Subbase

En topología, una subbase per a un espai topològic X en topología T, és una subcoleción B de T la qual genera a T, en el sentit que T és la topología més chicoteta que conté a B. Una definició lleument diferent és usada per alguns autors i existixen atres formulació equivalents de la definició; estes són discutides a continuació.

Definició

Siga X un espai topològic en topología T. Una subbase de T és usualment definida com una subcolección B de T que satisfà una de les dos següents condicions equivalents:

1. La subcolección B genera la topología T. Açò significa que T és la topología més chicoteta que conté a B: qualsevol topología O en X que conté a B també deu contindre a T.
2. La colecció de conjunts oberts construïda en X i totes l'interseccions finitas dels elements de B formen una base per a T. Açò significa que tot conjunt obert propi no buit en T pot ser escrit com una unió d'interseccions finitas d'elements de B.

Explícitament, donat un punt x en un conjunt obert propi O (veïnat de x) existixen varis conjunts finitos S₁, …, S_n de B, tals que l'intersecció d'estos conjunts conté a x i està continguda en O.

(Note que si usem la definició d'intersecció no buida, llavors no és necessari incloure X en la segona definició.)

Per a alguna subcolección S del conjunt de parts P(X), existix una única topología que té a S com una subbase. En particular, l'intersecció de totes les topología en X que conté a S, satisfà esta condició. En general, no sempre existix una única subbase per a una topología donada.

Per lo tant, podem començar en la topología fixa i trobar subbases para dita topología, i podem també començar en una subcolección arbitrària del conjunt de parts P(X) i formar la topología generada per eixa subcolección. Podem lliurement usar qualsevol de les definicions equivalents donades anteriorment; certament en molts casos, una de les dos condicions és més útil que l'atra.

Definició alternativa

Algunes voltes, una definició lleument diferent de subbase és donada, la qual requerix que la subbase B recobrixca a X. En este cas, X és un conjunt obert en la topología generada perque és l'unió de tots els {B_i} mentres B_i vària sobre B. Açò significa, que no poden existir confusions referents a l'us de l'intersecció no buida, en la definició.

No obstant, en esta definició, les dos definicions anteriors, no sempre són equivalents. En atres paraules, existixen espai X en topología T, tals que existix una subcolección B de T, tal que T és la topología més chicoteta que conté a B, a on B no cobrix a X encara. En la pràctica, és una rara ocurrecia; una subbase d'un espai que satisfà el T₁ deu ser una cobertura d'este espai.

Referències

• Stephen Willard, General Topology, (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.