Producte tensorial inyectivo

En matemàtiques, el producte tensorial inyectivo de dos espais vectorials topològics (EVTs) va ser introduït per Alexander Grothendieck, que ho va utilisar per a definir els espais nuclears. En general, un producte tensorial inyectivo no és necessàriament complet, per lo que el seu completación es denomina . Els productes tensoriales inyectivos tenen aplicacions fòra dels espais nuclears. En particular, com es descriu a continuació, molts EVTs que es definixen per a funcions en valors reals o complexos, per eixemple, l'espai de Schwartz o l'espai de funcions contínuament diferenciables, es poden estendre immediatament a funcions valorades en un EVT localment convexo de Hausdorff $Y$ necessitat alguna d'estendre definicions (com "diferenciable en un punt") de funcions en valors reals/complexos a funcions en valors en $Y$.

Preliminars i notació

Sean $X,Y,$ i $Z$ espais vectorials topològics, i $L:X\to Y$ una aplicació llineal.

• $L:X\to Y$ és un homomorfisme topològic o homomorfisme, si és llineal, continu, i $L:X\to \mathrm{Im}L$ és una aplicació oberta, a on $\mathrm{Im}L=L(X)$ té la topología subespacial induïda per $Y$
  • Si $S$ és un subespacio de $X$, llavors tant l'aplicació cocient $X\to X/S$ com l'injecció canònica $S\to X$ són homomorfismes. En particular, qualsevol aplicació llineal $L:X\to Y$ es pot descompondre canónicamente de la següent manera: $X\to X/\ker L\stackrel{L_0}{\to }\mathrm{Im}L\to Y$ a on $L_0(x+\ker L):=L(x)$ definix una biyección.
• El conjunt d'aplicacions llineals contínues $X\to Z$ (respectivament, aplicacions bilineales contínues $X\times Y\to Z$) es denotarà per $L(X;Z)$ (respectivament, $B(X,Y;Z)$), a on si $Z$ és el cos escalar, llavors es pot escriure $L(X)$ (respectivament, $B(X,Y)$).
• El conjunt d'aplicacions bilineales contínues separadament $X\times Y\to Z$ (és dir, contínues en cada variable quan l'atra variable és fixa) es denotarà per $ℬ(X,Y;Z)$ a on, si $Z$ és el cos escalar, llavors es pot escriure $ℬ(X,Y).$
• Denote's l'espai dual de $X$ per $X^{\prime }$ i l'espai dual algebraic (que és l'espai vectorial de tots els funcionals llineals en $X,$ siguen contínues o no) per $X^{\mathrm{\#}}.$
  • Per a aumentar la claritat de l'exposició, s'usa la convenció comuna d'escriure elements de $X^{\prime }$ en una comilla despuix del símbol (per eixemple, $x^{\prime }$ denota un element de $X^{\prime }$ (no confondre en una derivada) i les variables $x$ i $x^{\prime }$ en general no estan relacionades de manera alguna.

Notació per a topología

Artícul principal → Topología en espais d'aplicacions llineals.

• $\sigma (X,X^{\prime })$ denota la topología més grossa en $X$, lo que fa que cada aplicació en $X^{\prime }$ siga contínua i $X_{\sigma (X,X^{\prime })}$ o $X_{\sigma }$ denota $X$ dotat en esta topología.
• $\sigma (X^{\prime },X)$ denota la topología dèbil sobre $X^{\prime }$ i $X_{\sigma (X^{\prime },X)}$ o $X_{\sigma }^{\prime }$ denota $X^{\prime }$ dotat en esta topología.
  • Tinga's en conte que cada $x_0\in X$ induïx una aplicació $X^{\prime }\to ℝ$ definida per $\lambda \mapsto \lambda \left(x_0\right).$ $\sigma (X^{\prime },X)$ és la topología més grossa en X', lo que fa que totes eixes aplicacions siguen contínues.
• $b(X,X^{\prime })$ denota la topología de convergència acotada en $X$ i $X_{b(X,X^{\prime })}$ o $X_b$ denota $X$ dotat en esta topología.

