Producte tensorial inductivo

La topología més fina localment convexa en un espai vectorial topològic (EVT) en $X\otimes Y,$ el producte tensorial de dos EVT localment convexos, fa que l'aplicació canònica contínua $\cdot \otimes \cdot :X\times Y\to X\otimes Y$ (definida enviant $(x,y)\in X\times Y$ a $x\otimes y$) es denomina topología inductiva o topología $\iota$. Quan $X\otimes Y$ està dotat d'esta topología, es denota per $X{\otimes }_{\iota }Y$ i es denomina producte tensorial inductivo de $X$ i $Y.$.

Preliminars

Sean $X,Y,$ i $Z$ espais vectorials topològics localment convexos i $L:X\to Y$ una aplicació llineal.

• $L:X\to Y$ és un homomorfisme topològic o homomorfisme, si és llineal, contínua, i $L:X\to \mathrm{Im}L$ és una aplicació oberta, a on $\mathrm{Im}L,$ l'image de $L,$ té la topología subespacial induïda per $Y.$
  • Si $S\subseteq X$ és un subespacio de $X$, llavors tant l'aplicació cocient $X\to X/S$ com l'injecció canònica $S\to X$ són homomorfismes. En particular, qualsevol aplicació llineal $L:X\to Y$ es pot descompondre canónicamente de la següent manera: $X\to X/\ker L\stackrel{L_0}{\to }\mathrm{Im}L\to Y$ a on $L_0(x+\ker L):=L(x)$ definix una biyección.
• El conjunt d'operadors llineals continus $X\to Z$ (respectivament, operadors bilineales continus $X\times Y\to Z$) es denotarà per $L(X;Z)$ (respectivament, $B(X,Y;Z)$), a on si $Z$ és un cos escalar, llavors es pot escriure $L(X)$ (respectivament, $B(X,Y)$).
• Es denota l'espai dual de $X$ per $X^{\prime }$ i l'espai dual algebraic (que és l'espai vectorial de tots els funcionals llineals en $X,$ siguen continus o no) per $X^{\mathrm{\#}}.$
  • Per a aumentar la claritat de l'exposició, s'utilisa la convenció comuna d'escriure elements de $X^{\prime }$ en una comilla despuix del símbol (per eixemple, $x^{\prime }$ denota un element de $X^{\prime }$ (no confondre en una derivada) i les variables $x$ i $x^{\prime }$ no necessiten estar relacionades de manera alguna).
• Una aplicació llineal $L:H\to H$ des d'un espai de Hilbert sobre sí mateixa es diu positiva si $⟨L(x),X⟩\ge 0$ per a cada $x\in H.$ En este cas, existix una aplicació positiva única $r:H\to H,$ cridada raïl quadrada de $L,$ tal que $L=r\circ r.$
  • Si $L:H_1\to H_2$ és qualsevol aplicació llineal contínua entre espais de Hilbert, llavors $L^{*}\circ L$ és sempre positiu. Ara, denote's com $R:H\to H$ la seua raïl quadrada positiva, que es denomina valor absolut de $L.$ Definixca's $U:H_1\to H_2$ primer en $\mathrm{Im}R$ configurant $U(x)=L(x)$ per a $x=R\left(x_1\right)\in \mathrm{Im}R$ i estenent $U$ contínuament a $\overline{\mathrm{Im}R},$ i després definir $U$ en $\ker R$ configurant $U(x)=0$ per a $x\in \ker R$ i estendre esta aplicació linealmente a tot $H_1.$ L'aplicació $U{|}_{\mathrm{Im}R}:\mathrm{Im}R\to \mathrm{Im}L$ és una isometría sobreyectiva i $L=U\circ R.$
• Un aplicació llineal $\Lambda :X\to Y$ es diu compacta o completament contínua si existix un entorn $U$ de l'orige en $X$ tal que $\Lambda (U)$ és precompacta en $Y.$
  • En un espai de Hilbert, els operadors llineals compactes positius, com $L:H\to H$, tenen una descomposició espectral simple descoberta a principis de el XX per Fredholm i F. Riesz:

Existix una successió de números positius, decreixents i finitos o convergents a 0, $r_1>r_2>\cdots >r_k>\cdots$ i una seqüència de subespacios de dimensions finitas distintes de zero $V_i$ de $H$ ($i=1,2,\dots$) en les següents propietats: (1) els subespacios $V_i$ són ortogonals per parells; (2) per a cada $i$ i cada $x\in V_i,$ $L(x)=r_{i}x$; i (3) l'element ortogonal del subespacio comprés per ${\cup }_i{V}_i$ és igual al núcleu de $L.$

Notació per a topología

Artícul principal → Topología en espais d'aplicacions llineals.

