Funció suau no analítica

En matemàtiques, una funció suau no analítica és aquella que és infinitament diferenciable, pero que no pot expressar-se com una série de potències convergent. La seua existència representa una de les principals diferències entre la geometria diferencial i la geometria analítica. En térmens de fas, esta diferència es traduïx que el fes de funcions diferenciables en una varietat diferenciable és fi, en contrast en el cas analític.

Les funcions infinitament diferenciables (també conegudes com a funcions suaus) i les funcions analítiques són dos tipos molt importants de funcions. Es pot demostrar fàcilment que qualsevol funció analítica d'argumente real és suau, encara que la relació inversa no és certa, com es demostra en el contraeixemple que figura més alvance.

Una de les aplicacions més importants de les funcions suaus en soport compacte és la construcció dels cridats apaciguadores, que són importants en la teoria de funcions generalisades, com la teoria de Laurent Schwartz de distribucions.

Les funcions següents s'utilisen generalment per a construir particions de l'unitat en varietats diferenciables.

Funció d'eixemple

Definició de la funció

Archiu:Non-analytic smooth function.png

La funció suau no analítica f(x) considerada en l'artícul

Considere's la funció

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{-\frac{1}{x}}& \text{ si }x>0,\\ 0& \text{ si }x\le 0,\end{array}$

definida per a cada número real x.

La funció és suau

La funció f té derivadas contínues de tots els órdens en cada punt x de la recta real. La fòrmula per a estes derivades és

$f^{(n)}(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{p_n(x)}{x^{2n}}f(x)& \text{ si }x>0,\\ 0& \text{ si }x\le 0,\end{array}$

a on p_n(x) és un polinomi de grau n − 1, generat recursivamente per p₁(x) =&nbsp ;1 i

$p_{n+1}(x)=x^2{p_n}^{\prime }(x)-(2nx-1)p_n(x)$

per a qualsevol número entero n positiu. A partir d'esta fòrmula, no queda completament clar que les derivades siguen contínues en 0, lo que es desprén del llímit unilateral

$\underset{x\searrow 0}{\lim }\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^m}=0$

per a qualsevol número entero no negatiu m.

La funció no és analítica

Com es va vore anteriorment, la funció f és suau i totes les seues derivades en l'orige són 0. Per lo tant, la série de Taylor de f en l'orige convergix en tots els llocs a zero,

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{0}{n!}{x}^n=0,x\in ℝ,$

i llavors la série de Taylor no és igual a f(x) per a x > 0. En conseqüència, f no és analítica en l'orige.

Funcions de transició suau

Archiu:Smooth transition from 0 to 1.png

La transició suau g de 0 a 1 es definix ací

La funció

$g(x)=\frac{f(x)}{f(x)+f(1-x)},x\in ℝ,$

té un denominador estrictament positiu en tots els llocs de la recta real, per lo que g també és suau. Ademés, g(x) = 0 per a x ≤ 0 i g(x) =  1 per a x ≥ 1, per lo que proporciona una transició suau del nivell 0 al nivell 1 en l'interval unitat [0, 1]. Per a dispondre d'una transició suau en l'interval real [a, b] en a < b, considere's la funció

$ℝ\ni x\mapsto g\left(\frac{x-a}{b-a}\right).$

Per a número real a < b < c < d, la funció suau

$ℝ\ni x\mapsto g\left(\frac{x-a}{b-a}\right)g\left(\frac{d-x}{d-c}\right)$

és igual a 1 en l'interval tancat [b, c] i desapareix fòra de l'interval obert (a, d), per lo que pot amprar-se com funció bulto.

Una funció suau que no és en ninguna parte verdaderament analítica

Archiu:Smooth non-analytic function.png

Aproximació de la funció mencionada ací, suau en tots els llocs pero analítica en cap. Esta suma parcial es pren des de k=2⁰ fins a 2⁵⁰⁰

Un eixemple més patològic és una funció infinitament diferenciable que no és analítica en cap punt. Es pot construir per mig d'una série de Fourier de la següent manera. Definir para tot $x\in ℝ$

$F(x):=\sum _{k\in \mathbb{N}}{e}^{-\sqrt{2^k}}\cos (2^{k}x).$

Ya que la série $\sum _{k\in \mathbb{N}}{e}^{-\sqrt{2^k}}{(2^k)}^n$ convergix para tot $n\in \mathbb{N}$, es veu fàcilment que esta funció és de classe C^∞, per mig d'una aplicació inductiva estàndar de la prova M de Weierstrass per a demostrar la convergència uniforme de cada série de derivades.

Ara es demostra que $F(x)$ no és analítica en cap múltiple racional diàdic de π, és dir, en qualsevol $x:=\pi \cdot p\cdot 2^{-q}$ en $p\in \mathbb{Z}$ i $q\in \mathbb{N}$. Ya que la suma dels primers térmens de $q$ és analítica, solament es necessita considerar $F_{>q}(x)$, la suma dels térmens en $k>q$. Per a tots els órdens de derivació $n=2^m$ en $m\in \mathbb{N}$, $m\ge 2$ i $m>q/2$ es té que

$F_{>q}^{(n)}(x):=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{k\in \mathbb{N}}{k>q}}{e}^{-\sqrt{2^k}}{(2^k)}^n\cos (2^{k}x)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{k\in \mathbb{N}}{k>q}}{e}^{-\sqrt{2^k}}{(2^k)}^n\ge e^{-n}{n}^{2n}(\mathrm{a}\mathrm{s}n\to \mathrm{\infty })$

a on s'usa el fet de que $\cos (2^{k}x)=1$ para tot $2^k>2^q$, i es llimita la primera suma des d'avall pel terme en $2^k=2^{2m}=n^2$. Com a conseqüència, en qualsevol $x\in ℝ$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{\left(\frac{|F_{>q}^{(n)}(x)|}{n!}\right)}^{1/n}=+\mathrm{\infty },$

de modo que el ràdio de convergència de la série de Taylor de $F_{>q}$ en $x$ siga 0 per la fòrmula de Cauchy-Hadamard. Ya que el conjunt de analiticidad d'una funció és un conjunt obert, i ya que els racionals diàdics són densos, es conclou que $F_{>q}$, i per lo tant $F$, no és analític en ninguna parte de $ℝ$.

Vore també

• Funció bulto
• Funció de Fabius
• Funció plana
• Apaciguador