Notació de Coxeter

Dominis fonamentals
dels grups de punts de reflexió 3D

Plantilla:DCD, [ ]= [1] C1v	Plantilla:DCD, [2] C2v	Plantilla:DCD, [3] C3v	Plantilla:DCD, [4] C4v	Plantilla:DCD, [5] C5v	Plantilla:DCD, [6] C6v
Orde 2	Orde 4	Orde 6	Orde 8	Orde 10	Orde 12
Plantilla:DCD [2]= [2,1] D1h	Plantilla:DCD [2,2] D2h	Plantilla:DCD [2,3] D3h	Plantilla:DCD [2,4] D4h	Plantilla:DCD [2,5] D5h	Plantilla:DCD [2,6] D6h
Orde 4	Orde 8	Orde 12	Orde 16	Orde 20	Orde 24
Plantilla:DCD, [3,3], Td		Plantilla:DCD, [4,3], Oh		Plantilla:DCD, [5,3], Ih
Order 24		Order 48		Order 120
La notació de Coxeter expressa el grup de Coxeter com una llista d'órdens de branques d'un diagrama de Coxeter-Dynkin, com grup polièdric, Plantilla:DCD= [p,q]. Els grups diédricos, Plantilla:DCD, es poden expressar com un producte [ ]×[n] o en un sol símbol en una branca explícita d'orde 2, [2,n].

En geometria, la notació de Coxeter (de la que formen part els símbols de Coxeter) és un sistema de classificació de grups de simetria, que descriu els ànguls entre les reflexions fonamentals d'un grup de Coxeter per mig d'una notació entre corchetes que expressa l'estructura d'un diagrama de Coxeter-Dynkin, en modificadores per a indicar certs subgrups. La notació du el nom d'Harold Scott MacDonald Coxeter i va ser definida de manera més completa per Norman Johnson.

Grups reflexius

Vore també: Grup puntual

Per als grups de Coxeter, definits exclusivament en operacions de reflexió, existix una correspondència directa entre la notació de corchetes i els diagrames de Coxeter-Dynkin. Els números entre paréntesis representen els órdens de reflexió especular en les branques del diagrama de Coxeter. Utilisa la mateixa simplificació, suprimint 2s entre espills ortogonals.

La notació de Coxeter se simplifica en exponents per a representar el número de branques en una fila per a un diagrama llineal. Aixina que el grup A_n està representat per [3ⁿ⁻¹], lo que implica n nodos conectats per n-1 branques d'orde 3. L'eixemple A₂ = [3,3] = [3²] o [3^1,1] representa els diagrames Plantilla:DCD o Plantilla:DCD.

Coxeter inicialment va representar diagrames bifurcados en els números situats verticalment, pero després els va abreviar en una notació exponencial, com [...,3^p,q] o [3^p,q,r], començant en [3^1,1,1] o [3,3^1,1] = Plantilla:DCD o Plantilla:DCD com a D₄. Coxeter va permetre l'us de zeros com a casos especials per a ajustar-se a la família A_n, com A₃ = [3,3,3,3] = [3^4,0,0] = [3^4,0] = [3^3,1] = [3^2,2], com Plantilla:DCD = Plantilla:DCD = Plantilla:DCD.

Els grups de Coxeter formats per diagrames cíclicos es representen per mig de paréntesis dins de corchetes, com [(p,q,r)] = Plantilla:DCD per al grup triangular (p q r). Si els órdens de ramificació són iguals, es poden agrupar com un exponent segons la duració del cicle entre paréntesis, com [(3,3,3,3)] = [3^[4]], que representa el diagrama de Coxeter Plantilla:DCD o Plantilla:DCD. Plantilla:DCD es pot representar com [3,(3,3,3)] o [3,3^[3]].

Els diagrames de bucle més complicats també es poden expressar utilisant la notació en esment. El grup de Coxeter paracompacto Plantilla:DCD es pot representar per mig de la notació de Coxeter [(3,3,(3),3,3)], en paréntesis anidados/superposts que mostren dos bucles adjacents [(3,3,3)], i també es representa de forma més compacta com [3^[ ]×[ ]], que representa el diagrama de Coxeter de la simetria ròmbica. El diagrama de gràfic complet paracompacto Plantilla:DCD o Plantilla:DCD, es representa com [3^[3,3]] en el superíndex [3,3] com la simetria del seu diagrama de Coxeter d'un tetraedre.