• $\sigma (X,X^{\prime })$ denota la topología més grossa en $X$, lo que fa que cada aplicació en $X^{\prime }$ siga contínua i $X_{\sigma (X,X^{\prime })}$ o $X_{\sigma }$ denota l'espai $X$ dotat en esta topología.
• $\sigma (X^{\prime },X)$ denota la topología dèbil sobre $X^{\prime }$ i $X_{\sigma (X^{\prime },X)}$ o $X_{\sigma }^{\prime }$ denota $X^{\prime }$ dotat en esta topología.
  • Cada $x_0\in X$ induïx una aplicació $X^{\prime }\to ℝ$ definida per $\lambda \mapsto \lambda \left(x_0\right).$ $\sigma (X^{\prime },X)$ és la topología més burda de $X^{\prime }$, lo que fa que totes estes aplicacions siguen contínues.
• $b(X,X^{\prime })$ denota la topología de convergència acotada en $X$ i $X_{b(X,X^{\prime })}$ o $X_b$ denota $X$ dotat en esta topología.
• $b(X^{\prime },X)$ denota la topología de convergència acotada en $X^{\prime }$ o la topología dual forta en $X^{\prime }$ i $X_{b(X^{\prime },X)}$ o $X_b^{\prime }$ denota $X^{\prime }$ dotat en esta topología.
  • Com és habitual, si $X^{\prime }$ es considera com un espai vectorial topològic pero no s'ha deixat clar en quina topología està dotat, llavors s'assumirà que la topología és $b(X^{\prime },X).$

Propietat universal

Suponga's que $Z$ és un espai localment convexo i que $I$ és l'aplicació canònica de l'espai de totes les aplicacions bilineales de la forma $X\times Y\to Z,$ dirigida a l'espai de totes les aplicacions llineals de $X\otimes Y\to Z.$. Llavors, quan el domini de $I$ està restringit a $ℬ(X,Y;Z)$ (l'espai d'aplicacions bilineales contínues separadament), llavors el ranc d'esta restricció és l'espai $L(X{\otimes }_{\iota }Y;Z)$ d'operadors llineals continus $X{\otimes }_{\iota }Y\to Z.$ En particular, l'espai dual continu de $X{\otimes }_{\iota }Y$ és canónicamente isomorfo a l'espai $ℬ(X,Y),$ (l'espai de formes bilineales contínues separades en $X\times Y$).

Si $\tau$ és una topología sobre un EVT localment convexa en $X\otimes Y$ ($X\otimes Y$ en esta topología s'indicarà com $X{\otimes }_{\tau }Y$), llavors $\tau$ és igual a la topología del producte tensorial inductivo si i solament si té la següent propietat:

Per a cada EVT localment convexo $Z,$ si $I$ és l'aplicació canònic de l'espai de totes les aplicacions bilineales de la forma $X\times Y\to Z,$ dirigida a l'espai de totes les aplicacions llineals de $X\otimes Y\to Z,$ llavors quan el domini de $I$ està restringit a $ℬ(X,Y;Z)$ (espai d'aplicacions bilineales contínues separadament) llavors el ranc d'esta restricció és l'espai $L(X{\otimes }_{\tau }Y;Z)$ d'operadors llineals continus $X{\otimes }_{\tau }Y\to Z.$

Vore també

• Espai normado auxiliar
• Topología inicial
• Producte tensorial inyectivo
• Operador nuclear
• Espai nuclear
• Producte tensorial proyectivo
• Producte tensorial d'espais de Hilbert
• Producte tensorial topològic

Bibliografia

• Diestel, Joe (2008). The metric theory of tensor products : Grothendieck's résumé revisited, Providence, R.I: American Mathematical Society. OCLC 185095773. ISBN 978-0-8218-4440-3.
• Dubinsky, Ed (1979). The structure of nuclear Fréchet spaces, Berlin New York: Springer-Verlag. OCLC 5126156. ISBN 3-540-09504-7.
• Grothendieck, Alexander (1966). Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires (en fr), Providence: American Mathematical Society. OCLC 1315788. ISBN 0-8218-1216-5.
• Husain, Taqdir (1978). Barrelledness in topological and ordered vector spaces, Berlin New York: Springer-Verlag. OCLC 4493665. ISBN 3-540-09096-7.
• Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces (vol. 936), Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag. OCLC 8588370. ISBN 978-3-540-11565-6.
• Narici, Lawrence (2011). Topological Vector Spaces, Second edició, Boca Raton, FL: CRC Press. OCLC 144216834. ISBN 978-1584888666.
• Nlend, H (1977). Bornologies and functional analysis : introductory course on the theory of duality topology-bornology and its use in functional analysis, Amsterdam New York New York: North-Holland Pub. Co. Sole distributors for the U.S.A. and Canada, Elsevier-North Holland. OCLC 2798822. ISBN 0-7204-0712-5.
• Nlend, H (1981). Nuclear and conuclear spaces : introductory courses on nuclear and conuclear spaces in the light of the duality, Amsterdam New York New York, N.Y: North-Holland Pub. Co. Sole distributors for the U.S.A. and Canada, Elsevier North-Holland. OCLC 7553061. ISBN 0-444-86207-2.
• Pietsch, Albrecht (1972). Nuclear locally convex spaces, Berlin,New York: Springer-Verlag. OCLC 539541. ISBN 0-387-05644-0.
• Robertson, A. P. (1973). Topological vector spaces, Cambridge England: University Press. OCLC 589250. ISBN 0-521-29882-2.
• Ryan, Raymond (2002). Introduction to tensor products of Banach spaces, London New York: Springer. OCLC 48092184. ISBN 1-85233-437-1.
• Schaefer, Helmut H. (1999). Topological Vector Spaces, Second edició (vol. 8), New York, NY: Springer New York Imprint Springer. OCLC 840278135. ISBN 978-1-4612-7155-0.
• Trèves, François (2006). Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Mineola, N.Y.: Dover Publications. OCLC 853623322. ISBN 978-0-486-45352-1.
• Wong (1979). Schwartz spaces, nuclear spaces, and tensor products, Berlin New York: Springer-Verlag. OCLC 5126158. ISBN 3-540-09513-6.