Bornología

En matemàtiques, especialment en anàlisis funcional, una bornología en un conjunt X és una colecció de subconjunts de X que satisfan axioma que generalisen la noció de conjunt acotat. Una de les motivacions clau darrere de les bornologías i l'anàlisis bornológico és el fet de que els espais bornológicos proporcionen un entorn convenient per al àlgebra homológica en l'anàlisis funcional. Açò es deu a que^{pg 9} la categoria dels espais bornológicos és aditiva, completa, cocompleta i té un producte tensorial adjunt pel hom intern, tots ells components necessaris per a definir un àlgebra homológica.

Història

La bornología s'origina en l'anàlisis funcional. Hi ha dos formes naturals d'estudiar els problemes d'anàlisis funcional: una és estudiar nocions relacionades en la topología (topología vectorials, operadors continus, subconjunts oberts/compactes, etc.) i l'atra és estudiar nocions relacionades en acotaciones (bornologías vectorials, operadors llineals acotats, subconjunts acotats, etc.).

Per als espais vectorials normados, dels quals va sorgir l'anàlisis funcional, les nocions topològiques i bornológicas són distintes pero complementàries i estan estretament relacionades. Per eixemple, la bola unitària centrada en l'orige és al mateix temps un entorn de l'orige i un subconjunt acotat. Ademés, un subconjunt d'un espai normado és un entorn de l'orige (respectivament, és "un conjunt acotat") exactament quan conté (respectivament, està contingut en) un múltiple escalar distint de zero d'esta bola. Llavors, est és un cas a on les nocions topològiques i bornológicas són distintes pero complementàries, en el sentit de que les seues definicions diferixen solament segons quina relació s'usa ($\subseteq$ i $\supseteq$). En atres ocasions, la distinció entre nocions topològiques i bornológicas pot inclús resultar innecessària. Per eixemple, per a aplicacions llineals entre espais normados, ser continu (una noció topològica) equival a ser acotat (una noció bornológica). Encara que la distinció entre topología i bornología sol ser confusa o innecessària per a espais normados, es torna més important quan s'estudien generalisacions d'espais normados. No obstant, la bornología i la topología encara poden considerar-se dos aspectes necessaris, distints i complementaris d'una mateixa realitat.

La teoria general dels espais vectorials topològics va sorgir primer de la teoria dels espais normados i després la bornología va sorgir d'esta teoria general dels espais vectorials topològics, encara que des de llavors la bornología ha segut reconeguda com una noció fonamental en l'anàlisis funcional. Naixcut del treball de George Mackey (que dona nom al espai de Mackey), l'importància dels subconjunts acotats es va fer evident per primera volta en teoria de la dualitat, especialment pel teorema de Mackey-Arens i a la topología de Mackey. A partir de la década de 1950, es va fer evident que els espais vectorials topològics eren inadequats per a l'estudi de certs problemes importants. Per eixemple, l'operació de multiplicació d'algunes àlgebra topològiques importants no era contínua, encara que a sovint estava acotada.

Atres problemes importants per als quals es va trobar que els EVTs eren inadequats va ser el desenroll d'una teoria més general del càlcul diferencial, la generalisació de les distribucions des de les distribucions en valors escalares (les habituals) a distribucions en valors vectorials o d'operadors, i l'extensió del càlcul funcional holomórfico de Gelfand (que està concertat principalment en l'àlgebra de Banach o en l'àlgebra localment convexa) a una classe més àmplia d'operadors, inclosos aquells que els seus espectres no són compactes. S'ha descobert que la bornología és una ferramenta útil per a investigar estos problemes i uns atres, inclosos problemes en geometria algebraica i topología general.

Definicions

Una en un conjunt és un recobriment del conjunt que està tancat baix unions finitas i prenent subconjunts. Els elements d'una bornología es denominen .

Explícitament, una en un conjunt $X$ és una família $ℬ\ne \varnothing$ de subconjunts de $X$ tals que

1. $ℬ$ és estable baix inclusió o si $B\in ℬ$, i llavors cada subconjunt de $B$ és un element de $ℬ.$
   • Expressat en llenguage coloquial, açò significa que els subconjunts de conjunts acotats estan acotats.
2. $ℬ$ recobrix $X.$ Cada punt de $X$ és un element d'algun $B\in ℬ,$ o equivalent, $X=\bigcup _{B\in ℬ}B.$
   • Suponent (1), esta condició pot reemplaçar-se per: per a cada $x\in X,$ $\{x\}\in ℬ.$ En llenguage senzill, açò diu que cada punt està acotat.
3. $ℬ$ és estable baix unions finitas: l'unió d'un número finito d'elements de $ℬ$ és un element de $ℬ,$ o, de manera equivalent, l'unió de qualsevol que pertanyen a $ℬ$ també pertany a $ℬ.$
   • En térmens senzills, açò diu que l'unió de dos conjunts acotats és un conjunt acotat.

en el cas del qual el parell $(X,ℬ)$ es denomina o .

