Teorema del hiperplano de separació

En geometria, la teorema del hiperplano de separació és un enunciat sobre formes convexas disjuntas en l'espai euclídeo de n dimensions. Hi ha vàries versions prou similars. En una versió de la teorema, si abdós conjunts són disjuntos, tancats i a lo manco un d'ells és compacte, llavors existix un hiperplano entre ells i inclús dos hiperplanos paralels entre ells separats per un espai. En una atra versió, si abdós conjunts convexos disjuntos estan oberts, llavors existix un hiperplano entre ells, pero no necessàriament un espai. Un eix que és ortogonal a un hiperplano de separació és un eix de separació, perque les proyeccions ortogonals dels cossos convexos sobre l'eix són disjuntos.

La teorema de separació de hiperplanos es deu a Hermann Minkowski. Per un atre costat, el teorema de Hahn–Banach generalisa el resultat a espais vectorials topològics.

Un resultat relacionat és el del teorema del hiperplano de soport.

En el context de màquines de vectores de soport, el hiperplano de separació òptima o el hiperplano de marge màxim és aquell hiperplano que separa les envolventes convexas de dos conjunts de punts, i és equidistant d'abdós.^[1]^[2]^[3]

Declaracions i demostracions

En tots els casos, se supon que $A, B$ són subconjunts disjuntos, no buits i convexos de $ℝ^{n}$ . El resum dels resultats és el següent:

Taula resumixen
$A$	$B$	$⟨ x, v ⟩$	$⟨ y, v ⟩$
		$\geq c$	$\leq c$
Compacte tancat	Tancat	$> c_{1}$	$< c_{2}$ en $c_{2} < c_{1}$
Tancat	Compacte tancat	$> c_{1}$	$< c_{2}$ en $c_{2} < c_{1}$
Obert		$> c$	$\leq c$
Obert	Obert	$> c$	$< c$

El número de dimensions deu ser finito. En espais de dimensió infinita hi ha eixemples de dos conjunts tancats, convexos i disjuntos que no poden separar-se per un hiperplano tancat (un hiperplano a on un funcional llineal continu és igual a alguna constant), inclús en el sentit dèbil a on les desigualtats no són estrictes.^[4]

Ací no es pot relaixar l'hipòtesis de compacidad; vore un eixemple en la secció contraeixemples i unicitat. Esta versió de la teorema de separació es generalisa a dimensions infinites; la generalisació es coneix més comunament com teorema de separació de Hahn-Banach.

La demostració es basa en el següent lema:

Sean $A$ i $B$ dos subconjunts tancats disjuntos de $ℝ^{n}$ i suponga's que $A$ és compacte. Llavors existixen els punts $a_{0} \in A$ i $b_{0} \in B$ que minimisen la distància $‖ a - b ‖$ sobre $a \in A$ i $b \in B$ .

Ya que un hiperplano de separació no pot intersecar els interiors de conjunts convexos oberts, es deduïx el corolari següent:

Cas en possibles interseccions

Si els conjunts $A, B$ tenen possibles interseccions, pero les seues interiors relatius són disjuntos, llavors la prova del primer cas encara s'aplica sense canvis, lo que produïx:

en particular, es té el hiperplano de soport.

Referències

↑ (2008) The Elements of Statistical Learning : Data Mining, Inference, and Prediction, Second edició, New York: Springer, pp. 129–135.
↑ (2016) Data Mining: Practical Machine Learning Tools and Techniques, Fourth edició, Morgan Kaufmann, pp. 253–254. ISBN 9780128043578.
↑ (2020) Mathematics for Machine Learning, Cambridge University Press, pp. 337–338. ISBN 978-1-108-45514-5.
↑ Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications, 1983, remarque 4, p. 7.

Este artícul conté una traducció derivada de «Teorema del hiperplano de separación» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] (2008) The Elements of Statistical Learning : Data Mining, Inference, and Prediction, Second edició, New York: Springer, pp. 129–135.

[2] (2016) Data Mining: Practical Machine Learning Tools and Techniques, Fourth edició, Morgan Kaufmann, pp. 253–254. ISBN 9780128043578.

[3] (2020) Mathematics for Machine Learning, Cambridge University Press, pp. 337–338. ISBN 978-1-108-45514-5.

[4] Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications, 1983, remarque 4, p. 7.

[1]

[2]

[3]

[4]