El diagrama de Coxeter normalment deixa branques d'orde 2 sense dibuixar, pero la notació de paréntesis inclou un 2 explícit per a conectar els subgráficos. Llavors, el diagrama de Coxeter Plantilla:DCD = A₂×A₂ = 2A₂ es pot representar per mig de [3]×[3] = [3]² = [3,2,3 ]. A voltes, les 2 branques explícites poden incloure's en una etiqueta 2 o en una llínea en un espai: Plantilla:DCD o Plantilla:DCD, com una presentació idèntica a [3,2,3].

Grups finitos Ranc Símbol del grup Notació de corchetes Diagrama de Coxeter 2 A2 [3] Plantilla:DCD 2 B2 [4] Plantilla:DCD 2 H2 [5] Plantilla:DCD 2 G2 [6] Plantilla:DCD 2 I2(p) [p] Plantilla:DCD 3 Ih, H3 [5,3] Plantilla:DCD 3 Td, A3 [3,3] Plantilla:DCD 3 Oh, B3 [4,3] Plantilla:DCD 4 A4 [3,3,3] Plantilla:DCD 4 B4 [4,3,3] Plantilla:DCD 4 D4 [31,1,1] Plantilla:DCD 4 F4 [3,4,3] Plantilla:DCD 4 H4 [5,3,3] Plantilla:DCD n An [3n−1] Plantilla:DCD..Plantilla:DCD n Bn [4,3n−2] Plantilla:DCD...Plantilla:DCD n Dn [3n−3,1,1] Plantilla:DCD...Plantilla:DCD 6 I6 [32,2,1] Plantilla:DCD 7 I7 [33,2,1] Plantilla:DCD 8 I8 [34,2,1] Plantilla:DCD

Grups afins Símbol del grup Notació de corchetes Diagrama de Coxeter ${\tilde{I}}_1,{\tilde{A}}_1$ [∞] Plantilla:DCD ${\tilde{A}}_2$ [3[3]] Plantilla:DCD ${\tilde{C}}_2$ [4,4] Plantilla:DCD ${\tilde{G}}_2$ [6,3] Plantilla:DCD ${\tilde{A}}_3$ [3[4]] Plantilla:DCD ${\tilde{B}}_3$ [4,31,1] Plantilla:DCD ${\tilde{C}}_3$ [4,3,4] Plantilla:DCD ${\tilde{A}}_4$ [3[5]] Plantilla:DCD ${\tilde{B}}_4$ [4,3,31,1] Plantilla:DCD ${\tilde{C}}_4$ [4,3,3,4] Plantilla:DCD ${\tilde{D}}_4$ [ 31,1,1,1] Plantilla:DCD ${\tilde{F}}_4$ [3,4,3,3] Plantilla:DCD ${\tilde{A}}_n$ [3[n+1]] Plantilla:DCD...Plantilla:DCD or Plantilla:DCD...Plantilla:DCD ${\tilde{B}}_n$ [4,3n−3,31,1] Plantilla:DCD...Plantilla:DCD ${\tilde{C}}_n$ [4,3n−2,4] Plantilla:DCD...Plantilla:DCD ${\tilde{D}}_n$ [ 31,1,3n−4,31,1] Plantilla:DCD...Plantilla:DCD ${\tilde{E}}_6$ [32,2,2] Plantilla:DCD ${\tilde{E}}_7$ [33,3,1] Plantilla:DCD ${\tilde{E}}_8=E_9$ [35,2,1] Plantilla:DCD

Grups hiperbòlics Símbol del grup Notació de corchetes Diagrama de Coxeter [p,q] en 2(p + q) < pq Plantilla:DCD [(p,q,r)] en $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}<1$ Plantilla:DCD ${\overline{BH}}_3$ [4,3,5] Plantilla:DCD ${\bar{K}}_3$ [5,3,5] Plantilla:DCD ${\bar{J}}_3,{\tilde{H}}_3$ [3,5,3] Plantilla:DCD ${\overline{DH}}_3$ [5,31,1] Plantilla:DCD ${\widehat{AB}}_3$ [(3,3,3,4)] Plantilla:DCD  ${\widehat{AH}}_3$ [(3,3,3,5)] Plantilla:DCD  ${\widehat{BB}}_3$ [(3,4,3,4)] Plantilla:DCD ${\widehat{BH}}_3$ [(3,4,3,5)] Plantilla:DCD ${\widehat{HH}}_3$ [(3,5,3,5)] Plantilla:DCD ${\bar{H}}_4,{\tilde{H}}_4,H_5$ [3,3,3,5] Plantilla:DCD ${\overline{BH}}_4$ [4,3,3,5] Plantilla:DCD ${\bar{K}}_4$ [5,3,3,5] Plantilla:DCD ${\overline{DH}}_4$ [5,3,31,1] Plantilla:DCD ${\widehat{AF}}_4$ [(3,3,3,3,4)] Plantilla:DCD

