Grup puntual

La flor Bauhinia blakeana representada en la bandera d'Hong Kong té simetria C₅; l'estrela interior de cada pétal té simetria D₅.

En geometria i cristalografia, un grup puntual és un grup de simetrias geomètriques (grup d'isometría) que manté constant per lo manco un punt fix. Els grups puntuals poden existir en un espai euclidiano de qualsevol atra dimensió, i cada grup puntual en la dimensió d és un subgrup del grup ortogonal O(d). Els grups puntuals poden ser considerats com un conjunt de matrius ortogonals M que transformen un punt x en un punt i:

i= M.x

a on l'orige és el punt fix. Els elements dels grups puntuals poden ser: rotacions (determinant de M= 1) rotacions impròpies, reflexions, rotacions-reflexiones, o rotoreflexiones (determinant de M= -1). Tots els grups puntuals de les rotacions de dimensió d són subgrups del grup ortogonal especial SO(d).

Els grups puntuals discrets en més d'una dimensió s'agrupen en famílies infinites, pero pel teorema de restricció cristalográfica i per un de les teoremes de Bieberbach, cada número de dimensions solament té un número finito de grups puntuals que són simètrics respecte d'una ret o retícula en eixe número de dimensions. Estos són els grups puntuals cristalográficos.

Una dimensió

Solament hi ha dos grups puntuals unidimensionals, el grup identitat i el grup reflexió.

Grup	Coxeter	Diagrama de Coxeter	Orde	Descripció
C1	[ ]+		1	Identitat
D1	[ ]		2	Grup reflexió

Dos dimensions

Els grups puntuals plans són a voltes cridats grups de roseta.

S'agrupen en dos famílies infinites:

1. Grups cíclicos C_n o grups de rotació d'orde n
2. Grups diedral D_n de rotació d'orde n i grups de reflexió.

Aplicant la teorema de restricció cristalográfica n queda llimitat als valors 1, 2, 3, 4 i 6 per a abdós famílies, produint 10 grups.

Grup	Intl	Orbifold	Coxeter	Orde	Descripció
Cn	n	nn	[n]+	n	Cíclico: rotacions d'orde n. Extraure el grup Zn, el grup dels sancers baix l'adició mòdul n.
Dn	nm	*nn	[n]	2n	Diedral: cíclico en reflexions. Extraure el grup Dihn, el grup diedral.

El subconjunt de grups puntuals de reflexió pura, es definix per un o dos eixos de simetria, també es pot donar per la seua grup de Coxeter i polígons relacionats. Estos inclouen cinc grups cristalográficos.

Grup0	Coxeter group		Diagrama de Coxeter	Orde	Polígons relacionats
D3	A2	[3]		6	Triàngul equilátero
D4	BC2	[4]		8	Quadrat
D5	H2	[5]		10	Pentágono regular
D6	G2	[6]		12	Hexàgon regular
Dn	I2(n)	[n]	Archiu:CDel n.png	2n	Polígon regular
D2n	I2(2n)	[[n]]=[2n]	Archiu:CDel 2x.pngArchiu:CDel n.png	4n	Polígon regular
D2	A12	[2]	Archiu:CDel 2.png	4	Rectàngul
D1	A1	[ ]		2	Dígono