Filtració (àlgebra abstracta)

En matemàtiques, una filtració $ℱ$ és un conjunt indexat S_i de subestructura d'una estructura algebraica S, recorrent el subíndex i cert conjunt I (el conjunt I deu ser un conjunt totalment ordenat) i complint la condició:

Si l'índex i és el paràmetro temps d'un procés estocàstic, llavors la filtració pot interpretar-se com una representació de tot l'històric d'informació fins a un instant donat, i mai inclourà informació que només estarà disponible en el futur. Aixina l'objecte S_i anirà fent-se més informatiu i complex a mida que i creix. Definit això, un procés es diu adaptat a la filtració $ℱ$, si és un procés no anticipatorio, és dir, "no pot prevore el futur".

A voltes, com en una àlgebra filtrada, s'impon el requeriment de que les $S_i$ siguen subálgebras sobre algunes operacions determinades (com per eixemple, la suma vectorial), pero no necessàriament sobre unes atres. A voltes, s'assumix que les filtracions satisfaran requeriments adicionals com que l'unió de totes les $S_i$ deu ser el conjunt $S$ complet, o el que homomorfisme canònic del llímit directe de les $S_i$ en $S$ siga de fet isomorfisme.

Eixemples

Àlgebra

AP

Grups

AP En àlgebra, les filtracions usualment s'indexen per mig de $\mathbb{N}$, el conjunt dels número natural. Una filtració d'un grup G, és llavors una successió anidada G_n de subgrups normals de G (és dir, per a qualsevol n es té G_n+1 ⊆ G_n). Note's que este us del terme "filtració" es correspon en la noció de "filtració descendent".

Donat un grup G i una filtració G_n, existix una manera natural de definir una topología sobre G, "associada" a dita filtració. Una base per a esta topología seria el conjunt de totes les translacions de subgrups que apareixen en la filtració, és dir, un conjunt de G es definix com a obert si és l'unió de conjunts de la forma aG_n, a on a∈G i n és un número natural.

La topología associada a una filtració sobre un grup G fa de G un grup topològic. La topología associada a una filtració G_n sobre un grup G és Hausdorff si i solament si ∩G_n = {1}.

Referències

Bibliografia

• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1.