Mantissa

Gràfic de la funció mantissa del logaritmo en base 10.

Originalment, en l'àmbit dels logaritmos, la mantissa d'un logaritmo decimal és la seua part decimal o fraccionaria.

• En el logaritmo decimal ${\log }_{10}\left(123.7585\right)\approx 2,092575$ $={\log }_{10}(100\times 1,237585)$, la característica és 2, perque ${\log }_{10}\left(100\right)=2$, i la seua mantissa és ${\log }_{10}(1,237585)=0,092575$.

La mantissa sempre és un valor positiu major que zero i inferior a 1, ya que s'origina del logaritmo en base 10 d'un número major que zero, i menor que dèu. La característica és la part sancera que representa la magnitut del número, la magnitut de la seua antilogaritmo expressada en número de posicions del punt decimal.

Per extensió, a voltes també es diu mantissa al significant o sifres significatives d'un número expressat en notació científica, encara que William Kahan, principal creador de l'estàndart IEEE 754, i Donald E. Knuth, sempre varen defendre que "mantissa" era un terme incorrecte usat en este context, ya que no coincidix la seua interpretació matemàtica.

Definició

És en este sentit que es parla de mantissa i característica d'un logaritmo decimal.. La mantissa es definix com el logaritmo (en base 10) d'un número en magnitut normalisada per a prendre un valor major que un i menor que dèu, i este logaritmo és, per tant, sempre major que zero i menor que un, mentres que la característica és la part sancera d'este valor, i representa la magnitut de forma logarítmica del número que s'ha normalisat, que serà negativa per a números menors que un.

En paraules més senzilles, la mantissa és la part decimal o fraccionaria del valor del logaritmo (en base 10) d'un número, i la característica la part sancera:

• En log₁₀(123,7) = ${\log }_{10}(10^2\times 1.237)$ = ${\log }_{10}\left(10^2\right)+{\log }_{10}\left(1.237\right)$ $\approx$ 2 + 0.09237 = 2.09237, la característica és 2 i la mantissa és 0.09237
• En valors menors a 1 s'usa característica negativa: log₁₀(0.012) = ${\log }_{10}(10^{-2}\times 1.2)$ = ${\log }_{10}\left(10^{-2}\right)+{\log }_{10}\left(1.2\right)$= $-2+{\log }_{10}(1.2)$ $\approx$ -2 + 0.07918 = -1.92082, la característica és -2 i la mantissa (positiva) és 0.07918.
• En este context carix de sentit referir-se al logaritmo de zero (infinit negatiu) ni a valors negatius (el resultat dels quals seria un número complejo).

La mantissa del logaritmo decimal d'un número x major que zero és igual a un número real m tal que 0  ≤ m ≤ 1 definit per la fòrmula:

a on C és la característica o part sancera de ${\log }_{10}(x)$.

Com a conseqüència de la definició, els números ${\log }_{10}(x)$ i ${\log }_{10}(10^{k}x)$ tenen igual mantissa, per a tot número entero k.

Ya s'ha comentat que és incorrecte el seu us com significant o sifres significatives d'un número expressat en notació científica.

En ocasions, senzillament per analogia o generalisació, es menciona la mantissa com la funció que torna la part fraccionaria d'un número real x, per ser un concepte molt "intuïtiu", obviant la seua definició com logaritmo d'un número en magnitut normalisada entre un i dèu:

$\mathrm{frac}(x)=x-\lfloor x\rfloor$

S'ha de tindre en conte que no és tan "intuïtiu" per al cas dels números negatius.

La denominació adequada per a esta funcionalitat és valor fraccionario o part fraccionaria (en anglés, "fractional value" o "fractional part").

Eixemples

• La mantissa de log₁₀(500) és 0,69897, en característica 2, puix:

${\log }_{10}(500)$ = ${\log }_{10}(10^2\times 5)$ = 2 + ${\log }_{10}(5)$ $\approx$ 2 + 0,69897 = 2,69897

• La mantissa de log₁₀(123.7) és 0.09237, en característica 2, puix:

${\log }_{10}(23.7)$ = ${\log }_{10}(10^2\times 1.237)$ = ${\log }_{10}\left(10^2\right)+{\log }_{10}\left(1.237\right)$ $\approx$ 2 + 0.09237 = 2.09237

• La mantissa de log₁₀(0.012) és 0.07918, en característica -2, puix:

${\log }_{10}(0.012)$ = ${\log }_{10}(10^{-2}\times 1.2)$ = ${\log }_{10}\left(10^{-2}\right)+{\log }_{10}\left(1.2\right)$= $-2+{\log }_{10}(1.2)$ $\approx$ -2 + 0.07918 = -1.92082

• La mantissa de log₁₀(0.008) és 0,90309, en característica -3, puix:

${\log }_{10}(0.008)$ = ${\log }_{10}(10^{-3}\times 8)$ = -3 + ${\log }_{10}(8)$ $\approx$ -3 + 0,90309 = -2,09691

Vore també

• Notació científica
• Significant
• Sifres significatives

Funció definida a trossos

Funció escaló de Heaviside

Funció rectangular

Funció escalonada

Funció identitat

Funció signe

Valor absolut

Funció rampa

Funcions de part sancera

Part fraccionaria