Conjunt polar

Vore també: Conjunt polar (teoria del potencial)

En anàlisis funcional i de convexidad, i en atres disciplines matemàtiques relacionades, un conjunt polar $A^{\circ }$ és un conjunt convexo especial associat a qualsevol subconjunt $A$ d'un espai vectorial $X,$ que es troba en el seu espai dual $X^{\prime }.$ El bipolar d'un subconjunt és el polar de $A^{\circ },$ pero es troba en $X$ (no en $X^{\prime \prime }$).

Definicions

Hi ha a lo manco tres definicions possibles d'un conjunt polar, que s'originen en la geometria proyectiva i l'anàlisis convexo. En cada cas, la definició descriu una dualitat entre certs subconjunts d'un emparejamiento d'espais vectorials $⟨X,Y⟩$ sobre els número real o complexos ($X$ i $Y$ són a sovint espais vectorials topològics (EVTs)).

Si $X$ és un espai vectorial sobre el cos $𝕂$, llavors, a menos que s'indique lo contrari, $Y$ generalment, pero no sempre, serà algun espai vectorial de funcionals llineals en $X$ i el emparejamiento dual $⟨\cdot ,\cdot ⟩:X\times Y\to 𝕂$ serà la de () definida per

$⟨x,f⟩:=f(x).$

Si $X$ és un espai vectorial topològic, llavors l'espai $Y$ normalment, encara que no sempre, serà l'espai dual de $X,$ en el cas del qual el emparejamiento dual tornarà a ser l'aplicació d'evaluació.

Denote's la bola tancada de radi $r\ge 0$ centrada en l'orige en el cos escalar subjacent $𝕂$ de $X$ per

$B_r:=B_r^{𝕂}:=\{s\in 𝕂:|s|\le r\}.$

Definició analítica funcional

Polar absolut

Suponga's que $⟨X,Y⟩$ és un emparejamiento. El polar o polar absolut d'un subconjunt $A$ de $X$ és el conjunt:

$\begin{array}{cccc}{A}^{\circ }:=& \{y\in Y:\underset{a\in A}{\sup }|⟨a,y⟩|\le 1\}& & \\ =& \{y\in Y:\sup |⟨A,y⟩|\le 1\}& & \text{ donde }|⟨A,y⟩|:=\{|⟨a,y⟩|:a\in A\}\\ =& \{y\in Y:⟨A,y⟩\subseteq B_1\}& & \text{ donde }{B}_1:=\{s\in 𝕂:|s|\le 1\}.\\ \end{array}$

a on $⟨A,y⟩:=\{⟨a,y⟩:a\in A\}$ denota l'image del conjunt $A$ baix l'aplicació $⟨\cdot ,y⟩:X\to 𝕂$ definida per $x\mapsto ⟨x,y⟩.$ Si $\mathrm{cobal}A$ denota el conjunt absolutament convexo de $A,$ que, per definició, és el subconjunt de $X$ convexo i equilibrat més chicotet que conté a $A,$ llavors $A^{\circ }=[\mathrm{cobal}A{]}^{\circ }.$

Esta és una transformació afí de la definició geomètrica, que té l'útil caracterisació de que el polar analític funcional de la bola unitària (en $X$) és precisament la bola unitària (en $Y$).

El prepolar o prepolar absolut d'un subconjunt $B$ de $Y$ és el conjunt:

${}^{\circ }B:=\{x\in X:\underset{b\in B}{\sup }|⟨x,b⟩|\le 1\}=\{x\in X:\sup |⟨x,B⟩|\le 1\}$

Molt a sovint, el prepolar d'un subconjunt $B$ de $Y$ també es denomina polar o polar absolut de $B$ i es denota per $B^{\circ }$; en la pràctica, esta reutilisació de la notació i de la paraula "polar" rara volta causa problemes (d'ambigüitat) i molts autors ni tan sols utilisen la paraula "prepolar".

