Teorema de Eberlein-Šmulian

En el camp matemàtic del anàlisis funcional, la teorema de Eberlein-Šmulian (cridat aixina per William Frederick Eberlein i Witold Lwowitsch Schmulian) és un resultat que relaciona tres tipos diferents de compacidad dèbil en un espai de Banach.

Afirmació de la teorema

Tipos de compacidad dèbil

Un conjunt A pot ser débilmente compacte de tres maneres diferents:

• Compacidad (o compacidad Heine-Borel): Tot cubrimiento obert de A admet un subrecubrimiento finito.
• Compacidad sucesional: Tota successió en A té una subsucesión convergent el llímit de la qual està en A.
• Compacidad de punt llímit: Tot subconjunt infinit de A té un punt llímit en A.

Teorema de Eberlein-Šmulian

La teorema de Eberlien-Šmulian afirma que les tres són equivalents en una topología dèbil d'un espai de Banach. Mentres que esta equivalència és certa en general per a un espai mètric, la topología dèbil no és metrisable en espais vectorials infinit-dimensionals, i per tant es necessita la teorema de Eberlein-Šmulian.

Aplicacions

La teorema de Eberlein-Šmulian és important en la teoria d'EDPs, i particularment en espais de Sóbolev. Molts espais de Sóbolev són espais de Banach reflexius i d'esta forma els seus subconjunts acotats són débilmente compactes pel teorema de Alaoglu. Aixina, la teorema implica que els subconjunts acotats són débilmente sucesionalmente precompactos, i per tant és possible extraure una subsucesión débilmente convergent en l'espai de qualsevol successió acotada d'elements d'eixe espai. Ya que moltes EDPs solament tenen solucions en el sentit dèbil, esta teorema és un pas important en decidir qué espais de solucions dèbils usar en resoldre una EDP.

Vore també

• Teorema de Banach-Alaoglu
• Teorema de Bishop-Phelps
• Lema de Mazur
• Teorema de James
• Teorema de Goldstine

Referències

• .
• .
• .