Per als grups afins i hiperbòlics, el subíndex és un menys que el número de nodos en cada cas, ya que cada u d'estos grups es va obtindre sumant un nodo al diagrama d'un grup finito.

Subgrups

La notació de Coxeter representa la simetria rotacional/traslacional agregant un operador de superíndex ⁺ fòra dels corchetes, [X]⁺ que talla l'orde del grup [X] a la mitat, resultant per lo tant un subgrup d'índex 2. Este operador implica que es deu aplicar un número par d'operadors, reemplaçant reflexions en rotacions (o translacions). Quan s'aplica a un grup de Coxeter, es denomina subgrup directe perque lo que queda són solament isometría directes sense simetria reflexiva.

Els operadors ⁺ també es poden aplicar dins dels corchetes, com [X,I⁺] o [X,(I,Z)⁺], en lo que es creen subgrups "semidirectos" que poden incloure generadors de reflexió i no de reflexió. Els subgrups semidirectos solament es poden aplicar als subgrups de grups de Coxeter que tenen branques d'orde pares adjacents. Als elements entre paréntesis dins d'un grup de Coxeter se'ls pot donar un operador de superíndex ⁺, que té l'efecte de dividir les branques ordenades adjacents en mig orde, per lo que generalment solament s'aplica en número par. Per eixemple, [4,3⁺] i [4,(3,3)⁺] (Plantilla:DCD).

Si s'aplica en una branca impar adjacent, no crea un subgrup d'índex 2, sino que crea dominis fonamentals superposts, com [5,1⁺] = [5/2], que poden definir polígons doblement recoberts com l'estrela pentagonal, 5 /2, i [5,3⁺] es relaciona en el triàngul de Schwarz [5/2,3], de densitat 2.

Eixemples de grups de ranc 2

Grup		Orde	Generadors	Subgrup		Orde	Generadors	Notes
[p]	Plantilla:DCD	2p	{0,1}	[p]+	Plantilla:DCD	p	{01}	Subgrup directe
[2p+]= [2p]+	Plantilla:DCD	2p	{01}	[2p+]+= [2p]+2= [p]+	Plantilla:DCD	p	{0101}
[2p]	Plantilla:DCD	4p	{0,1}	[1+,2p]= [p]	Plantilla:DCD= Plantilla:DCD= Plantilla:DCD	2p	{101,1}	Semi subgrups
				[2p,1+]= [p]	Plantilla:DCD= Plantilla:DCD= Plantilla:DCD		{0,010}
				[1+,2p,1+]= [2p]+2= [p]+	Plantilla:DCD= Plantilla:DCD= Plantilla:DCD	p	{0101}	Quartos de grup

Els grups sense elements veïns ⁺ es poden vore en els nodos anellats. El diagrama de Coxeter-Dynkin per a politopos uniformes i panales està relacionat en els nodos forat i en els elements ⁺, en forma de círculs buits en els nodos alternats eliminats. Per eixemple, el gaveta romo, Plantilla:DCD té simetria [4,3]⁺ (Plantilla:DCD), l'icosaedre, Plantilla:DCD té simetria [4,3⁺] (Plantilla:DCD), i un tetraedre, h4,3 = 3,3 (Plantilla:DCD o Plantilla:DCD = Plantilla:DCD) té simetria [1⁺,4,3] = [3,3] (Plantilla:DCD o Plantilla:DCD = Plantilla:DCD = Plantilla:DCD).

Nota: La simetria tetraèdrica Plantilla:DCD es pot escriure com Plantilla:DCD, separant el gràfic en espais per a una major claritat, en els generadors 0,1,2 del grup de Coxeter Plantilla:DCD, produint generadors piritoédricos 0,12, una reflexió i rotació triple. I la simetria tetraèdrica quiral es pot escriure com Plantilla:DCD o Plantilla:DCD, [1⁺,4,3⁺] = [3,3]⁺, en generadors 12,0120.