• $b(X^{\prime },X)$ denota la topología de convergència llimitada en $X^{\prime }$ o la topología dual forta en $X^{\prime }$ i $X_{b(X^{\prime },X)}$ o $X_b^{\prime }$ denota $X^{\prime }$ dotat en esta topología.
  • Com és habitual, si $X^{\prime }$ es considera com un espai vectorial topològic pero no s'ha deixat clar en quina topología està dotat, llavors s'assumirà que la topología és $b(X^{\prime },X).$
• $\tau (X,X^{\prime })$ denota la topología de Mackey en $X$ o la topología de convergència uniforme en els subconjunts convexos equilibrats débilmente compactes de $X^{\prime }$ i $X_{\tau (X,X^{\prime })}$ o $X_{\tau }$ denota $X$ dotat en esta topología. $\tau (X,X^{\prime })$ és la topología més fina en un EVT localment convexo $X$, l'espai dual del qual continu és igual a $X^{\prime }.$
• $\tau (X^{\prime },X)$ denota la topología de Mackey sobre $X^{\prime }$ o la topología de convergència uniforme en els subconjunts convexos equilibrats débilmente compactes de $X$ i $X_{\tau (X^{\prime },X)}$ o $X_{\tau }^{\prime }$ denota $X$ dotat d'esta topología.
  • Tinga's en conte que $\tau (X^{\prime },X)\subseteq b(X^{\prime },X)\subseteq \tau (X^{\prime },X^{\prime \prime }).$
• $\epsilon (X,X^{\prime })$ denota la 'topología de convergència uniforme en subconjunts equicontinuos de $X^{\prime }$ i $X_{\epsilon (X,X^{\prime })}$ o $X_{\epsilon }$ denota $X$ dotat en esta topología.
  • Si $H$ és un conjunt d'aplicacions llineals $X\to Y$, llavors $H$ és equicontinuo si i solament si és equicontinuo en l'orige; és dir, si i solament si per a cada entorn $V$ de l'orige en $Y,$ existix un entorn $U$ de l'orige en $X$ tal que $\lambda (U)\subseteq V$ per a cada $\lambda \in H.$
• Un conjunt $H$ d'aplicacions llineals de $X$ a $Y$ es diu equicontinuo si per a cada entorn $V$ de l'orige en $Y,$ existix un entorn $U$ de l'orige en $X$ tal que $h(U)\subseteq V$ para tot $h\in H.$

Definició

En tot moment, es considra que $X$ i $Y$ són espais vectorials topològics en espais duals continus $X^{\prime }$ i $Y^{\prime }.$ Tinga's en conte que casi tots els resultats descrits són independents de si estos espais vectorials estan sobre $ℝ$ o sobre $ℂ$, pero per a simplificar l'exposició s'assumix que estan sobre el cos $ℂ.$

Aplicacions bilineales contínues com a producte tensorial

A pesar de que el producte tensorial $X\otimes Y$ és una construcció purament algebraica (la seua definició no implica cap topología), l'espai vectorial $B(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime })$ de funcionals bilineales continus és sempre un producte tensorial de $X$ i $Y$ (és dir, $B(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime })=X\otimes Y$) quan es definix $\otimes$ en la forma ara descrita.

Per a cada $(x,y)\in X\times Y,$ denote's per $x\otimes y$ la forma bilineal en $X^{\prime }\times Y^{\prime }$ definida per

$(x\otimes y)(x^{\prime },y^{\prime }):=x^{\prime }(x)y^{\prime }(y).$

Este aplicació $x\otimes y:X_{\sigma }^{\prime }\times Y_{\sigma }^{\prime }\to ℂ$ és sempre contínua, i per lo tant, l'assignació que envia $(x,y)\in X\times Y$ a la forma bilineal $x\otimes y$ induïx una aplicació canònica.

$\cdot \otimes \cdot :X\times Y\to ℬ(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime })$

l'image del qual $X\otimes Y$ està continguda en $B(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }).$ De fet, cada forma bilineal contínua en $X_{\sigma }^{\prime }\times Y_{\sigma }^{\prime }$ pertany a l'interval de l'image d'esta aplicació (és dir, $B(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime })=\mathrm{span}(X\otimes Y)$). La següent teorema es pot utilisar per a verificar que

$B(X{\prime }_{\sigma },Y_{\sigma }^{\prime })$ junt en l'aplicació anterior $\otimes$ és un producte tensorial de $X$ i $Y.$

Topología

D'ara en avant, se supondrà que tots els espais vectorials topològics considerats són localment convexos. Si $Z$ és qualsevol espai vectorial topològic localment convexo, llavors $ℬ(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime };Z)\subseteq ℬ(X_b^{\prime },Y_b^{\prime };Z)$ i per a qualsevol subconjunt equicontinuo $G\subseteq X^{\prime }$ i $H\subseteq Y^{\prime },$ i qualsevol entorn $N$ en $Z,$ es definixen

$𝒰(G,H,N)=\{b\in ℬ(X_b^{\prime },Y_b^{\prime };Z):b(G,H)\subseteq N\}$

a on cada conjunt $b(G\times H)$ està acotat en $Z,$ lo que és necessari i suficient per a que la colecció de tots els $𝒰(G,H,N)$ forme una topología en un EVT localment convexo en $ℬ(X_b^{\prime },Y_b^{\prime };Z).$ Esta topología es diu topología $\epsilon$ i sempre que un espai vectorial estiga dotat de la topología $\epsilon$, açò s'indicarà colocant $\epsilon$ com a subíndex abans del paréntesis d'obertura. Per eixemple, $ℬ(X_b^{\prime },Y_b^{\prime };Z)$ dotat en la topología $\epsilon$ s'indicarà com ${ℬ}_{\epsilon }(X_b^{\prime },Y_b^{\prime };Z).$ Si $Z$ és de Hausdorff, llavors també ho és la topología $\epsilon$.

