Homomorfisme topològic

En anàlisis funcional, un homomorfisme topològic o simplement homomorfisme (si el context aixina ho permet) és un concepte anàlec al d'homomorfisme en general, pero particularizado per a la categoria dels espais vectorials topològics (EVTs). Este concepte és de considerable importància en l'anàlisis funcional, i el teorema de la funció oberta dona una condició suficient per a que una aplicació llineal contínua entre espais de Fréchet siga un homomorfisme topològic.

Definicions

Un homomorfisme topològic és una aplicació llineal contínua $u:X\to Y$ entre espais vectorials topològics (EVTs) de modo que l'aplicació induïda $u:X\to \mathrm{Im}u$ és oberta quan $\mathrm{Im}u:=u(X)$, (que és l'image de $u$), se li dona la topología del subespacio induïda per $Y$. Este concepte és de considerable importància en l'anàlisis funcional i el conegut teorema de la funció oberta dona una condició suficient per a que una aplicació llineal contínua entre espais de Fréchet siga un homomorfisme topològic.

Un embebido de EVT

o un monomorfisme topològic és un homomorfisme topològic inyectivo. De manera equivalent, un embebido de EVT és una aplicació llineal que també és un embebido topològic.

Caracterisació

Suponga's que $u:X\to Y$ és un aplicació llineal entre EVTs, tenint ademés en conte que $u$ es pot descompondre en la composició de les següents aplicacions llineals canòniques:

$X\stackrel{\pi }{\to }X/\ker u\stackrel{u_0}{\to }\mathrm{Im}u\stackrel{\mathrm{In}}{\to }Y$

a on $\pi :X\to X/\ker u$ és la classe d'equivalència canònica i $\mathrm{In}:\mathrm{Im}u\to Y$ és l'aplicació inclusiva.

Els següents enunciats són equivalents:

1. $u$ és un homomorfisme topològic
2. Per a cada base de l'entorn de l'orige $𝒰$ en $X$, $u\left(𝒰\right)$ és una base de l'entorn de l'orige en $Y$.
3. L'aplicació induïda $u_0:X/\ker u\to \mathrm{Im}u$ és un isomorfisme de EVTs.

Si ademés el ranc de $u$ és un espai de Hausdorff de dimensió finita, llavors les proposicions següents són equivalents:

1. $u$ és un homomorfisme topològic.
2. $u$ és continu.
3. $u$ és continu en l'orige.
4. $u^{-1}(0)$ està tancat en $X$.

Vore també

• Homomorfisme
• Funcions obertes i tancades
• Sobreyección d'espais de Fréchet
• Espai vectorial topològic

Bibliografia

• (1987) Topological Vector Spaces: Chapters 1–5, Berlin New York: Springer-Verlag. OCLC 17499190. ISBN 3-540-13627-4.
• Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces, Stuttgart: B.G. Teubner. OCLC 8210342. ISBN 978-3-519-02224-4.
• Köthe, Gottfried (1983). Topological Vector Spaces I (vol. 159), New York: Springer Science & Business Mija. OCLC 840293704. ISBN 978-3-642-64988-2.

• Köthe, Gottfried (1979). Topological Vector Spaces II (vol. 237), New York: Springer Science & Business Mija. OCLC 180577972. ISBN 978-0-387-90400-9.
• Narici, Lawrence (2011). Topological Vector Spaces, Second edició, Boca Raton, FL: CRC Press. OCLC 144216834. ISBN 978-1584888666.
• (1980) Topological Vector Spaces (vol. 53), Cambridge England: Cambridge University Press. OCLC 589250. ISBN 978-0-521-29882-7.
• Schaefer, Helmut H. (1999). Topological Vector Spaces, Second edició (vol. 8), New York, NY: Springer New York Imprint Springer. OCLC 840278135. ISBN 978-1-4612-7155-0.
• (1996) Handbook of Analysis and Its Foundations, Sant Diego, CA: Academic Press. OCLC 175294365. ISBN 978-0-12-622760-4.
• Swartz, Charres (1992). An introduction to Functional Analysis, New York: M. Dekker. OCLC 24909067. ISBN 978-0-8247-8643-4.
• Trèves, François (2006). Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Mineola, N.Y.: Dover Publications. OCLC 853623322. ISBN 978-0-486-45352-1.
• (1982) Topics in Locally Convex Spaces (vol. 67), Amsterdam New York, N.Y.: Elsevier Science Pub. Co. OCLC 316568534. ISBN 978-0-08-087178-3.
• Voigt, Jürgen (2020). A Course on Topological Vector Spaces, Cham: Birkhäuser Basel. OCLC 1145563701. ISBN 978-3-030-32945-7.
• Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces, Mineola, New York: Dover Publications, Inc. OCLC 849801114. ISBN 978-0-486-49353-4.