Martingala

Una martingala pot modelar apostes sobre un llançament de moneda (en possibilitat de bancarrota).

En teoria de provabilitat, un procés estocàstic de tipo martingala (galicisme de martingale) és una seqüència de variables aleatòries en la que, en un temps donat, l'esperança condicional del següent valor de la seqüència, donat tots els valors anteriors, és igual al valor present.

Història

Este tipo de processos estocàstics reben el seu nom de l'estratègia de la martingala, un método d'apostes que va tindre certa fama en el XVIII. El XIX també es considera el naiximent de la ruleta francesa, a on a sovint s'usava l'estratègia de martingala. L'estratègia de la martingala consistix en tornar a apostar pel total perdut al moment d'incórrer en una pèrdua en un joc d'encert. En la nova aposta, el jugador té la possibilitat de recobrar totes les seues pèrdues, per lo que podria semblar que a llarc determini l'esperança de guany en esta estratègia es mantenen constants i a favor del jugador. De fet, estadísticament és aixina: el capital mig del jugador (açò és, els diners que el jugador té a la seua disposició per a jugar) es manté constant. El problema residix que, en incórrer en successives pèrdues, el jugador que seguixca l'estratègia de la martingala es veu obligat a apostar de nou cantitats cada volta majors (les pèrdues acumulades), que tendixen a créixer exponencialment. A la veta d'uns pocs cicles d'apostes, el jugador, els recursos del qual són habitualment molt inferiors als de la banca, es veu arruïnat en ser incapaç d'apostar de nou pel total de les seues pèrdues. Evitar jugadors que intenten seguir l'estratègia de la martingala és de tots modos una de les raons per les que els cassinos actuals establixen llímits màxims d'aposta.

L'estratègia de la martingala es va popularisar en el XVIII en fama de ser una estratègia ingènua i pròpia de ments simples, ya que encara que en apariència és infalible, està, no obstant, abocada a arruïnar al jugador. Rep el nom dels habitants de la localitat francesa de Martigues (martingales en francés), situada en les rodalies de Marsella, que llavors tenien fama de ser ingenus i simplones.

El concepte de la martingala en la teoria de provabilitats va ser introduït per Paul Pierre Lévy, en 1934; el terme martingala va ser introduït en 1939 per Jean Ville. Una gran part del desenroll original de la teoria ho va realisar Joseph Leo Doob; també va realisar importants contribucions sobre aplicacions analítiques el matemàtic japonés Kiyoshi Itō. Part de la motivació per a eixe esforç era demostrar l'inexistència d'estratègies de joc infalibles.

El concepte va ser immediatament aplicat a l'anàlisis de processos bossístics. Un dels resultats més importants de la matemàtica financera és, precisament, que un mercat perfecte sense possibilitats d'arbitrage és una martingala.

Des de la década de 1970, la teoria de la martingala ha trobat àmplies aplicacions en moltes àrees de les matemàtiques pures i aplicades. En particular, en teoria de la provabilitat, en física matemàtica i en matemàtica financera.

Definició

Definició discreta

Siga $(X_{n})_{n \geq 0}$ una successió de variable aleatòries. Es diu que $M = (M_{n})_{n \geq 0}$ és una martingala sobre $(X_{n})_{n \geq 0}$ sempre que se satisfacen els punts següents:

$𝔼 (| M_{n} |) < \infty$
$𝔼 (M_{n + 1} | X_{0}, ..., X_{n}) = M_{n}$

Una propietat interessant de les martingales és que la seua esperança es manté constant a lo llarc de tots els valors de $n$ . S'adjunta una senzilla prova a continuació:

$𝔼 (M_{n + 1} | X_{0}, ..., X_{n}) = M_{n} \Rightarrow 𝔼 (𝔼 (M_{n + 1} | X_{0}, ..., X_{n})) = 𝔼 (M_{n})$

Aplicant la llei de la provabilitat total a l'esperança (també coneguda com a propietat de la torre, $𝔼 (X) = 𝔼 (𝔼 (X | Y))$ ), es té que:

$𝔼 (𝔼 (M_{n + 1} | X_{0}, ..., X_{n})) = 𝔼 (M_{n + 1}) \Rightarrow 𝔼 (M_{n + 1}) = 𝔼 (M_{n})$

Com és vàlit para tot $n$ es té que les martingales posseïxen esperança constant.

Atres definicions importants (molt relacionades en el concepte de martingala) són la sub i supermatingala. A continuació establim una definició per a cada una d'elles.

Siga $(X_{n})_{n \geq 0}$ una seqüència de variable aleatòries. Es diu que $M = (M_{n})_{n \geq 0}$ és una supermartingala sobre $(X_{n})_{n \geq 0}$ sempre que se satisfacen els punts següents:

$𝔼 (| M_{n} |) < \infty$
$𝔼 (M_{n + 1} | X_{0}, ..., X_{n}) \leq M_{n}$
$M_{n} = f (X_{0}, ..., X_{n})$ , és dir, $M_{n}$ és funció de la successió fins al valor $n$ .