En el cas especial en el que $Z$ és el cos escalar subjacent, $B(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime })$ és el producte tensorial $X\otimes Y$, per lo que l'espai vectorial topològic $B_{\epsilon }(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime })$ es denomina producte tensorial inyectivo de $X$ i $Y$ i es denota per $X{\otimes }_{\epsilon }Y.$ Este EVT no és necessàriament complet, per lo que es construirà el seu completación, indicada per $X{\hat{\otimes }}_{\epsilon }Y,$. Quan tots els espais són de Hausdorff, llavors ${ℬ}_{\epsilon }(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime })$ està complet si i solament si tant $X$ com $Y$ estan complets, en el cas de la qual la completación $X{\hat{\otimes }}_{\epsilon }Y$ de $B_{\epsilon }(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime })$ és un subespacio vectorial de $ℬ(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }).$ Si $X$ i $Y$ són espais normados, llavors també ho és ${ℬ}_{\epsilon }(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }),$ a on ${ℬ}_{\epsilon }(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime })$ és un espai de Banach si i solament si açò és cert tant per a $X$ com para $Y.$

Conjunts equicontinuos

Una raó per a convergir en subconjunts equicontinuos (de tots els tipos) és el següent fet important:

Un conjunt de funcionals llineals continus $H$ en un EVT $X$ és equicontinuo si i solament si està contingut en el polar d'algun entorn $U$ de l'orige en $X$; és dir, $H\subseteq U^{\circ }.$

La topología d'un EVT està completament determinada pels entorns oberts de l'orige. Este fet, junt en el teorema bipolar, significa que per mig de l'operació de prendre la polar d'un subconjunt, la colecció de tots els subconjunts equicontinuos de $X^{\prime }$ "codifica" tota l'informació sobre la topología donada de $X$. Específicament, distintes topología d'un EVT localment convexo en $X$ produïxen distintes coleccions de subconjunts equicontinuos i, a l'inversa, donada qualsevol colecció de conjunts equicontinuos, la topología original d'un EVT es pot recuperar prenent el polar de cada conjunt (equicontinuo) de la colecció. Aixina, a través d'esta identificació, la convergència uniforme en la colecció de subconjunts equicontinuos és essencialment una convergència uniforme en la topología mateixa de el EVT. Açò permet relacionar directament la topología inyectiva en les topología donades de $X$ i $Y.$

Ademés, la topología d'un espai de Hausdorff localment convexo $X$ és idèntica a la topología de convergència uniforme en els subconjunts equicontinuos de $X^{\prime }.$.

Per esta raó, en l'artícul s'enumeren algunes propietats de conjunts equicontinuos que són rellevants per a tractar en el producte tensorial inyectivo. $X$ i $Y$ són qualsevol espai localment convexo i $H$ és una colecció d'aplicacions llineals de $X$ sobre $Y.$

• Si $H\subseteq L(X;Y)$ és equicontinua, llavors les topología subespaciales que $H$ hereta de les següents topología en $L(X;Y)$ són idèntiques:
• La topología de la convergència precompacta.
• La topología de la convergència compacta.
• La topología de la convergència puntual.
• La topología de la convergència puntual en un subconjunt dens dau de $X.$
• Un conjunt equicontinuo $H\subseteq L(X;Y)$ està acotat en la topología de convergència acotada (és dir, acotat en $L_b(X;Y)$). Llavors, en particular, $H$ també estarà acotat en cada topología de el EVT que siga més grossa que la topología de convergència acotada.
• Si $X$ és un espai barrilado i $Y$ és localment convexo, llavors per a qualsevol subconjunt $H\subseteq L(X;Y),$ les següents expressions són equivalents:
  1. $H$ és equicontinuo.
  2. $H$ està acotat en la topología de convergència puntual (és dir, acotat en $L_{\sigma }(X;Y)$).
  3. $H$ està acotat en la topología de convergència acotada (és dir, acotat en $L_b(X;Y)$).

En particular, per a demostrar que un conjunt $H$ és equicontinuo basta demostrar que està acotat en la topología de convergència puntual.

• Si $X$ és un espai de Baire, llavors qualsevol subconjunt $H\subseteq L(X;Y)$ que estiga acotat en $L_{\sigma }(X;Y)$ és necessàriament equicontinuo.
• Si $X$ és separable, $Y$ és metrisable i $D$ és un subconjunt dens de $X,$ llavors la topología de convergència puntual en $D$ fa que $L(X;Y)$ siga metrisable, de modo que, en particular, la topología subespacial que qualsevol subconjunt equicontinuo $H\subseteq L(X;Y)$ hereta de $L_{\sigma }(X;Y)$ és metrisable.

Per a subconjunts equicontinuos de l'espai dual continu $X^{\prime }$ (a on $Y$ és ara el cos escalar subjacent de $X$), es complix lo següent:

• El tancament dèbil d'un conjunt equicontinuo de funcionals llineals en $X$ és un subespacio compacte de $X_{\sigma }^{\prime }.$
• Si $X$ és separable, llavors cada subconjunt equicontinuo débilmente tancat de $X_{\sigma }^{\prime }$ és un espai compacte metrisable quan se li dona la topología dèbil (és dir, la topología subespacial heretada de $X_{\sigma }^{\prime }$).
• Si $X$ és un espai normal, llavors un subconjunt $H\subseteq X^{\prime }$ és equicontinuo si i solament si està fortament acotat (és dir, acotat en $X_b^{\prime }$).
• Si $X$ és un espai barrilado, llavors per a qualsevol subconjunt $H\subseteq X^{\prime },$ lo següent és equivalent:
  1. $H$ és equicontinuo.
  2. $H$ és relativament compacte en la topología dual dèbil.
  3. $H$ està débilmente acotat.
  4. $H$ està fortament acotat.

