Espai cocient (àlgebra llineal)

En àlgebra llineal, el espai vectorial cocient I/F d'un espai vectorial I per un subespacio vectorial F, és l'estructura natural d'espai vectorial sobre el conjunt cocient de I per la següent relació d'equivalència: v està relacionat en w si i solament si v-w pertany a F.

Definició

Siga I un espai vectorial sobre un cos K, i siga F un subespacio vectorial de I, podem definir la següent relació d'equivalència entre els elements de I:

Daus $u,v\in E$ direm que estan relacionats mòdul $F$ si $u-v\in F$.

Observació:$u-v\in F$ equival a $u-v=w,w\in F$, és dir, $u=v+w,w\in F$ i abusant del llenguage $u=v+F.$

Es denota per $[u]=u+F:=\{u+v:v\in F\}$ $=\{w:w=u+v,v\in F\}$ a la classe de $u$ mòdul $F$.

Cridarem espai cocient al conjunt de tots els elements que complixen les classes d'equivalència anterior:

Es nota per $E/F_{}^{}$ a dit espai cocient.

L'espai $E/F_{}^{}$ és un espai vectorial en les operacions següents:

Observacions

• Si $u\in v+F$ $\iff u+F=v+F$ $\iff [u]=[v]$, per constituir $E/F$ una partició de $E.$

• Si $u\in F$ $\iff u\in [0].$

• Si $u\in ̸F$, $⟨u⟩\cap (u+F)\ne \mathrm{\varnothing }$ $\iff \lambda u=u+v,v\in F$ $\iff (\lambda -1)u\in F$ $\iff \lambda =1.$

• Els elements de $[u]:[u]\ne [0]$ no són un espai vectorial en $E$ puix no té l'element neutre $\overrightarrow{0}.$
• Esta estructura vectorial és l'única en el cocient que fa a la proyecció canònica llineal.

Dimensió de l'espai cocient

Si $E$ és un espai vectorial i $F\subset E$ és un subespacio, llavors l'espai cocient $E/F$ és isomorfo a qualsevol complement de $F$ en $E$, és dir, a qualsevol subespacio $G$ de $E$ tal que $E$ es puga escriure com la suma directa $F\oplus G$. Com a conseqüència, $E$ és isomorfo a la suma directa $F\oplus E/F$, per lo que la dimensió de $E$ verifica

$\dim E=\dim F+\dim E/F$.

A la dimensió de l'espai cocient $E/F$ també li la denomina codimensión de $F$ en $E$.

Si la dimensió de $E$ és finita, també ho és la dimensió de $F$ i llavors es pot escriure

$\dim E/F=\dim E-\dim F$.