Simetria (geometria)
- Simetria vertical (eixos rojos)
- Simetria horisontal (eixos blaus)
- Simetria central (punts roses)
- Sense simetria (quirales)
Des del punt de vista geomètric, un objecte posseïx simetria si existix una "operació" o "transformació" (com una isometría o una transformació afí) capaç d'aplicar la seua figura sobre sí mateixa. De forma anàloga, es diu que l'objecte és simètric perque posseïx una invarianza sobre la transformació.[1]
Per eixemple, un círcul girat al voltant del seu centre tindrà la mateixa forma i tamany que el círcul original: tots els punts abans i despuix de la transformació serien indistinguibles. En conseqüència, es diu que un círcul és simètric per rotació o que posseïx simetria rotacional. Si la isometría és el reflex d'una figura geomètrica, es diu que la figura té un eix de simetria; ademés, és possible que una figura o objecte tinga més d'un eix de simetria.[2]
Els tipos de simetria que són possibles per a una figura depenen del conjunt de transformacions geomètriques disponibles i de quines propietats de l'objecte deguen permanéixer sense canvis despuix d'una transformació. Degut a que la composició de dos transformacions també és una transformació, i que cada transformació té una transformació inversa que la desfà, el conjunt de transformacions respecte a les que un objecte és simètric forma un grup matemàtic, el grup de simetria de l'objecte.[3]
Simetria euclídeas en general
[editar | editar còdic]El grup més comú de transformacions aplicades als objectes es denomina grup euclídeo de "isometrías", que són transformacions que conserven la distància relativa entre els seus punts, comunament considerades en l'espai bidimensional o tridimensional (és dir, en la geometria del pla o en la geometria de l'espai).
Estes isometría consistixen en reflexions, rotacions, translacions i combinacions d'estes tres operacions bàsiques.[4] En una transformació isomètrica, es diu que una figura és simètrica si, despuix de la transformació, és indistinguible de l'objecte original abans de la transformació. De forma general, un objecte geomètric és simètric solament baix un subconjunt o "subgrup" de totes les isometría possibles.
A continuació es descriuen els tipos de subgrups d'isometría, seguits per atres tipos de grups de transformació i pels tipos d'invariancia possibles.
| 1D | 2D | 3D | 4D | |||||
| Número de Reflexions | Punt | Afinitat | Punt | Afinitat | Punt | Afinitat | Punt | Afinitat |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Reflexió | Reflexió | Reflexió | Reflexió | ||||
| 2 | Translació | Rotació | Translació | Rotació | Translació | Rotació | Translació | |
| 3 | Trasreflexión | Rotorreflexión | Trasreflexión | Rotorreflexión | Trasreflexión | |||
| 4 | Rototraslación | Doble rotació | Rototraslación | |||||
| 5 | Rototrasreflexión | |||||||
En esta taula es presenten les distintes possibilitats de simetria habituals en espais euclídeos de distinta dimensió i les seues combinacions. En les columnes "Punt" i "Afinitat" es distinguix l'element de referència de cada transformació. Per eixemple, en el cas de les reflexions, una reflexió respecte a un punt (que produïx una simetria com la de la lletra "S"), és distinta a una simetria per afinitat (que produïx una simetria bilateral respecte a un eix, com la que posseïx la lletra "T"). Les "rotacions" sempre es consideren respecte a un punt (el punt de gir), i les "translacions" són sempre transformacions afins, ya que impliquen desplaçar formes paralelament a sí mateixes (per eixemple, una cadena illimitada de la mateixa lletra repetida, posseiria este tipo de simetria, denominada traslacional).
Les combinacions d'estos tres elements es denominen combinant els seus noms, conservant solament l'últim sense abreviar. Aixina, per eixemple, quan es menciona una "rototrasreflexión", s'està fent referència a la combinació d'una rotació, d'una translació i d'una reflexió. En el cas de les 4 dimensions, es produïx la "doble rotació", una característica d'este espai que permet introduir dos rotacions totalment independents entre sí. A mida que aumenta el número de dimensions, s'incrementa gradualment el número de transformacions possibles.
Segons el teorema de Cartan-Dieudonné, una transformació ortogonal qualsevol en un espai n dimensional, pot representar-se per la composició de com a molt n reflexiones.
Simetria de reflexió
[editar | editar còdic]- Artícul principal → Simetria bilateral.
Es denomina simetria especular, simetria llineal, simetria de reflexió, simetria respecte a un espill o simetria bilateral, a la simetria generada per mig d'una reflexió.[5]
En una dimensió, hi ha un punt de simetria sobre el que té lloc la reflexió; en dos dimensions la simetria es referix a un eix; i en tres dimensions, es parla d'un pla de simetria.[6] Una figura per a la que cada u dels seus punts s'apliquen un a un sobre un atre punt de la figura, equidistants i en costats oposts d'un pla comú, es diu que posseïx simetria especular (vore image especular).
L'eix de simetria d'una figura bidimensional és una llínea tal que, si es construïx una recta perpendicular, qualsevol dels dos punts que es troben en la perpendicular a distàncies iguals de l'eix de simetria són idèntics entre sí. Una atra forma de pensar-ho és que si la forma es doblara per la mitat sobre l'eix, les dos mitats serien idèntiques: cada mitat és l'image reflectida de l'atra. Per lo tant, un quadrat té quatre eixos de simetria, perque hi ha quatre formes diferents de doblar-ho i fer que tots els seus costats coincidixquen. Pel mateix motiu, una circumferència té infinits eixos de simetria que passen pel seu centre.[7]
Si la lletra "T" es reflectix respecte a un eix vertical, conserva exactament la mateixa forma. Açò a voltes es diu simetria vertical. Es pot utilisar una formalisació més precisa, com per eixemple afirmant que "T té un eix de simetria vertical" o que "T té simetria d'esquerra a dreta".
Els triànguls en simetria de reflexió són triànguls isósceles, els quadrilàter en esta simetria són el deltoide i els trapezis isósceles.[8]
Per a cada llínea o pla de reflexió, el grup de simetria és isomorfo en Cs (vore grup puntual en tres dimensions), un dels tres tipos d'orde dos (involució), i per lo tant algebraicamente isomorfo a C2. El seu domini fonamental és un semiespacio.[9]
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ Martin, G. (1996). Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry, Springer, p. 28.
- ↑ Freitag, Mark (2013). Mathematics for Elementary School Teachers: A Process Approach, Cengage Learning, p. 721.
- ↑ Miller, Willard Jr. (1972). Symmetry Groups and Their Applications, New York: Academic Press. OCLC 589081. Consultat el 28 de setembre de 2009.
- ↑ «Higher Dimensional Group Theory». Archivat des d'el original, el 23 de juliol de 2012. Consultat el 16 d'abril de 2013.
- ↑ Weyl, Hermann (1982). Symmetry, Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02374-3.
- ↑ (2007) Tissue Mechanics, Springer, p. 152.
- ↑ Caldecott, Stratford (2009). Beauty for Truth's Sake: On the Re-enchantment of Education, Braços Press, p. 70.
- ↑ Bassarear, Tom (2011). Mathematics for Elementary School Teachers, 5 edició, Cengage Learning, p. 499.
- ↑ Johnson, N. W. Johnson (2018). «11: Finite symmetry groups», Geometries and Transformations, Cambridge University Press.
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Simetría (geometría)» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.