Es mencionen algunes propietats bàsiques importants adicionals rellevants per al producte tensorial inyectivo:

• Suponga's que $B:X_1\times X_2\to Y$ és una aplicació bilineal a on $X_1$ és un espai de Fréchet, $X_2$ és metrisable i $Y$ és localment convexo. Si $B$ és continu per separat, llavors és continu.

Identificació canònica d'aplicacions bilineales contínues per separat en aplicacions llineals

L'igualtat establida $L(X_{\sigma }^{\prime };Y_{\sigma })=L(X_{\tau }^{\prime };Y)$ sempre es complix; és dir, si $u:X^{\prime }\to Y$ és una aplicació llineal, llavors $u:X_{\sigma (X^{\prime },X)}^{\prime }\to Y_{\sigma (Y,Y^{\prime })}$ és contínua si i solament si $u:X_{\tau (X^{\prime },X)}^{\prime }\to Y$ és contínua, a on ací $Y$ té la seua topología original.

També existix un isomorfisme canònic en l'espai vectorial

$J:ℬ(X_{\sigma (X^{\prime },X)}^{\prime },Y_{\sigma (Y^{\prime },Y)}^{\prime })\to L(X_{\sigma (X^{\prime },X)}^{\prime };Y_{\sigma (Y,Y^{\prime })}).$

En la finalitat de definir-ho, per a cada forma bilineal contínua per separat $B$ definida en $X_{\sigma (X^{\prime },X)}^{\prime }\times Y_{\sigma (Y^{\prime },Y)}^{\prime }$ i cada $x^{\prime }\in X^{\prime },$ considere's que $B_{x^{\prime }}\in {\left(Y_{\sigma }^{\prime }\right)}^{\prime }$ es definixca per

$B_{x^{\prime }}\left(y^{\prime }\right):=B(x^{\prime },y^{\prime }).$

Degut a que ${\left(Y_{\sigma }^{\prime }\right)}^{\prime }$ és canónicamente isomorfo en l'espai vectorial de $Y$ (a través del valor de l'aplicació canònica $y\mapsto$ en $y$), $B_{x^{\prime }}$ s'identificarà com un element de $Y,$ que es denotarà per ${\tilde{B}}_{x^{\prime }}\in Y.$ Açò definix una aplicació $\tilde{B}:X^{\prime }\to Y$ donada per $x^{\prime }\mapsto {\tilde{B}}_{x^{\prime }}$ i, per lo tant, l'isomorfisme canònic està, per supost, definit per $J(B):=\tilde{B}.$

Quan a $L(X_{\sigma }^{\sigma };Y_{\sigma })$ se li dona la topología de convergència uniforme en subconjunts equicontinuos de $X^{\prime },$ l'aplicació canònica es convertix en un isomorfisme de EVTs

$J:{ℬ}_{\epsilon }(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime })\to L_{\epsilon }(X_{\tau }^{\prime };Y).$

En particular, $X{\otimes }_{\epsilon }Y=B_{\epsilon }(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime })$ pot integrar-se canónicamente en un EVT en $L_{\epsilon }(X_{\tau }^{\prime };Y)$. Ademés, l'image en $L(X_{\sigma }^{\prime };Y_{\sigma })$ de $X{\otimes }_{\epsilon }Y=B_{\epsilon }(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime })$ baixe l'aplicació canònica $J$ consistix exactament en l'espai d'aplicacions llineals contínues $X_{\sigma (X^{\prime },X)}^{\prime }\to Y$ l'image de les quals és de dimensió finita.

L'inclusió $L(X_{\tau }^{\prime };Y)\subseteq L(X_b^{\prime };Y)$ sempre es manté. Si $X$ està normado, llavors $L_{\epsilon }(X_{\tau }^{\prime };Y)$ és de fet un subespacio vectorial topològic de $L_b(X_b^{\prime };Y).$ I si ademés $Y$ és de Banach, llavors també ho és $L_b(X_b^{\prime };Y)$ (inclús si $X$ no està complet).

Propietats

L'aplicació canònica $\cdot \otimes \cdot :X\times Y\to ℬ(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime })$ és sempre contínua i la topología és sempre més gruedsa que la topología π, que a la seua volta és més grossa que la topología inductiva (la topología de el EVT localment convexo més fina que fa que $X\times Y\to X\otimes Y$ siga contínua separadament). L'espai $X{\otimes }_{\epsilon }Y$ és de Hausdorff si i solament si tant $X$ com $Y$ són de Hausdorff.