El 'bipolar d'un subconjunt $A$ de $X,$ a sovint denotat per $A^{\circ \circ },$ és el conjunt ${}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)$; això és,

$A^{\circ \circ }:={}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)=\{x\in X:\underset{y\in A^{\circ }}{\sup }|⟨x,y⟩|\le 1\}.$

Polar real

El polar real d'un subconjunt $A$ de $X$ és el conjunt:

$A^r:=\{y\in Y:\underset{a\in A}{\sup }\mathrm{Re}⟨a,y⟩\le 1\}$

i el prepolar real d'un subconjunt $B$ de $Y$ és el conjunt:

${}^{r}B:=\{x\in X:\underset{b\in B}{\sup }\mathrm{Re}⟨x,b⟩\le 1\}.$

De la mateixa manera que en el prepolar absolut, el prepolar real generalment es diu "polar real" i també es denota per $B^r.$. És important senyalar que alguns autors (per eixemple, [Schaefer 1999]) definixen "polar" com "polar real" (en lloc de "polar absolut", com es fa en este artícul) i utilisen la notació $A^{\circ }$ per a això (en lloc de la notació $A^r$ que s'utilisa en este artícul i en [Narici 2011]).

El bipolar real d'un subconjunt $A$ de $X,$ denotat a voltes per $A^{rr},$ és el conjunt ${}^r\left(A^r\right)$;

que és igual al tancament $\sigma (X,Y)$ de l'envolvente convexa de $A\cup \{0\}.$

Per a un subconjunt $A$ de $X,$ $A^r$ és convexo, $\sigma (Y,X)$ tancat i conté a $A^{\circ }.$ En general, és possible que $A^{\circ }\ne A^r$, pero l'igualtat es mantindrà si $A$ és equilibrat. Ademés, $A^{\circ }=(\mathrm{bal}\left(A^r\right))$ a on $\mathrm{bal}\left(A^r\right)$ denota l'envolvente equilibrada de $A^r.$

Definicions possibles

La definició de "polar" d'un conjunt no està universalment acceptada. Encara que en este artícul es va definir "polar" com "polar absolut", alguns autors definixen "polar" com "polar real" i atres autors utilisen atres definicions. No importa cóm un autor definixca "polar", la notació $A^{\circ }$ casi sempre representa de la definició (per lo que el significat de la notació $A^{\circ }$ pot variar d'una font a una atra). En particular, la polar de $A$ a voltes es definix com:

$A^{|r|}:=\{y\in Y:\underset{a\in A}{\sup }|\mathrm{Re}⟨a,y⟩|\le 1\}$

a on la notació és $A^{|r|}$ .

Ara es discutix breument cóm es relacionen estes diverses definicions entre sí i quàn són equivalents.

Sempre es considera el cas de que

$A^{\circ }\subseteq A^{|r|}\subseteq A^r$

i si $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ té un valor real (o de manera equivalent, si $X$ i $Y$ són espais vectorials sobre $ℝ$), llavors $A^{\circ }=A^{|r|}.$

Si $A$ és un conjunt simètric (és dir, $-A=A$ o equivalentement, $-A\subseteq A$), llavors $A^{|r|}=A^r$, a on si ademés $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ té un valor real, llavors $A^{\circ }=A^{|r|}=A^r.$

Si $X$ i $Y$ són espais vectorials sobre $ℂ$ (de modo que $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ té valors complexos) i si $iA\subseteq A$ (a on deu tindre's en conte que açò implica $-A=A$ i $iA=A$), llavors

$A^{\circ }\subseteq A^{|r|}=A^r\subseteq {\left(\frac{1}{\sqrt{2}}A\right)}^{\circ }$

a on si ademés $e^{ir}A\subseteq A$ per a tots els $r$ reals, llavors $A^{\circ }=A^r.$

Per lo tant, per a que totes estes definicions del conjunt polar de $A$ concorden, és suficient que $sA\subseteq A$ per a tots els escalares $s$ de llongitut unitat (a on açò és equivalent a que $sA=A$ per a tots els escalares de llongitut unitària $s$). En particular, totes les definicions del polar de $A$ coincidixen quan $A$ és un conjunt equilibrat (que sol ser el cas, pero no sempre), per lo que a sovint quin d'estes possibles definicions s'utilisa és irrellevant. No obstant, estes diferències en les definicions de el "polar" d'un conjunt $A$ a voltes introduïxen diferències tècniques sotils o importants quan $A$ no està necessàriament equilibrat.

