Complement ortogonal

En els camp matemàtics del àlgebra llineal i del anàlisis funcional, el complement ortogonal d'un subespacio vectorial $F$ d'un espai vectorial $E$ sobre $ℝ$ dotat d'un producte escalar $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ és el conjunt $F^{⊥}$ de tots els vectores de $E$ que són ortogonals a tot vector de $F$ . És dir,

$F^{⊥} = {u \in E : ⟨ u, v ⟩ = 0 \forall v \in F}$

Propietats

Proyecció ortogonal

D'esta última propietat obtenim que $\forall u \in E u = u_{1} + u_{2}$ , en $u_{1} \in F, u_{2} \in F^{⊥}$ de forma única, per lo que podem definir proyecció ortogonal de $u$ sobre $F$ com $u_{1}$ i escriurem que $π_{F} (u) = u_{1}$ . Simétricament, podem definir la proyecció ortogonal de $u$ sobre $F^{⊥}$ com $u_{2}$ i escriurem $π_{F^{⊥}} (u) = u_{2}$ .

Si definim l'aplicació $π_{F} : E \to F, u \mapsto π_{F} (u)$ tenim que:

Bibliografia

(1992).«Algebra: An Approach via Module Theory».Springer-Verlag.136
(1974).«Finite-dimensional vector spaces».Springer-Verlag.Berlin, New York:
(1973).«Symmetric Bilinear Forms».Springer-Verlag.73

Este artícul conté una traducció derivada de «Complemento ortogonal» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.