Si $X$ i $Y$ estan normalisats, llavors $X{\otimes }_{\epsilon }Y$ és normal, en el cas del qual per a tots $\theta \in X\otimes Y,$ $\Vert \theta {\Vert }_{\epsilon }\le \Vert \theta {\Vert }_{\pi }.$

Suponga's que $u:X_1\to Y_1$ i $v:X_2\to Y_2$ són dos aplicacions llineals entre espais localment convexos. Si tant $u$ com $v$ són contínues, llavors també ho és el seu producte tensorial $u\otimes v:X_1{\otimes }_{\epsilon }{X}_2\to Y_1{\otimes }_{\epsilon }{Y}_2.$ Ademés:

• Si $u$ i $v$ són abdós espais vectorials topològics, llavors també ho és $u{\hat{\otimes }}_{\epsilon }v:X_1{\hat{\otimes }}_{\epsilon }{X}_2\to Y_1{\hat{\otimes }}_{\epsilon }{Y}_2.$
• Si $X_1$ (respectivament, $Y_1$) és un subespacio llineal de $X_2$ (respectivament, $Y_2$), llavors $X_1{\otimes }_{\epsilon }{Y}_1$ és canónicamente isomorfo a un subespacio llineal de $X_2{\otimes }_{\epsilon }{Y}_2$ i $X_1{\hat{\otimes }}_{\epsilon }{Y}_1$ és canónicamente isomorfo a un subespacio llineal de $X_2{\hat{\otimes }}_{\epsilon }{Y}_2.$
• Hi ha eixemples de $u$ i $v$ de modo que tant $u$ com $v$ són homomorfismes sobreyectivos, pero $u{\hat{\otimes }}_{\epsilon }v:X_1{\hat{\otimes }}_{\epsilon }{X}_2\to Y_1{\hat{\otimes }}_{\epsilon }{Y}_2$ és un homomorfisme.
• Si els quatre espais estan normalisats, llavors $\Vert u\otimes v{\Vert }_{\epsilon }=\Vert u\Vert \Vert v\Vert .$

Relació en el producte tensorial proyectivo i els espais nuclears

Artícul principal → Producte tensorial proyectivo.

La topología proyectiva o la topología $\pi$ és la topología localment convexa més fina sobre $B(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime })=X\otimes Y$ que fa contínua l'aplicació canònica $X\times Y\to B(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime })$ definida enviant $(x,y)\in X\times Y$ a la forma bilineal $x\otimes y.$ Quan $B(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime })=X\otimes Y$ està dotat d'açò topología, llavors es denotarà per $X{\otimes }_{\pi }Y$ i es dirà producte tensorial proyectivo de $X$ i $Y.$

Grothendieck va utilisar la següent definició per a definir els espais nuclears:

Definició 0: Siga $X$ un espai vectorial topològic localment convexo. Llavors, $X$ és nuclear si per a qualsevol espai localment convexo $Y,$ l'espai vectorial canònic que embebe $X{\otimes }_{\pi }Y\to {ℬ}_{\epsilon }(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime })$ és un embebido d'un EVT l'image del qual és densa en el codominio.

Identificacions canòniques d'aplicacions bilineales i llineals

En esta secció es descriuen identificacions canòniques entre espais d'aplicacions bilineales i llineals. Estes identificacions s'utilisaran per a definir subespacios i topología importants (particularment, aquells que es relacionen en operadors nuclears i espais nuclears).

Espais duals del producte tensorial inyectivo i el seu completación

Suponga's que

$\mathrm{In}:X{\otimes }_{\epsilon }Y\to X{\hat{\otimes }}_{\epsilon }Y$

denota el embebido en un EVT de $X{\otimes }_{\epsilon }Y$ en el seu completación, i siga

${}^t\mathrm{In}:{\left(X{\hat{\otimes }}_{\epsilon }Y\right)}_b^{\prime }\to {\left(X{\otimes }_{\epsilon }Y\right)}_b^{\prime }$

que és el seu matriu transpuesta, un isomorfisme espacial vectorial. Açò identifica l'espai dual continu de $X{\otimes }_{\epsilon }Y$ com a idèntic a l'espai dual continu de $X{\hat{\otimes }}_{\epsilon }Y.$

L'aplicació identitat

${\mathrm{Id}}_{X\otimes Y}:X{\otimes }_{\pi }Y\to X{\otimes }_{\epsilon }Y$

és contínua (per definició de la topología π), per lo que existix una extensió llineal contínua única

$\hat{I}:X{\hat{\otimes }}_{\pi }Y\to X{\hat{\otimes }}_{\epsilon }Y.$

Si $X$ i $Y$ són espais de Hilbert, llavors $\hat{I}:X{\hat{\otimes }}_{\pi }Y\to X{\hat{\otimes }}_{\epsilon }Y$ és inyectiva i el dual de $X{\hat{\otimes }}_{\epsilon }Y$ és canónicamente isométricamente isomorfo a l'espai vectorial $L^1(X;Y^{\prime })$ d'operadors nuclears de $X$ a $Y$ (en la norma de la traça).

Producte tensorial inyectivo d'espais de Hilbert

Existix una aplicació canònica

$K:X\otimes Y\to L(X^{\prime };Y)$

que envia $z=\sum _{i=1}^n{x}_i\otimes y_i$ a l'aplicació llineal $K(z):X^{\prime }\to Y$ definida per

$K(z)\left(x^{\prime }\right):=\sum _{i=1}^n{x}^{\prime }(x_i)y_i\in Y,$

a on es pot demostrar que la definició de $K(z):X\to Y$ no depén de l'elecció particular de representació ${\sum }_{i=1}^n{x}_i\otimes y_i$ de $z.$ L'aplicació

$K:X{\otimes }_{\epsilon }Y\to L_b(X_b^{\prime };Y)$

és contínua, i quan $L_b(X_b^{\prime };Y)$ està complet, té una extensió contínua

