Espai F

En anàlisis funcional, un espai F (també escrit en ocasions F-espai) és un espai vectorial $X$ sobre els números reals o complexos junt en una mètrica $d:X\times X\to ℝ$ tal que:

1. La multiplicació escalar en $X$ és contínua sobre $d$ i la mètrica estàndar en $ℝ$ o $ℂ.$
2. La suma en $X$ és contínua sobre $d.$
3. La mètrica és invariante a la translació; és dir, $d(x+a,y+a)=d(x,y)$ per a tots els $x,y,a\in X.$
4. L'espai mètric $(X,d)$ és complet.

L'operació $x\mapsto \Vert x\Vert :=d(0,x)$ es denomina norma F, encara que en general no és necessari que una norma F siga homogénea. En invariancia a la translació, la mètrica es pot recuperar de la norma F. Per lo tant, un espai F real o complex és equivalent a un espai vectorial real o complex equipat en una norma F completa.

Alguns autors utilisen el terme en lloc de , pero normalment el terme "espai de Fréchet" està reservat per als espais F localment convexos. Alguns atres autors utilisen el terme "espai F" com a sinònim de "espai de Fréchet", en lo que es referixen a un espai vectorial topològic metrisable complet localment convexo. La mètrica pot ser o no ser necessàriament partix de l'estructura en un espai F. Molts autors solament requerixen que dit espai siga metrisable, de manera que satisfaça les propietats anteriors.

Eixemples

Tots els espais de Banach i els espais de Fréchet són espais F. En particular, un espai de Banach és un espai F en un requisit adicional de que $d(ax,0)=|a|d(x,0).$

Els espais L^p es pot convertir en espais F per a tots els $p\ge 0$ i per a $p\ge 1$ es poden convertir en espais localment convexos i, per lo tant, en espais de Fréchet i inclús en espais de Banach.

Eixemple 1

$L^{\frac{1}{2}}[0,1]$ és un espai F. No admet seminormas contínues ni funcionals llineals continus; té espai dual trivial.

Eixemple 2

Siga $W_p(𝔻)$ l'espai de totes les série de Taylor en valors complexos

$f(z)=\sum _{n\ge 0}{a}_n{z}^n$

en el disc unitari $𝔻$, de modo que

$\sum _n{\left|a_n\right|}^p<\mathrm{\infty }$

llavors, per a $0<p<1,$, $W_p(𝔻)$ són espais F baix espais Lp:

$\Vert f{\Vert }_p=\sum _n{\left|a_n\right|}^p(0<p<1).$

De fet, $W_p$ és un àlgebra casi de Banach. Ademés, per a qualsevol $\zeta$ en $|\zeta |\le 1$, l'aplicació $f\mapsto f(\zeta )$ és llineal acotada (funcional multiplicativo) en $W_p(𝔻).$

Bibliografia

• (1978) Barrelledness in Topological and Ordered Vector Spaces (vol. 692), Berlin, New York, Heidelberg: Springer Science+Business Mija. OCLC 4493665. ISBN 978-3-540-09096-0.
• Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces (vol. 936), Berlin, Heidelberg, New York: Springer Science+Business Mija. OCLC 8588370. ISBN 978-3-540-11565-6.
• Narici, Lawrence (2011). Topological Vector Spaces, Second edició, Boca Raton, FL: CRC Press. OCLC 144216834. ISBN 978-1584888666.

• Rudin, Walter (1966). Real & Complex Analysis, McGraw-Hill. ISBN 0-07-054234-1.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis, Second edició (vol. 8), New York, NY: McGraw Hill Education. OCLC 21163277. ISBN 978-0-07-054236-5.
• Schaefer, Helmut H. (1999). Topological Vector Spaces, Second edició (vol. 8), New York, NY: Springer New York Imprint Springer. OCLC 840278135. ISBN 978-1-4612-7155-0.
• (1996) Handbook of Analysis and Its Foundations, Sant Diego, CA: Academic Press. OCLC 175294365. ISBN 978-0-12-622760-4.
• Trèves, François (2006). Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Mineola, N.Y.: Dover Publications. OCLC 853623322. ISBN 978-0-486-45352-1.