Pla afí

En geometria, un pla afí és un sistema de punts i rectes que satisfan els següents axioma:

• Dos punts distints es troben en una única recta.
• Cada recta té a lo manco dos punts.
• Donada qualsevol recta i qualsevol punt no pertanyent a la mateixa, existix una única recta que conté al punt i no es talla en la recta donada (axioma de Playfair).
• Existixen tres punts no-colineares (punts no situats en una sola recta).

En un pla afí, dos rectes es diuen "paraleles" si són iguals (tots els seus punts coincidixen) o disjuntas (no tenen cap punt en comú). Utilisant esta definició, l'axioma de Playfair pot ser reemplaçat per l'expressió:

• Donats un punt i una recta, existix una única recta que conté al punt i és paralela a la recta donada.

El paralelisme és un relació d'equivalència entre les rectes d'un pla afí.

Ya que en els axioma no intervenen conceptes distints dels que impliquen la relació entre punts i rectes, un pla afí és un objecte d'estudi pertanyent a la geometria d'incidència. Són espais llineals no degenerados que satisfan l'axioma de Playfair.

El familiar espai euclídeo bidimensional és un pla afí. Hi ha molts plans afins finitos i infinits. Ademés de plans afins sobre cossos (i anells de divisió), també existixen molts plans no Desarguesianos, no derivats de coordenades en un anell de divisió, satisfent estos axioma. El pla de Moulton és un d'estos eixemples.

Plans afins finitos

Pla afí d'orde 3
9 punts, 12 llínees

Si el número de punts en un pla afí és finito, llavors si una llínea del pla conté n punts, es té que:

• Cada llínea conté n punts,
• Cada punt està contingut en n + 1 llínees,
• Hi ha n² punts en total, i
• Hi ha un total de n² + n llínees.

El número n es diu el orde del pla afí.

Tots els plans afins finitos coneguts tenen órdens que són número entero primers o potències de número primo. El pla afí més chicotet (d'orde 2) s'obté llevant una llínea i els tres punts en eixa llínea al pla de Fano. Una construcció similar, a partir del pla proyectivo d'orde tres, produïx el pla afí d'orde tres (en ocasions denominat configuració de Hesse). Un pla afí d'orde n existix si i solament si, també existix un pla proyectivo d'orde n (no obstant, la definició de orde en estos dos casos no és la mateixa). Per lo tant, no existixen plans afins d'orde 6 o d'orde 10, ya que no hi ha plans proyectivos d'estos órdens. El teorema de Bruck–Ryser–Chowla proporciona atres llimitacions en l'orde d'un pla proyectivo i, per lo tant, en l'orde d'un pla afí.

Les n² + n llínees d'un pla afí d'orde n s'agrupen en n + 1 classes d'equivalència de n llínees cada una baix la relació d'equivalència del paralelisme. Estes classes es diuen "classes paraleles" de llínees. Les llínees de qualsevol classe paralela formen una partició dels punts del pla afí. Cada una de les n + 1 llínees que passen a través d'un únic punt es troba en una classe paralela diferent.

L'estructura de classes paraleles d'un pla afí d'orde n es pot utilisar per a construir un conjunt de n − 1 quadrats greco-llatins. Solament les relacions d'incidència són necessàries per a definir esta construcció.

Relació en plans proyectivos

Artícul principal → Pla proyectivo.

Un pla afí es pot obtindre de qualsevol pla proyectivo per mig de l'eliminació d'una llínea i tots els punts en ella, i pel contrari qualsevol pla afí es pot utilisar per a construir un pla proyectivo per mig de l'adició d'un llínea de l'infinit, en la que cada u dels seus punts és un punt de l'infinit, a on coincidixen les llínees paraleles d'una classe d'equivalència.

Si el pla proyectivo és no Desarguesiano, l'eliminació de diferents llínees podria resultar en plans afins no isomorfos. Per eixemple, hi ha exactament quatre plans proyectivos d'orde nou i sèt plans afins d'orde nou. Solament hi ha un pla afí corresponent al d'orde nou, ya que el pla proyectivo actua com un grup colinear sobre les llínees del pla transitivamente. Cada u dels tres plans no-Desarguesianos d'orde nou té grups de colineación que posseïxen dos òrbites en les llínees, produint dos plans afins no isomòrfics d'orde nou, depenent de l'òrbita en la que se seleccione la llínea a ser eliminada.