$\hat{K}:X{\hat{\otimes }}_{\epsilon }Y\to L_b(X_b^{\prime };Y).$

Quan $X$ i $Y$ són espais de Hilbert, llavors $\hat{K}:X{\hat{\otimes }}_{\epsilon }Y\to L_b(X_b^{\prime };Y)$ és un embebido d'un EVT i una isometría (quan els espais reben les seues normes habituals) el ranc de les quals és l'espai de tots els operadors llineals compactes des de $X$ fins a $Y$ (que és un subespacio vectorial tancat de $L_b(X^{\prime };Y).$ Per lo tant, $X{\hat{\otimes }}_{\epsilon }Y$ és idèntic a l'espai d'operadors compactes de $X^{\prime }$ a $Y$ (tinga's en conte la comilla en $X$). L'espai d'operadors llineals compactes entre dos espais de Banach qualssevol (que inclouen als espais de Hilbert) $X$ i $Y$ és un subconjunt tancat de $L_b(X;Y).$

Ademés, l'aplicació canònica $X{\hat{\otimes }}_{\pi }Y\to X{\hat{\otimes }}_{\epsilon }Y$ és inyectiva quan $X$ i $Y$ són espais de Hilbert.

Formes integrals i operadors

Artícul principal → Operador llineal integral.

Formes bilineales integrals

Denote's l'aplicació identitat per

$\mathrm{Id}:X{\otimes }_{\pi }Y\to X{\otimes }_{\epsilon }Y$

i siga

${}^t\mathrm{Id}:{\left(X{\otimes }_{\epsilon }Y\right)}_b^{\prime }\to {\left(X{\otimes }_{\pi }Y\right)}_b^{\prime }$

es denota el seu matriu transpuesta, que és una injecció contínua. Recorde's que ${\left(X{\otimes }_{\pi }Y\right)}^{\prime }$ s'identifica canónicamente en $B(X,Y),$ l'espai d'aplicacions bilineales contínues en $X\times Y.$ D'esta manera, l'espai dual continu de $X{\otimes }_{\epsilon }Y$ es pot identificar canónicamente com un espai subvectorial de $B(X,Y),$ denotat per $J(X,Y).$ Els elements de $J(X,Y)$ es denominen formes (bilineales) integrals en $X\times Y.$ La següent teorema justifica la paraula .

Operadors llineals integrals

Donada una aplicació llineal $\Lambda :X\to Y,$ es pot definir una forma bilineal canònica $B_{\Lambda }\in Bi(X,Y^{\prime }),$ cridada forma bilineal associada en $X\times Y^{\prime },$ per mig de

$B_{\Lambda }(x,y^{\prime }):=(y^{\prime }\circ \Lambda )(x).$

Una aplicació contínua $\Lambda :X\to Y$ es diu integral si la seua forma bilineal associada és una forma bilineal integral. Una aplicació integral $\Lambda :X\to Y$ és de la forma, per a cada $x\in X$ i $Y^{\prime }\in Y^{\prime }:$

$⟨y^{\prime },\Lambda (x)⟩=\underset{A^{\prime }\times B^{\prime \prime }}{\int }⟨x^{\prime },x⟩⟨y^{\prime \prime },y^{\prime }⟩\mathrm{d}\mu (x^{\prime },y^{\prime \prime })$

per a subconjunts equicontinuos i débilmente tancats propis $A^{\prime }$ i $B^{\prime \prime }$ de $X^{\prime }$ i $Y^{\prime \prime },$ respectivament, i alguna mida de Radon positiva $\mu$ de la massa total $\le 1.$

Aplicació canònica en L(X; I)

Existix una aplicació canònica $K:X^{\prime }\otimes Y\to L(X;Y)$ que envia $z={\sum }_{i=1}^n{x}_i^{\prime }\otimes y_i$ a l'aplicació llineal $K(z):X\to Y$ definida per $K(z)(x):={\sum }_{i=1}^n{x}_i^{\prime }(x)y_i\in Y,$ a on es pot demostrar que la definició de $K(z):X\to Y$ no depén de l'elecció particular de representació ${\sum }_{i=1}^n{x}_i^{\prime }\otimes y_i$ de $z.$

Eixemples

Espai de famílies sumables

Vore també: Série (matemàtiques)

En esta secció s'utilisen conjunts arbitraris $A$ (que poden ser no numerables), un EVT $X,$ i es considera que $ℱ(A)$ siga el conjunt dirigit de tots els subconjunts finitos de $A$ dirigits per l'inclusió de $\subseteq .$

Siga ${\left(x_{\alpha }\right)}_{\alpha \in A}$ una família d'elements en un EVT $X$ i per a cada subconjunt finito $H\subseteq A,$ siga $x_H:=\sum _{i\in H}{x}_i.$ Es denomina a ${\left(x_{\alpha }\right)}_{\alpha \in A}$ sumable en $X$ si el llímit $\underset{H\in ℱ(A)}{\lim }{x}_H$ de la ret ${\left(x_H\right)}_{H\in ℱ(A)}$ convergix en $X$ a algun element (qualsevol element d'este tipo és cridat la seua suma). El conjunt de totes estes famílies sumables és un subespacio vectorial de $X^A$ denotat per $S.$

Ara es definix una topología en $S$ d'una manera molt natural. Esta topología resulta ser la topología inyectiva presa de $l^1(A){\hat{\otimes }}_{\epsilon }X$ i transferida a $S$ per mig d'un isomorfisme canònic de l'espai vectorial (l'obvi). Açò és alguna cosa comú quan s'estudien els productes tensoriales proyectivos i inyectivos i d'espais de funcions/successions i EVTs: la "forma natural" en la que es definiria (des de zero) una topología en dit producte tensorial és freqüentment equivalent a la topología inyectiva o al producte tensorial proyectivo.

