Funció de Weierstrass

Funció de Weierstrass en l'interval [-2, 2]. La funció té un comportament fractal.

La funció de Weierstrass és una funció definida pel matemàtic Karl Weierstraß. Està definida en la recta i pren valors reals. És una funció contínua en tot punt i no és derivable o diferenciable en cap. Ademés, el gràfic de la funció de Weierstrass és una curva no rectificable de dimensió fractal $D$ superior a 1 (de fet, en 2018 es va demostrar finalment que $1<D<2$).

Introducció

La funció de Weierstrass va ser la primera coneguda en esta propietat. D'esta manera, Weierstrass va mostrar que era falsa la conjectura que circulava en aquella época que afirmava que les funcions contínues eren diferenciables llevat en punts aïllats.

La funció, tal com la va definir Weierstrass, és la següent:

a on $0<a<1$, $b$ és un sancer impar i positiu i complixen que

La prova de que la funció és contínua és senzilla. Ya que les sumes parcials són contínues i que la série és uniformemente convergent, es deduïx que el llímit és continu. Una atra propietat interessant d'esta funció és la seua condició fractal. Si ben el seu gràfic no és rigorosament autosemejante (vore ampliació en el gràfic, dalt), la dimensió del mateix gràfic no és un ni dos. De fet la dimensió de Hausdorff està acotada inferiorment per:

$D=2+\frac{\log a}{\log b}$

i durant molt temps es va assumir que eixa era el seu valor. Finalment, en 2018, es va poder demostrar que este era el valor correcte i per tant que D és estrictament menor que 2, es deduïx de les condicions sobre $a$ i $b$ mencionades anteriorment. Per lo que solament despuix de més de 30 anys açò va ser demostrat rigorosament.