Llímit superior i llímit inferior

Una ilustració representant el llímit superior i el llímit inferior en un sistema de coordenades cartesianas. La successió x_n està denotada en una llínea a punts blau. Les dos curves roges s'aproximen al llímit superior i llímit inferior de x_n, el cas del qual es mostren com a llínees a traços roges, contínues a la dreta. El llímit superior és el més gran dels dos, i el llímit inferior el més chicotet dels dos. Els llímits superior i inferior solament coincidixen quan la seqüència és convergent (i.i., quan el llímit és comú).

En matemàtica es definix llímit superior i llímit inferior d'una successió (x_n) com el major i menor llímit convergent de les subsecuencias de (x_n). Análogamente a est, el llímit superior i llímit inferior para funcions reals es definix de la mateixa manera. El llímit superior i el llímit inferior són un substitut parcial per al llímit, si és que este no existix. Per definició no es pot superar al llímit superior.

Definició formal

Formalment el llímit inferior d'una successió $(x_n)$ es definix com

$\underset{n\ge 0}{\sup }\underset{k\ge n}{\inf }{x}_k=\sup \{\inf \{x_k:k\ge n\}:n\ge 0\}$

o també com

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\underset{k\ge n}{\inf }{x}_k\right)$

i es denota com $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{x}_n$ o com $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{x}_n$. Análogamente es definix $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{x}_n=\underset{n\ge 0}{\inf }\underset{k\ge n}{\sup }{x}_k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\underset{k\ge n}{\sup }{x}_k\right)$.

Estes definicions són útils en un conjunt parcialment ordenat en un sentit quantitatiu, i proporcionen que el suprem i l'ínfim existixquen. En una ret reticular completa sempre existixen estos valors, per lo que en este cas, cada seqüència té un llímit inferior i llímit superior associat.

Si existix el llímit inferior i el llímit superior d'una successió $(x_n)$, es complix que $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{x}_n\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{x}_n.$

Ademés es verifica que si el llímit de la successió existix, est és igual tant al llímit inferior com al superior.

Bibliografia

• Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. Editorial De Gruyter, Berlín 1992, ISBN 3-11-013626-0 (Edició normal), ISBN 3-11-013625-6 (edició de bojaca), p. 93 (en Successions de conjunts).