Especialisació per a la dualitat canònica

Espai dual algebraic

Si $X$ és qualsevol espai vectorial, llavors $X^{\mathrm{\#}}$ denota l'espai dual de $X,$ que és el conjunt de tots els funcionals llineals en $X.$ L'espai vectorial $X^{\mathrm{\#}}$ és sempre un subconjunt tancat de l'espai ${𝕂}^X$ de totes les funcions valorades en $𝕂$ en $X$ baix la topología de convergència puntual. Llavors, quan $X^{\mathrm{\#}}$ està dotat de la topología subespacial, $X^{\mathrm{\#}}$ es convertix en un espai vectorial topològic (EVT) localment convexo complet d'Hausdorff. Per a qualsevol subconjunt $A\subseteq X,$ considere's que

$\begin{array}{cccc}{A}^{\mathrm{\#}}:=A^{\circ ,\mathrm{\#}}:=& \{f\in X^{\mathrm{\#}}:\underset{a\in A}{\sup }|f(a)|\le 1\}& & \\ =& \{f\in X^{\mathrm{\#}}:\sup |f(A)|\le 1\}& & \text{ donde }|f(A)|:=\{|f(a)|:a\in A\}\\ =& \{f\in X^{\mathrm{\#}}:f(A)\subseteq B_1\}& & \text{ donde }{B}_1:=\{s\in 𝕂:|s|\le 1\}.\\ \end{array}$

Si $A\subseteq B\subseteq X$ són subconjunts, llavors $B^{\mathrm{\#}}\subseteq A^{\mathrm{\#}}$ i $A^{\mathrm{\#}}=[\mathrm{cobal}A{]}^{\mathrm{\#}},$ a on $\mathrm{cobal}A$ denota el conjunt absolutament convexo de $A.$ Per a qualsevol subespacio vectorial de dimensió finita $Y$ de $X,$ denote's per ${\tau }_Y$ la topología euclídea en $Y,$ que és la topología única que convertix a $Y$ en un espai vectorial topològic (EVT) d'Hausdorff. Si $A_{\cup \mathrm{cl}\mathrm{Finito}}$ denota l'unió de totes les clausura, ${\mathrm{cl}}_{(Y,{\tau }_Y)}(Y\cap A)$ ya que $Y$ varia en tots els subespacios vectorials de dimensió finita de $X,$ llavors $A^{\mathrm{\#}}={\left[A_{\cup \mathrm{cl}\mathrm{Finito}}\right]}^{\mathrm{\#}}$ (consulte's esta nota al peu per a una explicació). Si $A$ és un subconjunt absorbent de $X$, llavors, segons el teorema de Banach-Alaoglu, $A^{\mathrm{\#}}$ és un subconjunt compacte dèbil de $X^{\mathrm{\#}}.$

Si $A\subseteq X$ és qualsevol subconjunt no buit d'un espai vectorial $X$ i si $Y$ és qualsevol espai vectorial de funcionals llineals en $X$ (és dir, un subespacio vectorial d'espais duals de $X$), llavors l'aplicació de valors reals

$|\cdot {|}_A:Y\to ℝ$ Plantilla:Space definit per Plantilla:Space ${\left|x^{\prime }\right|}_A:=\sup |x^{\prime }(A)|:=\underset{a\in A}{\sup }|x^{\prime }(a)|$

és una seminorma en $Y.$ Si $A=\varnothing$ llavors, per definició d'element suprem i ínfim, $\sup |x^{\prime }(A)|=-\mathrm{\infty }$ de modo que l'aplicació $|\cdot {|}_{\varnothing }=-\mathrm{\infty }$ definit anteriorment no tindria valor real i, en conseqüència, no seria una seminorma.

