Teorema de Jordan-Schönflies

En topología geomètrica, la teorema de Jordan–Schönflies, o simplement la teorema de Schönflies és una generalisació del teorema de la curva de Jordan.

Enunciat

La teorema senyala que qualsevol curva tancada simple del pla no només dividix el pla en dos regions, una acotada (l'interna), i una atra no acotada (l'externa) (com afirma el teorema de la curva de Jordan), sino que ademés estes regions són homeomorfas, respectivament, a l'interior i l'exterior en un círcul. De manera més precisa: Donada qualsevol curva tancada simple del pla, existix una transformació contínua biyectiva en inversa contínua del pla en sí mateixa, de modo de que la curva es torne una circumferència (les regions interna i externa de la curva es convertirien en les de la circumferència).

Tal teorema és vàlit només en el cas de dos dimensions. En tres dimensions existixen contraeixemples, com l'esfera cornuda d'Alexander. Encara que és homeomorfa a una esfera i dividix l'espai en dos regions, estes no són homeomorfas a l'interior i l'exterior d'una esfera normal.

Generalisacions

Existix una generalisació per a més dimensions, gràcies a Morton Brown, i independentment a Barry Mazur i Marston Morse, que també és cridat la Teorema de Schönflies. Diu que si una esfera (n − 1)-dimensional S està incrustada dins d'una esfera n-dimensional Sⁿ d'una manera localment plana, llavors el parell (Sⁿ, S) és homeomorfo al parell (Sⁿ, Sⁿ⁻¹), a on Sⁿ⁻¹ és l'equador de la n-esfera. Brown i Mazur varen rebre el Premi Oswald Veblen en Geometria per les seues contribucions.

Referències

• Brown, Morton (1960), A proof of the generalized Schoenflies theorem. Bull. Amer. Math. Soc., vol. 66, pp. 74–76. Plantilla:MathSciNet
• Mazur, Barry, On embeddings of spheres. Bull. Amer. Math. Soc. 65 1959 59--65. Plantilla:MathSciNet
• Morse, Marston, A reduction of the Schoenflies extension problem, Bull. Amer. Math. Soc. 66 1960 113--115. Plantilla:MathSciNet