Per lo tant, una bornología pot definir-se de manera equivalent com un recobriment tancat cap a avall que està tancat baix unions binarias. Una família de conjunts no buida que es tanca baix unions finitas i pren subconjunts (propietats (1) i (3)) es diu (perque és un ideal en l'àlgebra de Boole/àlgebra de conjunts que consta de tots els subconjunts). Per lo tant, una bornología en un conjunt $X$ pot definir-se de manera equivalent com un ideal que recobrix $X.$

Els elements de $ℬ$ es denominen o simplement , si es sobreentiende $ℬ$. Les propietats (1) i (2) impliquen que cada subconjunt unitari de $X$ és un element de cada bornología en $X;$ la propietat (3), a la seua volta, garantisa que lo mateixa ocorre en cada subconjunt finito de $X.$ En atres paraules, els punts i els subconjunts finitos sempre estan acotats en cada bornología. En particular, el conjunt buit sempre està acotat.

Si $(X,ℬ)$ és una estructura acotada i $X\notin ℬ,$ llavors el conjunt de complements $\{X\setminus B:B\in ℬ\}$ és un filtre (adequat) cridat ; sempre és un , lo que per definició significa que té una intersecció buida/núcleu, perque $\{x\}\in ℬ$ per a cada $x\in X.$

Bases i subbases

Si $𝒜$ i $ℬ$ són bornologías en $X$, llavors es diu que $ℬ$ és o que $𝒜$ i també es diu que $𝒜$ és o que $ℬ$ si $𝒜\subseteq ℬ.$

Una família de conjunts $𝒜$ es diu o d'una bornología $ℬ$ si $𝒜\subseteq ℬ$ i per cada $B\in ℬ,$ existix un $A\in 𝒜$ tal que $B\subseteq A.$

Una família de conjunts $𝒮$ es diu d'una bornología $ℬ$ si $𝒮\subseteq ℬ$ i la colecció de totes les unions finitas de conjunts en $𝒮$ formen una base per a $ℬ.$.

Cada base d'una bornología és també una subbase d'ella.

Bornología generada

L'intersecció de qualsevol colecció de (una o més) bornologías en $X$ és una volta més una bornología en $X.$ Tal intersecció de bornologías recobrirà $X$ perque cada bornología en $X$ conté cada subconjunt finito de $X$ (és dir, si $ℬ$ és una bornología en $X$ i $F\subseteq X$ és finito, llavors $F\in ℬ$). Es verifica fàcilment que dita intersecció també es tancarà baix inclusió (subconjunt) i unions finitas i, per lo tant, serà una bornología en $X.$.

Donada una colecció $𝒮$ de subconjunts de $X,$, la bornología més chicoteta en $X$ que conté $𝒮$ es diu per $𝒮$. És igual a l'intersecció de totes les bornologías en $X$ que contenen $𝒮$ com a subconjunt. Esta intersecció està ben definida perque el conjunt potencia $\mathrm{\wp }(X)$ de $X$ és sempre una bornología en $X,$ per lo que cada família $𝒮$ de subconjunts de $X$ sempre està continguda en a lo manco una bornología en $X.$

Vore també

• Conjunt bornívoro
• Espai bornológico
• Estructura grossa#Conjunt acotat
• Espai d'aplicacions llineals
• Espai ultrabornológico
• Bornología vectorial

Bibliografia

• (1977) Bornologies and Functional Analysis: Introductory Course on the Theory of Duality Topology-Bornology and its use in Functional Analysis (vol. 26), Amsterdam New York New York: North Holland. OCLC 316549583. ISBN 978-0-08-087137-0.
• “

Per favor, specifica le parametro title. {{{title}}}” (francés) . Séminaire Choquet: Initiation à l'analyse 10 (1): 1–7.

• (1982) Counterexamples in Topological Vector Spaces (vol. 936), Berlin, Heidelberg, New York: Springer Science+Business Mija. OCLC 8588370. ISBN 978-3-540-11565-6.
• (1997) The Convenient Setting of Global Analysis (vol. 53), Providence, R.I: American Mathematical Society. OCLC 37141279. ISBN 978-0-8218-0780-4.
• (2011) Topological Vector Spaces, Second edició, Boca Raton, FL: CRC Press. OCLC 144216834. ISBN 978-1584888666.
• Schaefer, Helmut H. (1999). Topological Vector Spaces, Second edició (vol. 8), New York, NY: Springer New York Imprint Springer. OCLC 840278135. ISBN 978-1-4612-7155-0.