Reducció a la mitat de subgrups i grups estesos

Vore també: Simetria estesa

Eixemple d'operacions
de reducció a la mitat

Plantilla:DCD [1,4,1]= [4]	Plantilla:DCD= Plantilla:DCD= Plantilla:DCD [1+,4,1]=[2]=[ ]×[ ]
Plantilla:DCD= Plantilla:DCD= Plantilla:DCD [1,4,1+]=[2]=[ ]×[ ]	Plantilla:DCD= Plantilla:DCD= Plantilla:DCD= Plantilla:DCD [1+,4,1+]= [2]+

Simetria tetraèdrica	Simetria octaèdrica
Td, [3,3]= [1+,4,3] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD= Plantilla:DCD (Orde 24)	Oh, [4,3]= Plantilla:Brackets Plantilla:DCD (Orde 48)

Johnson estén l'operador ⁺ per a treballar en un marcador de posició de nodos 1⁺, lo que elimina espills, duplicant el tamany del domini fonamental i tallant l'orde del grup a la mitat. En general, esta operació solament s'aplica a espills individuals delimitats per branques d'orde parell. El 1 representa un espill, per lo que [2p] pot vore's com [2p,1], [1,2p] o [1,2p,1], com el diagrama Plantilla:DCD o Plantilla:DCD, en 2 espills relacionats per un àngul diedro d'orde 2p. L'efecte de l'eliminació d'un espill és duplicar els nodos de conexió, lo que es pot vore en els diagrames de Coxeter: Plantilla:DCD = Plantilla:DCD, o entre paréntesis: [1⁺,2p, 1] = [1,p,1] = [p].

Cada u d'estos espills es pot llevar per a que h[2p] = [1⁺,2p,1] = [1,2p,1⁺] = [p], en un índex de subgrup reflexiu 2. Açò es pot mostrar en un diagrama de Coxeter agregant un símbol ⁺ sobre el nodo: Plantilla:DCD = Plantilla:DCD = Plantilla:DCD.

Si s'eliminen abdós espills, es genera un subgrup d'un quarto, i l'orde de la branca es convertix en un punt de gir de la mitat de l'orde:

q[2p] = [1⁺,2p,1⁺] = [p]⁺, un subgrup rotacional d'índex 4. Plantilla:DCD = Plantilla:DCD = Plantilla:DCD = Plantilla:DCD = Plantilla:DCD.

Per eixemple, (en p=2): [4,1⁺] = [1⁺,4] = [2] = [ ]×[ ], orde 4. [1⁺,4,1⁺] = [2] ⁺, orde 2.

Lo opost a reduir a la mitat és duplicar, una operació que agrega un espill, dividix en dos un domini fonamental i duplica l'orde del grup.

Plantilla:Brackets = [2p]

Les operacions de reducció a la mitat s'apliquen a grups de major ranc, com per eixemple la simetria tetraèdrica que és un mig grup de la simetria octaèdrica: h[4,3] = [1⁺,4,3] = [3,3], eliminant la mitat dels espills en les 4 branques. L'efecte de l'eliminació d'un espill és duplicar tots els nodos de conexió, lo que es pot vore en els diagrames de Coxeter: Plantilla:DCD = Plantilla:DCD, h[2p,3] = [1⁺,2p,3] = [(p,3,3)] .

Si els nodos estan indexats, la mitat dels subgrups es poden etiquetar en nous espills com a composts. De la mateixa manera que Plantilla:DCD, els generadors {0,1} tenen un subgrup Plantilla:DCD = Plantilla:DCD, en generadors {1,010}, a on s'elimina l'espill 0 i es reemplaça per una còpia de l'espill 1 reflectida en l'espill 0. També donat Plantilla:DCD, generadors {0,1,2}, té mig grup Plantilla:DCD = Plantilla:DCD, en generadors {1,2,010}.

La duplicació per mig de l'adició d'un espill també s'aplica en invertir l'operació de reducció a la mitat: Plantilla:Brackets = [4,3], o més generalment Plantilla:Brackets = [2p,q].