Siga $𝔘$ una base d'entorns equilibrats convexos de 0 en $X$ i per a cada $U\in 𝔘,$ siga ${\mu }_U:X\to ℝ$ el seu funcional de Minkowski. Per a qualsevol $U$ i qualsevol $x={\left(x_{\alpha }\right)}_{\alpha \in A}\in S,$ permeta

$q_U(x):=\underset{x^{\prime }\in U^{\circ }}{\sup }\sum _{\alpha \in A}\left|⟨x^{\prime },x_{\alpha }⟩\right|$

a on $q_U$ definix una seminorma en $S.$ La família de seminormas $\{q_U:U\in 𝔘\}$ genera una topología que convertix a $S$ en un espai localment convexo. L'espai vectorial $S$ dotat d'esta topología es denotarà per $l^1(A,X).$ El cas especial a on $X$ és el cos escalar es denotarà per $l^1(A).$

Existix un embebido canònic d'espais vectorials $l^1(A)\otimes X\to l^1(A,E)$ definits linealizando l'aplicació bilineal $l^1(A)\times X\to l^1(A,E)$ definida per $({\left(r_{\alpha }\right)}_{\alpha \in A},x)\mapsto {\left(r_{\alpha }x\right)}_{\alpha \in A}.$

El embebido canònic (d'espais vectorials) $l^1(A)\otimes X\to l^1(A,E)$ es convertix en un embebido d'espais vectorials topològics $l^1(A){\otimes }_{\epsilon }X\to l^1(A,E)$ quan a $l^1(A)\otimes X$ se li dona la topología inyectiva i, ademés, el seu ranc és dens en el seu codominio. Si $\hat{X}$ és una finalisació de $X$, llavors l'extensió contínua $l^1(A){\hat{\otimes }}_{\epsilon }X\to l^1(A,\hat{X})$ d'esta incorporació $l^1(A){\otimes }_{\epsilon }X\to l^1(A,X)\subseteq l^1(A,\hat{X})$ és un isomorfisme d'un EVT. Llavors, en particular, si $X$ està complet, llavors $l^1(A){\hat{\otimes }}_{\epsilon }X$ és canónicamente isomorfo a $l^1(A,E).$

Espai de funcions vectorials contínuament diferenciables

Artícul principal → Funcions vectorials diferenciables de l'espai euclídeo.

En tot moment, siga $\Omega$ un subconjunt obert de ${ℝ}^n,$ a on $n\ge 1$ és un número entero i siga $Y$ un espai vectorial topològic localment convexo (EVT).

'Definició Suponga's que $p^0=(p_1^0,\dots ,p_n^0)\in \Omega$ i $f:\mathrm{Dom}f\to Y$ són una funció tal que $p^0\in \mathrm{Dom}f$ en $p^0$ és un punt llímit de $\mathrm{Dom}f.$ Considere's que $f$ és diferenciable en $p^0$ si existixen $n$ vectores $e_1,\dots ,e_n$ en $Y,$ cridats derivades parcials de $f$, tals que

$\underset{\stackrel{p\to p^0,}{p\in \mathrm{domain}f}}{\lim }\frac{f(p)-f\left(p^0\right)-\sum _{i=1}^n(p_i-p_i^0)e_i}{{\Vert p-p^0\Vert }_2}=0\text{in }Y$

a on $p=(p_1,\dots ,p_n).$

Naturalment, es pot ampliar la noció de funció a funcions en valors en $Y$ definides en $\Omega .$ Per a qualsevol $k=0,1,\dots ,\mathrm{\infty },$ siga $C^k(\Omega ;Y)$ l'espai vectorial de tots els aplicacions en valors $C^k$ en $Y$ definits en $\Omega$, i siga $C_c^k(\Omega ;Y)$ el subespacio vectorial de $C^k(\Omega ;Y)$ que consistix en totes les aplicacions en $C^k(\Omega ;Y)$ que tenen soport compacte.

Llavors es poden definir topología en $C^k(\Omega ;Y)$ i $C_c^k(\Omega ;Y)$ de la mateixa manera que es definixen les topología en $C^k(\Omega )$ i $C_c^k(\Omega )$ per al espai de distribucions i funcions de prova (consulte's l'artícul funcions vectorials diferenciables de l'espai euclídeo). Tot este treball per a ampliar la definició de diferenciabilidad i vàries topología resulta ser exactament equivalent a simplement prendre el producte tensorial inyectivo complet:

Si $Y$ és un espai localment convexo de Hausdorff complet, llavors $C^k(\Omega ;Y)$ és canónicamente isomorfo al producte tensorial inyectivo $C^k(\Omega ){\hat{\otimes }}_{\epsilon }Y.$

Espais d'aplicacions contínues des d'un espai compacte

Si $Y$ és un espai normado i si $K$ és un conjunt compacte, llavors la norma $\epsilon$ en $C(K)\otimes Y$ és igual a $\Vert f{\Vert }_{\epsilon }=\underset{x\in K}{\sup }\Vert f(x)\Vert .$ Si $H$ i $K$ són dos espais compactes, llavors $C(H\times K)\cong C(H){\hat{\otimes }}_{\epsilon }C(K),$ a on esta aplicació canònica és un isomorfisme d'espais de Banach.

