Punt ideal
En geometria hiperbòlica, un punt ideal, punt omega[1] o punt en l'infinit és un punt ben definit fora del pla o espai hiperbòlic.
Donada una llínea recta l i un punt P que no està en l, les paraleles llímit dreta i esquerra a la rectal que passen a través de P convergixen en l en punts ideals.
A diferència del cas proyectivo, els punts ideals formen una varietat, no una subvariedad. Llavors, estes llínees no es tallen en un punt ideal i tals punts, encara que ben definits, no pertanyen a l'espai hiperbòlic en sí mateixa.
Els punts ideals junts formen l'absolut de Cayley o llímit d'una geometria hiperbòlica.
Per eixemple, la circumferència goniométrica forma l'absolut de Cayley del disc de Poincaré i del model de disc de Klein. Per un atre costat, la recta real forma l'absolut de Cayley del model de semiplano de Poincaré.[2]
l'axioma de Pasch i el teorema de l'àngul exterior seguixen sent vàlits per a un triàngul omega, definit per dos punts en l'espai hiperbòlic i un punt omega.[3]
Propietats
[editar | editar còdic]- La distància hiperbòlica entre un punt ideal i qualsevol atre punt o punt ideal és infinita.
- Els centres d'horociclos i horobolas són punts ideals; dos horociclos són concèntrics quan tenen el mateix centre.
Polígons en vèrtiços ideals
[editar | editar còdic]Triànguls ideals
[editar | editar còdic]- Artícul principal → artícul.
Si tots els vèrtiços d'un triàngul hiperbòlic són punts ideals, el triàngul és un triàngul ideal.
Algunes propietats dels triànguls ideals són:
- Tots els triànguls ideals són congruents.
- Els ànguls interiors d'un triàngul ideal són tots zero.
- Qualsevol triàngul ideal té un perímetro infinit.
- Qualsevol triàngul ideal té un àrea , a on K és la curvatura (negativa) del pla hiperbòlic.[4]
Quadrilàters ideals
[editar | editar còdic]Si tots els vèrtiços d'un quadrilàter són punts ideals, el quadrilàter és un quadrilàter ideal.
Si ben tots els triànguls ideals són congruents, no tots els quadrilàters ho són; les diagonals poden formar diferents ànguls entre sí donant com resultat quadrilàters no congruents. En conseqüència:
- Els ànguls interiors d'un quadrilàter ideal són tots zero.
- Qualsevol quadrilàter ideal té un perímetro infinit.
- Qualsevol quadrilàter ideal (convex no autointersecante) té un àrea a on K és la curvatura (negativa) del pla.
Quadrat ideal
[editar | editar còdic]El quadrilàter ideal a on les dos diagonals són perpendiculars entre sí formen un quadrat ideal.
Va ser utilisat per Ferdinand Karl Schweikart en el seu memoràndum sobre lo que va cridar "geometria astral", una de les primeres publicacions que va reconéixer la possibilitat de la geometria hiperbòlica.[5]
n-ágonos ideals
[editar | editar còdic]Un "n"-ágono ideal es pot subdividir en triànguls ideals (n − 2), en un àrea (n − 2) multiplicada per l'àrea d'un triàngul ideal.
Vore també
[editar | editar còdic]- Triàngul ideal
- Poliedre ideal
- Punt de l'infinit per a usos en atres geometria.
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ The geometric viewpoint : a survey of geometries, Reading, Mass.: Addison-Wesley, p. 109. ISBN 0-201-87450-4.
- ↑ (2010).«Senar-euclidean geometries: the Cayley-Klein approach».Journal of Geometry.89(1)
- 151–170.ISSN 0047-2468.doi:10.1007/s00022-010-0053-z.
- ↑ Hvidsten, Michael (2005). Geometry with Geometry Explorer, New York, NY: McGraw-Hill, pp. 276–283. ISBN 0-07-312990-9.
- ↑ Thurston, Dylan. «274 Curves on Surfaces, Lecture 5». Archivat des d'el original, el 9 de giner de 2022. Consultat el 2013-07-23.
- ↑ Senar-Euclidean geometry : a critical and historical study of its developments, Unabridged and unaltered republ. of the 1. English translation 1912. edició, New York, NY: Dover, pp. 75–77. ISBN 0486600270.
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Punto ideal» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.