Subgrups radicals

Un subgrup radical és similar a una alternança, pero elimina els generadors rotacionales

Johnson també va agregar un operador asterisc o estrela * per a subgrups "radicals", que actua de manera similar a l'operador ⁺, pero elimina la simetria rotacional. L'índex del subgrup radical és l'orde de l'element eliminat. Per eixemple, [4,3*] ≅ [2,2]. El subgrup eliminat [3] és d'orde 6, per lo que [2,2] és un subgrup d'índex 6 de [4,3].

Els subgrups radicals representen l'operació inversa a una operació simetria estesa. Per eixemple, [4,3*] ≅ [2,2] i, al revés, [2,2] es pot estendre com [3[2,2]] ≅ [4,3]. Els subgrups es poden expressar com un diagrama de Coxeter: Plantilla:DCD o Plantilla:DCD ≅ Plantilla:DCD. El nodo eliminat (espill) fa que els espills virtuals adjacents es convertixquen en espills reals.

Si [4,3] té generadors {0,1,2}, [4,3⁺], índex 2, té generadors {0,12}; [1⁺,4,3] ≅ [3,3], l'índex 2 té generadors {010,1,2}; mentres que el subgrup radical [4,3*] ≅ [2,2], índex 6, té generadors {01210, 2, (012)³}; i finalment [1⁺,4,3*], l'índex 12 té generadors {0(12)²0, (012)²01}.

Subgrups triónicos

Ranc 3

Eixemple de subgrup triónico sobre simetria hexagonal [6,3] aplicada sobre una simetria [6,3] més gran

Un subgrup triónico és un subgrup d'índex 3. Johnson definix un "subgrup triónico" en l'operador ⅄, que indica l'índex 3. Per als grups Coxeter de ranc 2, [3], el subgrup triónico, [3^⅄] és [ ], un sol espill. I para [3p], el subgrup triónico és [3p]^⅄ ? [p]. Dau Plantilla:DCD, en generadors 0,1, té 3 subgrups triónicos. Es poden diferenciar posant el símbol ? junt al generador d'espills a eliminar, o en una branca per a abdós: [3p,1^⅄] = Plantilla:DCD = Plantilla:DCD, Plantilla:DCD = Plantilla:DCD, i [3p ^⅄] = Plantilla:DCD = Plantilla:DCD en generadors 0,10101, 01010,1 o 101,010.

Subgrups triónicos de simetria tetraèdrica: [3,3]^⅄ ⅄ [2⁺,4], relacionant la simetria del tetraedre i del disfenoide.

Per als grups de Coxeter de ranc 3, [p,3], hi ha un subgrup triónico [p,3^⅄] ⅄ [p/2,p], o Plantilla:DCD = Plantilla:DCD. Per eixemple, el grup finito [4,3^⅄] ≅ [2,4] i el grup euclidiano [6,3^⅄] ≅ [3,6] i el grup hiperbòlic [8,3^⅄] ≅ [4,8].

Una branca adjacent d'orde impar, p, no disminuirà l'orde del grup, sino que crearà dominis fonamentals superposts. L'orde del grup permaneix igual, mentres que el seu densitat aumenta. Per eixemple, la simetria icosaédrica [5,3] del icosaedre regular, es convertix en [5/2,5], que és la simetria de 2 poliedres regulars en estrela. També relaciona les teselaciones hiperbòliques p,3 i teselados hiperbòlics estrelats p/2,p

Eixemple de ranc 2, [6] subgrups triónicos en 3 colors de llínees especulares

Ranc 4

Eixemple de simetria octaèdrica: [4,3⅄]= [2,4]

Els subgrups triónicos d'eixemple en simetria octogonal [8,3] aplicats sobre simetria més grans [4,8]

Per al ranc 4, [q,2p,3^⅄] = [2p,((p,q,q))], Plantilla:DCD = Plantilla:DCD.

Per eixemple, [3,4,3^⅄] = [4,3,3], o Plantilla:DCD = Plantilla:DCD, generadors 0,1,2,3 en [3,4,3] en el subgrup triónico [4,3 ,3] en generadors {0,1,2,32123}. Per a grups hiperbòlics, [3,6,3^⅄] = [6,3^[3]] i [4,4,3^⅄] = [4,4,4].

