Con dual i con polar

Un conjunt C i el seu con dual C^*

El con dual i el con polar són conceptes estretament relacionats en l'anàlisis de convexidad, una branca de matemàtiques.

Con dual

Archiu:Polar cone illustration1.svg

Un conjunt C i el seu con polar C^o. El con dual i el con polar són simètrics entre sí sobre l'orige

En un espai vectorial

El con dual C^* d'un subconjunt C en un espai vectorial X sobre els número real, com per eixemple l'espai euclídeo Rⁿ, sent el seu espai dual X^* el conjunt

C^{*} = {y \in X^{*} : ⟨ y, x ⟩ \geq 0 \forall x \in C},

a on $⟨ y, x ⟩$ és la dualitat pareada entre X i X^*, és dir, $⟨ y, x ⟩ = y (x)$ .

C^* és sempre un con convexo, inclús si C no és ni convexo ni un con.

En un espai vectorial topològic

Si X és un espai vectorial topològic sobre número real o complexos, llavors el con dual d'un subconjunt C ⊆ X és el següent conjunt de funcionals llineals continus en ' 'X:

C^{'} : = {f \in X^{'} : Re (f (x)) \geq 0 for all x \in C}

,^[1]

que és el polar del conjunt -C. ^[1] No importa qué siga "C", $C^{'}$ serà un con convexo. Si C ⊆ {0} llavors $C^{'} = X^{'}$ .

En un espai de Hilbert (con dual intern)

Alternativament, molts autors definixen el con dual en el context d'un Espai de Hilbert real (com a Rⁿ equipat en el producte intern euclidiano) com lo que a voltes es diu el con dual intern.

C_{internal}^{*} : = {y \in X : ⟨ y, x ⟩ \geq 0 \forall x \in C} .

Usant esta última definició per a C^*, tenim que quan C és un con, es complixen les següents propietats:^[2]

Un vector i distint de zero està en C^* si i solament si es complixen les dos condicions següents:

i és un normal en l'orige d'un hiperplano que supports C.
i i C es troben en el mateix costat del hiperplano de soport.

C^* és closed i convexo.
$C_{1} \subseteq C_{2}$ implica $C_{2}^{*} \subseteq C_{1}^{*}$ .

Si C té un interior no buit, llavors C^* és puntagut, és dir, C* no conté cap llínea en la seua totalitat. Si C és un con i el tancament de C és puntagut, llavors C^* té un interior no buit.

C^** és el tancament del con convexo més chicotet que conté C (una conseqüència de teorema del hiperplano de separació)

Cons duals

Es diu que un con C en un espai vectorial X és autodual si X pot equipar-se en un espai prehilbertiano ⟨⋅,⋅⟩ tal que el con dual intern relatiu a este producte intern és igual a C.^[3] Aquells autors que definixen el con dual com el con dual intern en un espai de Hilbert real solen dir que un con és autodual si és igual al seu dual intern. Açò és llaugerament diferent de la definició anterior, que permet un canvi de producte intern. Per eixemple, la definició anterior fa que un con en Rⁿ en base elipsoidal siga autodual, perque el producte intern es pot canviar per a fer que la base siga esfèrica, i un con en base esfèrica en Rⁿ és igual al seu dual intern.

l'ortante no negatiu de Rⁿ i l'espai de tots els positive semidefinite matrius són autoduales, de la mateixa manera que els cons en base elipsoidal (a sovint cridats "cons esfèrics", "cons de Lorentz" o, a voltes, "cons de gelat"). "). També ho són tots els cons en R³ la base del qual és el clafoll convexa d'un polígon regular en un número impar de vèrtiços.

Un eixemple menys habitual és el con de 'R³ la base del qual és la "casa": el caixco convexo d'un quadrat i un punt fora del quadrat que formen un triàngul equilátero (de l'altura adequada) en un dels costats del quadrat.

Con polar

Archiu:Polar cone illustration.svg

La polar del con convexo tancat C és el con convexo tancat C^o, i viceversa

Per a un conjunt C en X, el con polar de C és el conjunt^[4]

C^{o} = {y \in X^{*} : ⟨ y, x ⟩ \leq 0 \forall x \in C} .

Es pot vore que el con polar és igual el negatiu del con dual, és dir, C^o = −C^*.

Per a un con convexo tancat C en X, el con polar és equivalent al polar set per a C.^[5]

Vore també

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 Schaefer y Wolff, 1999, pp. 215–222.
↑ (2004) Convex Optimization (pdfpdf), Cambridge University Press, pp. 51–53. ISBN 978-0-521-83378-3.
↑ Iochum, Bruno, "Cônes autopolaires et algèbres de Jordan", Springer, 1984.
↑ Rockafellar, R. Tyrrell (1997). Convex Analysis, Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 121–122. ISBN 978-0-691-01586-6.
↑ (2007) Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide, 3 edició, Springer, p. 215. doi:10.1007/3-540-29587-9. ISBN 978-3-540-32696-0.

Bibliografia

Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834
Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Cono dual y cono polar» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999{{{c}}}215–222-1] 1,0 ^1,1 Schaefer y Wolff, 1999, pp. 215–222.

[Boyd-2] (2004) Convex Optimization (pdfpdf), Cambridge University Press, pp. 51–53. ISBN 978-0-521-83378-3.

[3] Iochum, Bruno, "Cônes autopolaires et algèbres de Jordan", Springer, 1984.

[Rockafellar-4] Rockafellar, R. Tyrrell (1997). Convex Analysis, Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 121–122. ISBN 978-0-691-01586-6.

[5] (2007) Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide, 3 edició, Springer, p. 215. doi:10.1007/3-540-29587-9. ISBN 978-3-540-32696-0.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]