Espai dual continu

Suponga's que $X$ és un espai vectorial topològic (EVT) en espai dual $X^{\prime }.$ El cas especial important a on $Y:=X^{\prime }$ i els corchetes representen l'aplicació canònica:

$⟨x,x^{\prime }⟩:=x^{\prime }(x)$

es considera ara. El triplet format per $⟨X,X^{\prime }⟩$ associat en $X$ és el cridat .

La polar d'un subconjunt $A\subseteq X$ sobre este emparejamiento canònic és:

$\begin{array}{cccc}{A}^{\circ }:=& \{x^{\prime }\in X^{\prime }:\underset{a\in A}{\sup }|x^{\prime }(a)|\le 1\}& & \text{ porque }⟨a,x^{\prime }⟩:=x^{\prime }(a)\\ =& \{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup |x^{\prime }(A)|\le 1\}& & \text{ donde }|x^{\prime }(A)|:=\{|x^{\prime }(a)|:a\in A\}\\ =& \{x^{\prime }\in X^{\prime }:x^{\prime }(A)\subseteq B_1\}& & \text{ donde }{B}_1:=\{s\in 𝕂:|s|\le 1\}.\\ \end{array}$

Per a qualsevol subconjunt $A\subseteq X,$ $A^{\circ }={\left[{\mathrm{cl}}_{X}A\right]}^{\circ }$ a on ${\mathrm{cl}}_{X}A$ denota la clausura de $A$ en $X.$

El teorema de Banach-Alaoglu establix que si $A\subseteq X$ és un entorn de l'orige en $X$, llavors $A^{\circ }=A^{\mathrm{\#}}$ i este conjunt polar és un subconjunt compacte de l'espai dual continu $X^{\prime }$ quan $X^{\prime }$ està dotat de topología dèbil (també coneguda com a topología de convergència puntual).

Si $A$ satisfà $sA\subseteq A$ per a tots els escalares $s$ de llongitut unitària, llavors es poden reemplaçar els signes de valor absolut per $\mathrm{Re}$ (l'operador de part real) de modo que:

$\begin{array}{cc}{A}^{\circ }=A^r:=& \{x^{\prime }\in X^{\prime }:\underset{a\in A}{\sup }\mathrm{Re}{x}^{\prime }(a)\le 1\}\\ =& \{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup \mathrm{Re}{x}^{\prime }(A)\le 1\}.\\ \end{array}$

El prepolar d'un subconjunt $B$ de $Y=X^{\prime }$ és:

${}^{\circ }B:=\{x\in X:\underset{b^{\prime }\in B}{\sup }|b^{\prime }(x)|\le 1\}=\{x\in X:\sup |B(x)|\le 1\}$

Si $B$ satisfà $sB\subseteq B$ per a tots els escalares $s$ de llongitut unitària, llavors es poden reemplaçar els signes de valor absolut en $\mathrm{Re}$ de modo que:

${}^{\circ }B=\{x\in X:\underset{b^{\prime }\in B}{\sup }\mathrm{Re}{b}^{\prime }(x)\le 1\}=\{x\in X:\sup \mathrm{Re}B(x)\le 1\}$

a on $B(x):=\{b^{\prime }(x):b^{\prime }\in B\}.$

El teorema bipolar caracterisa el bipolar d'un subconjunt d'un espai vectorial topològic.

Si $X$ és un espai normado i $S$ és la bola unitària oberta o tancada en $X$ (o inclús qualsevol subconjunt de la bola unitària tancada que conté la bola unitària oberta), llavors $S^{\circ }$ és la bola unitària tancada en l'espai dual continu $X^{\prime }$ quan $X^{\prime }$ dotat del seu norma dual canònica.

Definició geomètrica dels cons

Artícul principal → Recta polar.

El con polar d'un con convexo $A\subseteq X$ és el conjunt

$A^{\circ }:=\{y\in Y:\underset{x\in A}{\sup }⟨x,y⟩\le 0\}$

Esta definició dona una dualitat en punts i hiperplanos, escrivint-se estos últims com l'intersecció de dos semiespacios orientats de manera oposta. El hiperplano polar d'un punt $x\in X$ és el lloc geomètric $\{y:⟨y,x⟩=0\}$. La relació dual per a un hiperplano produïx el punt polar d'eixe hiperplano.

