En matemàtiques, quan una entitat matemàtica o alguna de les seues propietats comporta l'obtenció d'un resultat inesperat, que va en contra de l'intuïció, se sol parlar d'una patologia (o també d'un fenomen patològic o d'un cas patològic). Pel contrari, si un resultat no va en contra de l'intuïció, llavors se sol parlar de bon comportament. Estos térmens a voltes són útils en l'investigació i l'ensenyança de les matemàtiques, pero no existix una definició matemàtica estricta dels conceptes de patologia i de bon comportament.[1]
En anàlisis
[editar | editar còdic]Un eixemple clàssic de patologia és la funció de Weierstrass, que és contínua en tots els llocs, pero que no és diferenciable en part alguna.[1] La suma d'una funció diferenciable i la funció de Weierstrass és novament contínua pero diferenciable en cap punt, per lo que hi ha a lo manco tantes funcions diferenciables com no diferenciables. De fet, usant el teorema de categories de Baire, es pot demostrar que les funcions contínues són genèricament no diferenciables.[2]
Els eixemples que figuren més alvance es varen considerar patològics quan es varen descobrir per primera volta. Citant a Henri Poincaré:[3]
Des de Poincaré, s'ha demostrat que les funcions no diferenciables en part alguna apareixen en processos físics i biològics bàsics com el moviment browniano, i en aplicacions com el model de Black-Scholes en finances.
"Counterexamples in Analysis" (Contraeixemples en anàlisis) és un llibre complet dedicat a este tipo de contraeixemples.[4]
En topología
[editar | editar còdic]Un contraeixemple famós en topología és l'esfera en banyes d'Alexander, que mostra que incrustar topológicamente l'esfera S2 en 'R3 pot no conseguir separar l'espai limpiamente. Com a contraeixemple, va motivar als matemàtics a definir la propietat de mansedumbre, que suprimix el tipo de comportament salvage exhibit per l'esfera cornuda, el nuc salvage, i atres eixemples similars.[5]
Com moltes atres patologies, l'esfera cornuda juga en cert sentit en una estructura infinitament fina i generada recursivamente, que en última instància viola l'intuïció ordinària. En este cas, la topología d'una cadena sempre descendent de bucles entrellaçats de peces contínues de l'esfera en el llímit reflectix plenament la de l'esfera comuna, i seria esperable que el seu exterior, despuix d'una incrustación, funcionara de la mateixa manera. No obstant, no és aixina, i no conseguix ser un conjunt simplement conexo.
Per a conéixer la teoria subjacent, consulte's el teorema de Jordan-Schönflies.
Contraeixemples en topología és un llibre complet dedicat a este tipo de casos.[6]
Vore també
[editar | editar còdic]Notes
[editar | editar còdic]Referències
[editar | editar còdic]- ↑ 1,0 1,1 Weisstein, Eric W.. «Pathological» (en en).
- ↑ «Baire Category & Nowhere Differentiable Functions (Part One)».
- ↑ Kline, Morris. Mathematical thought from ancient to modern claves., Oxford University Press, pp. 973. OCLC 1243569759.
- ↑ Gelbaum, Bernard R.. Counterexamples in analysis, John M. H. Olmsted, Sant Francisco: Holden-Day. OCLC 527671. ISBN 0-486-42875-3.
- ↑ Weisstein, Eric W.. «Alexander's Horned Sphere» (en en).
- ↑ Steen, Lynn Arthur. Counterexamples in topology, J. Arthur Seebach, New York: Dover Publications. OCLC 32311847. ISBN 0-486-68735-X.
- Este artícul conté una traducció derivada de «Patología (matemáticas)» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.