Siga $(X_{n})_{n \geq 0}$ una seqüència de variable aleatòries. Es diu que $M = (M_{n})_{n \geq 0}$ és una submartingala sobre $(X_{n})_{n \geq 0}$ sempre que se satisfacen els punts següents:

$𝔼 (| M_{n} |) < \infty$
$𝔼 (M_{n + 1} | X_{0}, ..., X_{n}) \geq M_{n}$
$M_{n} = f (X_{0}, ..., X_{n})$ , és dir, $M_{n}$ és funció de la successió fins al valor $n$ .

La diferència fonamental entre les supermartingalas i les submartingalas estreba en la direcció de la desigualtat en el segon punt de la definició.

Algunes observacions interessants poden condensarse en els punts següents:

$(M_{n})_{n \geq 0}$ és una supermartingala $⟺$ $(- M_{n})_{n \geq 0}$ és una submartingala.
$(M_{n})_{n \geq 0}$ és una martingala $⟺ (M_{n})_{n \geq 0}$ és una sub i supermartingala.

Notar que en les observacions anteriors estem abusant del llenguage. El terme adequat que caldria utilisar és martingala respecte de la successió $(X_{n})_{n \geq 0}$ .

Definició general

Siga un espai de provabilitat definit per $(Ω, ℱ, P)$ , a on $Ω$ és l'espai de mostra (açò és, el conjunt de tots els possibles resultats d'un experiment aleatori); $ℱ$ és la σ-àlgebra associada a $Ω$ , i $P$ és la mida de provabilitat.

Siga $𝔽$ una filtració de $σ$ -algebras: $ℱ_{1} \subset ℱ_{2} \subset \dots \subset ℱ_{T} \subseteq ℱ$ . Siga ${X (t)} = X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ una successió de variables aleatòries que formen un procés estocàstic.

Llavors, el procés estocàstic ${X (t), t \geq 0}$ adaptat a la filtració $𝔽$ rep el nom de martingala si

𝔼 (X (t) | ℱ_{s}) = X (s)

a on $𝔼$ és l'esperança matemàtica, i a on $ℱ_{s}$ és qualsevol sub-σ-àlgebra de la filtració $𝔽$ .

Açò és, un procés estocàstic és una martingala si la seua esperança en temps 't', en $t > s$ subjecta a la condició de que l'informació coneguda sobre el procés en un instant anterior 's' siga la donada per $ℱ_{s}$ , siga precisament el valor que la variable aleatòria que definix el procés va prendre en dit instant 's'. Dit d'un atre modo, un procés estocàstic és una martingala quan la seua esperança en temps futur és precisament el valor que la variable té en temps present. Açò significa que el procés no té deriva estadística.

Quan el mateix procés estocàstic complix que

𝔼 (X (t) | ℱ_{s}) \geq X (s)

llavors es diu que el procés és una submartingala.

Quan el mateix procés estocàstic complix que

𝔼 (X (t) | ℱ_{s}) \leq X (s)

llavors es diu que el procés és una supermartingala.

Vore també

Referències

Bibliografia

(1925) Calcul de probabilités, Pariu: Gauthier-Villars.
(1953) Stochastic Processes, New York: Wiley.
Plantilla:Springer
Electronic Journal for History of Probability and Statistics.5(1) Entire issue dedicated to Martingale probability theory.
(1991) Probability with Martingales, Cambridge University Press. ISBN 0-521-40605-6.
Oksendal, Bernt (2003). Stochastic Differential Equations, Nova York: Springer-Verlag. ISBN 978-354-004-758-2.

Kleinert, Hagen (2004). Path Integrals in Quàntum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edició, Singapore: World Scientific. ISBN 981-238-107-4.
«Martingales and Stopping Claves: Use of martingales in obtaining bounds and analyzing algorithms» (PDF). University of Athens. Archivat des d'el original, el 19 de febrer de 2018. Consultat el 3 de juny de 2014.
David Williams: Probability with Martingales. Cambridge University Press, Cambridge 1991, ISBN 0-521-40605-6.
Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 5. Auflage, de Gruyter, Berlin 2002, ISBN 3-11-017236-4.
Harald Luschgy (2013). Martingale in diskreter Zeit – Theorie und Anwendungen, New York: Springer Spektrum.
J. Neveu: Discrete-Parameter Martingales. North-Holland, Amsterdam 1975.
Y. S. Chow und H. Teicher: Probability Theory: Independence, Interchangeability, Martingales. Springer, New York 1997.
C. Dellacherie, P.-A. Meyer: Probabilités et potentiel I-IV, Hermann Paris, 1975–1987.
R. Bouss: Optimierung dones Kreditgeschäftes mit Martingalen. Haupt, Bern 2003.

Este artícul conté una traducció derivada de «Martingala» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.