Alguns autors (confusamente) criden a un con dual con polar, i en este artícul no se seguix esta convenció.

Propietats

A menos que s'indique lo contrari, $⟨X,Y⟩$ serà un emparejamiento. La topología $\sigma (Y,X)$ és una topología dèbil en $Y$, mentres que $\sigma (X,Y)$ és una topología dèbil en $X.$ Per a qualsevol conjunt $A,$ $A^r$ denota el polar real de $A$ i $A^{\circ }$ denota el polar absolut de $A.$ El terme "polar" es referirà al polar .

• El polar (absolut) d'un conjunt és convexo i equilibrat.
• El polar real $A^r$ d'un subconjunt $A$ de $X$ és convexo pero necessàriament està equilibrat; $A^r$ estarà equilibrat si $A$ està equilibrat.
• Si $sA\subseteq A$ per a tots els escalares $s$ de llongitut unitat, llavors $A^{\circ }=A^r.$
• $A^{\circ }$ és tancat en $Y$ baix una topología dèbil en $Y$.
• Un subconjunt $S$ de $X$ està débilment acotat (és dir, acotat per $\sigma (X,Y)$) si i solament si $S^{\circ }$ és absorbent en $Y$.
• Per a un emparejamiento dual $⟨X,X^{\prime }⟩,$ a on $X$ és un EVT i $X^{\prime }$ és el seu espai dual continu, si $B\subseteq X$ està acotat llavors $B^{\circ }$ és absorbent en $X^{\prime }.$ Si $X$ és localment convexo i $B^{\circ }$ és absorbent en $X^{\prime }$, llavors $B$ està acotat en $X.$ Ademés, un subconjunt $S$ de $X$ està débilment acotat si i solament si $S^{\circ }$ és absorbent en $X^{\prime }.$
• El $A^{\circ \circ }$ bipolar d'un conjunt $A$ és l'envolvente convexa $\sigma (X,Y)$ de $A\cup \{0\},$ que és el conjunt tancat i convexo $\sigma (X,Y)$ més chicotet que conté tant a $A$ com a $0.$

• • De manera similar, el con bidual d'un con $A$ és el $\sigma (X,Y)$ tancat d'una envolvente cònica de $A.$.
• Si $ℬ$ és una base en l'orige per a un EVT $X$, llavors $X^{\prime }=\bigcup _{B\in 𝔹}\left(B^{\circ }\right).$
• Si $X$ és un EVT localment convexo, llavors les polars (preses sobre $⟨X,X^{\prime }⟩$) de qualsevol base entorn de 0 formen una família fonamental de subconjunts equicontinuos de $X^{\prime }$ (és dir, donat qualsevol subconjunt acotat $H$ de $X_{\sigma }^{\prime },$ existix un entorn $S$ de l'orige en $X$ tal que $H\subseteq S^{\circ }$).
  • Pel contrari, si $X$ és un EVT localment convexo, llavors els polars (presos sobre $⟨X,X^{\mathrm{\#}}⟩$) de qualsevol família fonamental de subconjunts equicontinuos de $X^{\prime }$ formen una base en un entorn de l'orige en $X.$
• Siga $X$ un EVT en una topología $\tau .$ Llavors, $\tau$ és una topología en un EVT localment convexa si i solament si $\tau$ és la topología de convergència uniforme en els subconjunts equicontinuos de $X^{\prime }.$

Els dos últims resultats expliquen per qué els subconjunts equicontinuos de l'espai dual continu juguen un paper tan destacat en la teoria moderna de l'anàlisis funcional: perque els subconjunts equicontinuos encapsulan tota l'informació sobre la topología original de l'espai localment convexo $X$.