Subgrups triónicos de simetria tetraèdrica

[3,3]^⅄ ≅ [2⁺,4] com un dels 3 jocs de 2 espills ortogonals en proyecció estereográfica. El roig, el vert i el blau representen 3 conjunts d'espills, i les llínees grises són espills eliminats, deixant girs dobles (rombos morats)

Relacions triónicas de [3,3]

Relacions de subgrups triónicos de [3,3,4]

Johnson va identificar dos subgrups triónicos de [3,3], primer un subgrup d'índex 3 [3,3]^⅄ ≅ [2⁺,4], en [3,3] (Plantilla:DCD = Plantilla:DCD = Plantilla:DCD) i generadors {0,1,2}. També es pot escriure com [(3,3,2^⅄)] (Plantilla:DCD) com a recordatori dels seus generadors {02,1}. Esta reducció de simetria és la relació entre el tetraedre regular i el disfenoide, i representen un estiramiento d'un tetraedre en sentit perpendicular a dos arestes opostes.

En segon lloc, identifica un subgrup d'índex 6 relacionat en [3,3]^Δ o [(3,3,2^⅄)]⁺ (Plantilla:DCD), índex 3 de [3,3]⁺ ≅ [2,2]⁺, en generadors {02,1021}, de [3,3] i els seus generadors {0,1,2}.

Estos subgrups també s'apliquen dins de grups de Coxeter més grans en el subgrup [3,3] en branques veïnes, tot en orde uniforme.

Per eixemple, [(3,3)⁺,4], [(3,3)^⅄,4] i [(3,3)^Δ,4] són subgrups de [3,3,4], índex 2, 3 i 6 respectivament. Els generadors de [(3,3)^⅄,4] ≅ Plantilla:Brackets ≅ [8,2⁺,8], orde 128, són {02,1,3} de [3,3,4] i generadors {0,1,2 ,3}. I [(3,3)^Δ,4] ≅ Plantilla:Brackets, orde 64, té generadors {02,1021,3}. Ademés, [3^⅄,4,3^⅄] ≅ [(3,3)^⅄,4].

També relacionat, [3^1,1,1] = [3,3,4,1⁺] té subgrups triónicos: [3^1,1,1]^⅄ = [(3,3)^⅄,4,1⁺], orde 64 i 1=[3^1,1,1]^Δ = [( 3,3)^Δ,4,1⁺] ≅ [[ 4,2⁺,4]]⁺, orde 32.

Inversió central

Una inversió central 2D és una rotació de 180 graus, [2]⁺

Una simetria central d'orde 2, és operativamente diferent per dimensió. El grup [ ]ⁿ = [2ⁿ⁻¹] representa n espills ortogonals en un espai n-dimensional, o un subespacio n-pla d'un espai dimensional superior. Els espills del grup [2ⁿ⁻¹] estan numerats $0dotsn-1$. L'orde dels espills no importa en el cas d'una inversió. La matriu d'una inversió central és $-I$, la matriu Identitat en uns negatius en la diagonal.

A partir d'eixa base, l'inversió central té un generador com a producte de tots els espills ortogonals. En la notació de Coxeter, este grup d'inversió s'expressa agregant una alternança ⁺ a cada branca d'orde 2. La simetria d'alternança està marcada en els nodos del diagrama de Coxeter com a nodos oberts.

Un diagrama de Coxeter-Dynkin es pot marcar en branques d'orde 2 explícites que definixen una seqüència llineal d'espills, nodos oberts i nodos oberts dobles compartits per a mostrar l'encadenament dels generadors de reflexió.

Per eixemple, [2⁺,2] i [2,2⁺] són subgrups d'índex 2 de [2,2], Plantilla:DCD, i es representen com Plantilla:DCD (o Plantilla:DCD) i Plantilla:DCD (o Plantilla:DCD) en generadors {01,2} i {0,12} respectivament. El seu índex de subgrup comú 4 és [2⁺,2⁺], i està representat per Plantilla:DCD (o Plantilla:DCD), en el Plantilla:DCD de doble obertura que marca un nodo compartit en les dos alternances i un sol generador de rotació impròpia {012}.