Espais de seqüències que convergixen a 0

Si $Y$ és un espai normado, llavors $l_{\mathrm{\infty }}(Y)$ denota l'espai de totes les seqüències ${\left(y_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ en $Y$ que convergixen a l'orige i li donen a este espai la norma $\Vert {\left(y_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}\Vert :=\underset{i\in \mathbb{N}}{\sup }\Vert y_i\Vert .$ Siga $l_{\mathrm{\infty }}$ que denota $l_{\mathrm{\infty }}\left(ℂ\right).$ Llavors, per a qualsevol espai de Banach, $Y,$ $l_{\mathrm{\infty }}{\hat{\otimes }}_{\epsilon }Y$ és canónicamente isométricamente isomorfo a $l_{\mathrm{\infty }}(Y).$.

Espai de funcions de Schwartz

Vore també: Espai de Schwartz i Funcions vectorials diferenciables de l'espai euclídeo

És possible generar l'espai de Schwartz a funcions valorades en un EVT. Siga $ℒ({ℝ}^n;Y)$ l'espai de tots els $f\in C^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n;Y)$ tal que para tots els parells de polinomis $P$ i $Q$ en $n$ variables, $\{P(x)Q(\partial /\partial x)f(x):x\in {ℝ}^n\}$ és un subconjunt acotat de $Y.$

Per a generalisar la topología del espai de Schwartz a $ℒ({ℝ}^n;Y),$ li donem a $ℒ({ℝ}^n;Y)$ la topología de convergència uniforme sobre ${ℝ}^n$ de les funcions $P(x)Q(\partial /\partial x)f(x),$ ya que $P$ i $Q$ varien en tots els parells possibles de polinomis en $n$ variables.

Si $Y$ és un espai localment convexo complet, llavors $ℒ({ℝ}^n;Y)$ és canónicamente isomorfo a $ℒ\left({ℝ}^n\right){\hat{\otimes }}_{\epsilon }Y.$

Bibliografia

• Diestel, Joe (2008). The metric theory of tensor products : Grothendieck's résumé revisited, Providence, R.I: American Mathematical Society. OCLC 185095773. ISBN 978-0-8218-4440-3.
• Dubinsky, Ed (1979). The structure of nuclear Fréchet spaces, Berlin New York: Springer-Verlag. OCLC 5126156. ISBN 3-540-09504-7.
• Grothendieck, Grothendieck (1966). Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires (en fr), Providence: American Mathematical Society. OCLC 1315788. ISBN 0-8218-1216-5.
• Husain, Taqdir (1978). Barrelledness in topological and ordered vector spaces, Berlin New York: Springer-Verlag. OCLC 4493665. ISBN 3-540-09096-7.
• Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces (vol. 936), Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag. OCLC 8588370. ISBN 978-3-540-11565-6.
• Narici, Lawrence (2011). Topological Vector Spaces, Second edició, Boca Raton, FL: CRC Press. OCLC 144216834. ISBN 978-1584888666.
• Nlend, H (1977). Bornologies and functional analysis : introductory course on the theory of duality topology-bornology and its use in functional analysis, Amsterdam New York New York: North-Holland Pub. Co. Sole distributors for the U.S.A. and Canada, Elsevier-North Holland. OCLC 2798822. ISBN 0-7204-0712-5.
• Nlend, H (1981). Nuclear and conuclear spaces : introductory courses on nuclear and conuclear spaces in the light of the duality, Amsterdam New York New York, N.Y: North-Holland Pub. Co. Sole distributors for the U.S.A. and Canada, Elsevier North-Holland. OCLC 7553061. ISBN 0-444-86207-2.
• Pietsch, Albrecht (1972). Nuclear locally convex spaces, Berlin, New York: Springer-Verlag. OCLC 539541. ISBN 0-387-05644-0.
• Robertson, A. P. (1973). Topological vector spaces, Cambridge England: University Press. OCLC 589250. ISBN 0-521-29882-2.
• Ryan, Raymond (2002). Introduction to tensor products of Banach spaces, London New York: Springer. OCLC 48092184. ISBN 1-85233-437-1.
• Schaefer, Helmut H. (1999). Topological Vector Spaces, Second edició (vol. 8), New York, NY: Springer New York Imprint Springer. OCLC 840278135. ISBN 978-1-4612-7155-0.
• Trèves, François (2006). Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Mineola, N.Y.: Dover Publications. OCLC 853623322. ISBN 978-0-486-45352-1.

• Wong (1979). Schwartz spaces, nuclear spaces, and tensor products, Berlin New York: Springer-Verlag. OCLC 5126158. ISBN 3-540-09513-6.