Atres relacions

• $X^{\circ }=X^{|r|}=X^r=\{0\}$ i ${\varnothing }^{\circ }={\varnothing }^{|r|}={\varnothing }^r=Y.$
• Per a tots els escalares $s\ne 0,$ $(sA{)}^{\circ }=\frac{1}{s}\left(A^{\circ }\right)$ i per a tots els $t\ne 0,$ $(tA{)}^{|r|}=\frac{1}{t}\left(A^{|r|}\right)$ i $(tA{)}^r=\frac{1}{t}\left(A^r\right)$ reals.
• $A^{\circ \circ \circ }=A^{\circ }.$ No obstant, per al polar real es té que $A^{rrr}\subseteq A^r.$
• Per a qualsevol colecció finita de conjunts $A_1,\dots ,A_n,$ :${(A_1\cap \cdots \cap A_n)}^{\circ }=\left(A_1^{\circ }\right)\cup \cdots \cup \left(A_n^{\circ }\right).$
• Si $A\subseteq B$, llavors $B^{\circ }\subseteq A^{\circ },$ $B^r\subseteq A^r,$ i $B^{|r|}\subseteq A^{|r|}.$
  • Un corolari immediat és que $\bigcup _{i\in I}\left(A_i^{\circ }\right)\subseteq {\left(\bigcap _{i\in I}{A}_i\right)}^{\circ }$. L'igualtat necessàriament es complix quan $I$ és finito i pot no complir-se si $I$ és infinit.
• $\bigcap _{i\in I}\left(A_i^{\circ }\right)={\left(\bigcup _{i\in I}{A}_i\right)}^{\circ }$ i $\bigcap _{i\in I}\left(A_i^r\right)={\left(\bigcup _{i\in I}{A}_i\right)}^r.$
• Si $C$ és un con en $X$, llavors $C^{\circ }=\{y\in Y:⟨c,y⟩=0\text{ para todo }c\in C\}.$
• Si ${\left(S_i\right)}_{i\in I}$ és una família de subconjunts tancats $\sigma (X,Y)$ de $X$ que contenen $0\in X,$ llavors el polar real de ${\cap }_{i\in I}{S}_i$ és el recobriment convexo tancat de ${\cup }_{i\in I}\left(S_i^r\right).$
• Si $0\in A\cap B$ llavors $A^{\circ }\cap B^{\circ }\subseteq 2[(A+B{)}^{\circ }]\subseteq 2(A^{\circ }\cap B^{\circ }).$
• Per a un con convexo $C$ tancat en un espai vectorial real $X,$ el con polar és el polar de $C$; és dir,

$C^{\circ }=\{y\in Y:\underset{}{\sup }⟨C,y⟩\le 0\},$

a on $\underset{}{\sup }⟨C,y⟩:=\underset{c\in C}{\sup }⟨c,y⟩.$

Vore també

• Teorema de Banach-Alaoglu
• Teorema bipolar
• Con dual i con polar
• Topología polar
• Espai localment convexo
• Espai vectorial topològic

Bibliografia

• Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces, Stuttgart: B.G. Teubner. OCLC 8210342. ISBN 978-3-519-02224-4.
• Köthe, Gottfried (1983). Topological Vector Spaces I (vol. 159), New York: Springer Science & Business Mija. OCLC 840293704. ISBN 978-3-642-64988-2.
• Narici, Lawrence (2011). Topological Vector Spaces, Second edició, Boca Raton, FL: CRC Press. OCLC 144216834. ISBN 978-1584888666.
• (1980) Topological Vector Spaces (vol. 53), Cambridge England: Cambridge University Press. OCLC 589250. ISBN 978-0-521-29882-7.
• Schaefer, Helmut H. (1999). Topological Vector Spaces, Second edició (vol. 8), New York, NY: Springer New York Imprint Springer. OCLC 840278135. ISBN 978-1-4612-7155-0.
• Trèves, François (2006). Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Mineola, N.Y.: Dover Publications. OCLC 853623322. ISBN 978-0-486-45352-1.
• Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces, Mineola, New York: Dover Publications, Inc. OCLC 849801114. ISBN 978-0-486-49353-4.