Dimensió	Notació de Coxeter	Orde	Diagrama de Coxeter	Operació	Generador
2	[2]+	2	Plantilla:DCD	Rotació de 180°, C2	{01}
3	[2+,2+]	2	Plantilla:DCD	Rotorreflexión, Ci o S2	{012}
4	[2+,2+,2+]	2	Plantilla:DCD	Rotació doble	{0123}
5	[2+,2+,2+,2+]	2	Plantilla:DCD	Rotorreflexión doble	{01234}
6	[2+,2+,2+,2+,2+]	2	Plantilla:DCD	Rotació triple	{012345}
7	[2+,2+,2+,2+,2+,2+]	2	Plantilla:DCD	Rotorreflexión triple	{0123456}

Rotacions i rotorreflexiones

Les rotacions i les rotorreflexiones es construïxen per mig d'un únic producte de generador únic de totes les reflexions d'un grup prismàtic, [2p]×[2q]×... a on el mcd(p ,q,...)=1. Són isomorfas al grup cíclico abstracte Z_n, d'orde n=2pq.

Les dobles rotacions de 4 dimensions, [2p⁺,2⁺,2q⁺] (en mcd(p,q)=1), que inclouen un grup central, i estan expressats per Conway com ±[C_p×C_q], d'orde 2pq. Del diagrama de Coxeter Plantilla:DCD, generadors {0,1,2,3}, requerix dos generadors per a [2p⁺,2⁺,2q⁺], Plantilla:DCD com {0123,0132}. Els grups mitat, [2p⁺,2⁺,2q⁺]⁺, o el gràfic cíclico, [(2p⁺,2⁺,2q⁺,2⁺)], Plantilla:DCD expressats per Conway són [C_p×C_q], orde pq, en un generador, com {0123}.

Si hi ha un factor comú f, la rotació doble es pot escriure com a ^f⁄_f[2pf⁺,2⁺,2qf⁺] (en mcd(p,' 'q)=1), generadors {0123,0132}, i orde 2pqf. Per eixemple, p=q=1, f=2, ²⁄₂[4⁺,2⁺,4⁺] és d'orde 4. I f⁄f[2pf⁺,2⁺, 2qf⁺]⁺, generador 0123, és d'orde pqf. Per eixemple, ²⁄₂[4⁺,2⁺,4⁺]⁺ és d'orde 2, una simetria central.

En general, un grup de rotació n, [2p₁⁺,2,2p₂⁺,2,...,p_n⁺] pot requerir fins a n generadors si el mcd(p₁,..,p_n)>1, com a producte de tots els espills, i després intercanviant parells seqüencials. El mig grup, [2p₁⁺,2,2p₂⁺,2,...,p_n⁺]⁺ té generadors al quadrat. Els reflexos n-rotatius són similars.

Eixemples

Dimensió	Notació de Coxeter	Orde	Diagrama de Coxeter	Operació	Generadors	Subgrup directe
2	[2p]+	2p	Plantilla:DCD	Rotació	{01}	[2p]+2= [p]+	Rotació simple: [2p]+2= [p]+ orde p
3	[2p+,2+]		Plantilla:DCD	Rotorreflexión	{012}	[2p+,2+]+= [p]+
4	[2p+,2+,2+]		Plantilla:DCD	Rotació doble	{0123}	[2p+,2+,2+]+= [p]+
5	[2p+,2+,2+,2+]		Plantilla:DCD	Rotorreflexión doble	{01234}	[2p+,2+,2+,2+]+= [p]+
6	[2p+,2+,2+,2+,2+]		Plantilla:DCD	Rotació triple	{012345}	[2p+,2+,2+,2+,2+]+= [p]+
7	[2p+,2+,2+,2+,2+,2+]		Plantilla:DCD	Rotorreflexión triple	{0123456}	[2p+,2+,2+,2+,2+,2+]+= [p]+
4	[2p+,2+,2q+]	2pq	Plantilla:DCD	Rotació doble	{0123, 0132}	[2p+,2+,2q+]+	Rotació doble: [2p+,2+,2q+]+ orde pq
5	[2p+,2+,2q+,2+]		Plantilla:DCD	Rotorreflexión doble	{01234, 01243}	[2p+,2+,2q+,2+]+
6	[2p+,2+,2q+,2+,2+]		Plantilla:DCD	Rotació triple	{012345, 012354, 013245}	[2p+,2+,2q+,2+,2+]+
7	[2p+,2+,2q+,2+,2+,2+]		Plantilla:DCD	Rotorreflexión triple	{0123456, 0123465, 0124356, 0124356}	[2p+,2+,2q+,2+,2+,2+]+
6	[2p+,2+,2q+,2+,2r+]	2pqr	Plantilla:DCD	Rotació triple	{012345, 012354, 013245}	[2p+,2+,2q+,2+,2r+]+	Rotació triple: [2p+,2+,2q+,2+,2r+]+ orde pqr
7	[2p+,2+,2q+,2+,2r+,2+]		Plantilla:DCD	Rotorreflexión triple	{0123456, 0123465, 0124356, 0213456}	[2p+,2+,2q+,2+,2r+,2+]+

