Sistema de numeració

Es coneix com un sistema de numeració a un conjunt finito de símbols que s'ampra en algun método per a assignar numerals, o símbols numèrics. Hi ha diversos sistemes que han segut o són actualment amprats.

Definició

Un sistema de numeració és un conjunt de símbols i reglas de generació que permeten construir tots els números vàlits. Un sistema de numeració pot obtindre's com:

a on:

$𝒩$ és el sistema de numeració considerat (p.ej. decimal, binario, hexadecimal, etc.).
$S$ és el conjunt de símbols permesos en el sistema. En el cas del sistema decimal són {0,1,2...9}; en el binario són {0,1}; en el octal són {0,1,...7}; en l'hexadecimal són {0,1,...9,A,B,C,D,I,F}.
$ℛ$ són les regles que nos indiquen qué números i quines operacions són vàlits en el sistema, i quins no. En un sistema de numeració posicional les regles són prou simples, mentres que la numeració romana requerix regles alguna cosa més elaborades.

Estes regles són diferents per a cada sistema de numeració considerat, pero una regla comuna a tots és que per a construir números vàlits en un sistema de numeració determinat solament es poden utilisar els símbols permesos en eixe sistema.

Per a indicar en quin sistema de numeració es representa un símbol s'afig un subíndex a la dreta indicant la cantitat de símbols que es poden representar en dit sistema.

Classificació

Els sistemes de numeració poden classificar-se en dos grans grups: posicionals i no posicionals:

En els sistemes no posicionals els dígits tenen el valor del símbol utilisat, que no depén de la posició (columna) que ocupen en el número.
En els sistemes de numeració ponderats o posicionals el valor d'un dígit depén tant del símbol utilisat, com de la posició que eixe símbol ocupa en el número.

Per eixemple, el sistema de numeració egipcíac és no posicional, en canvi el babilònic és posicional. Les llengües naturals posseïxen sistemes de numeració posicionals basats en base 10 o 20, a voltes en subsistema de cinc elements. Ademés, en algunes poques llengües els numerals bàsics a partir de quatre tenen noms basats en numerals més menuts.

Sistemes de numeració no posicionals

Estos són els més antics, s'usaven per eixemple els dits de la mà per a representar la cantitat cinc i despuix es parlava de quantes mans es tenia. També se sap que s'usava cordes en nucs per a representar cantitat. Té mucho que ver en la coordinabilidad entre conjunts. Entre ells estan els sistemes de l'antic Egipte, el sistema de numeració romana, i els usats en Mesoamérica per mayas, aztecas i atres pobles.

De la mateixa manera que atres civilisacions mesoamericanas, els mayas utilisaven un sistema de numeració de raïl mixta de base 20 (vigesimal). També els mayas preclásicos varen desenrollar independentment el concepte de zero (existixen inscripcions datades cap a l'any 36 a. C. que aixina ho atesten).

Sistemes de numeració posicionals

Artícul principal → Sistema de numeració posicional.

El número de símbols permesos en un sistema de numeració posicional es coneix com a base del sistema de numeració. Si un sistema de numeració posicional té base b significa que disponem de b símbols diferents per a escriure els números, i que b unitats formen una unitat d'orde superior.

Eixemple en el sistema de numeració decimal

Si contem des de 0, incrementant una unitat cada volta, en aplegar a 9 unitats, hem agotat els símbols disponibles, i si volem seguir contant no disponem d'un nou símbol per a representar la cantitat que hem contat. Per tant afegim una nova columna a l'esquerra del número, reutilisem els símbols de que disponem, diem que tenim una unitat de primer orde (decena), posem a zero les unitats, i seguim contant.

D'igual forma, quan contem fins a 99, hem agotat els símbols disponibles per a les dos columnes; per tant si contem (sumim) una unitat més, devem posar a zero la columna de la dreta i sumar 1 a la de l'esquerra (decenes). Pero la columna de l'esquerra ya ha agotat els símbols disponibles, aixina que la posem a zero, i sumim 1 a la següent columna (centena). Com a resultat nos queda que 99 + 1 = 100.

El conte quilómetros mecànic, en utilisar el sistema de numeració posicional decimal, nos mostra lo anterior: va sumant 1 a la columna de la dreta i quan la roda d'eixa columna ha completat un regrés (es agoten els símbols), es posa a zero i s'afig una unitat a la següent columna de l'esquerra.

Pero estem tan habituats a contar usant el sistema decimal que no som conscients d'este comportament, i donem per fet que 99 + 1 = 100, sense parar-nos a pensar en el significat que tanca eixa expressió.

Tal és la costum de calcular en decimal que la majoria de la població ni tan sols s'imagina que puguen existir atres sistemes de numeració diferents al de base 10, i tan vàlits i útils com a est. Entre eixos sistemes es troben el de base 2 sistema binario, de base 8 sistema octal i el de base 16 sistema hexadecimal.

També els antics mayas varen tindre de numeració posicional el qual ya no s'usa.

Vore també

Referències

Bibliografia

Georges Ifrah. The Universal History of Numbers : From Prehistory to the Invention of the Computer, Wiley, 1999. ISBN 0-471-37568-3.

D. Knuth. The Art of Computer Programming. Volume 2, 3rd Ed. Addison–Wesley. pp. 194–213, "Positional Number Systems".
A.L. Kroeber (Alfred Louis Kroeber) (1876–1960), Handbook of the Indians of Califòrnia, Bulletin 78 of the Bureau of American Ethnology of the Smithsonian Institution (1919)
J.P. Mallory and D.Q. Adams, Encyclopedia of Indo-European Culture, Fitzroy Dearborn Publishers, London and Chicago, 1997.

Hans J. Nissen, P. Damerow, R. Englund, Archaic Bookkeeping, University of Chicago Press, 1993, ISBN 0-226-58659-6.

Denise Schmandt-Besserat, How Writing Came About, Universitat de Texas, 1992, ISBN 0-292-77704-3.

Este artícul conté una traducció derivada de «Sistema de numeración» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.