Subgrups commutadors

Subgrups de [4,4], fins al seu subgrup commutador, índex 8

Els grups simples en sol elements de ramificació d'orde impar tenen solament un únic subgrup rotacional/traslacional d'orde 2, que també és el subgrup commutador, eixemples [3,3]⁺, [3,5]⁺, [3,3,3]⁺, [3,3,5]⁺. Per a atres grups de Coxeter en branques d'orde parell, el subgrup commutador té un índex 2^c, a on c és el número de subgráficos desconectats quan s'eliminen totes les branques d'orde parell.

Per eixemple, [4,4] té tres nodos independents en el diagrama de Coxeter quan s'eliminen els valors 4, per lo que el seu subgrup commutador és l'índex 2³ i pot tindre diferents representacions, totes en tres ⁺ Operadors: [4⁺,4⁺]⁺, [1⁺,4,1⁺,4,1⁺], [1⁺,4,4,1⁺]⁺, o [(4⁺,4⁺,2⁺)]. Es pot usar una notació general en +c com a exponent de grup, com [4,4]⁺³.

Subgrups d'eixemple

Subgrups d'eixemple de ranc 2

Els grups diedrales en órdens pares tenen varis subgrups. Este eixemple mostra dos espills generadors del grup [4] en roig i vert, i observa tots els subgrups per reducció a la mitat, reducció de ranc i els seus subgrups directes. El grup [4], Plantilla:DCD té dos generadors d'espills 0 i 1. Cada u genera dos espills virtuals 101 i 010 per reflexió sobre l'atre.

Subgrups de [4]
Índex	1	2 (mitat)		4 (reducció de ranc)
Diagram
Coxeter Plantilla:DCD	Plantilla:DCD [1,4,1]= [4]	Plantilla:DCD= Plantilla:DCD= Plantilla:DCD [1+,4,1]= [1+,4]= [2]	Plantilla:DCD= Plantilla:DCD= Plantilla:DCD [1,4,1+]= [4,1+]= [2]	Plantilla:DCD [2,1+]= [1]= [ ]	Plantilla:DCD [1+,2]= [1]= [ ]
Generadors	{0,1}	{101,1}	{0,010}	{0}	{1}
Subgrups directes
Índex	2	4		8
Diagrama
Coxeter	Plantilla:DCD [4]+	Plantilla:DCD= Plantilla:DCD= Plantilla:DCD= Plantilla:DCD [4]+2= [1+,4,1+]= [2]+		Plantilla:DCD [ ]+
Generadors	{01}	{(01)2}		{02}= {12}= {(01)4}= {}

Subgrups d'eixemple euclídeos de ranc 3

El grup [4,4] té 15 subgrups d'índexs menuts. Esta taula els mostra tots, en un domini fonamental groc per a grups reflectantes purs i dominis blancs i blaus alterns que s'emparellen per a formar dominis rotacionales. Les llínees especulares cian, roja i vert corresponen als mateixos nodos de color en el diagrama de Coxeter. Els generadors de subgrups es poden expressar com a productes dels 3 espills originals del domini fonamental, {0,1,2}, corresponents als 3 nodos del diagrama de Coxeter, Plantilla:DCD. Un producte de dos llínees de reflexió que es creuen formen una rotació, com {012}, {12} o {02}. L'eliminació d'un espill genera dos còpies dels espills veïns, a través de l'espill eliminat, com {010} i {212}. Dos rotacions en série reduïxen l'orde de rotació a la mitat, com {0101} o {(01)²}, {1212} o {(02)²}. Un producte dels tres espills crea una reflexió esgolada, com {012} o {120}.

Subgrups d'índex chicotet de [4,4]
Índex	1	2			4
Diagrama
Coxeter Plantilla:DCD	[1,4,1,4,1]= [4,4] Plantilla:DCD	[1+,4,4] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD	[4,4,1+] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD	[4,1+,4] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD	[1+,4,4,1+] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD	[4+,4+] Plantilla:DCD
Generadors	{0,1,2}	{010,1,2}	{0,1,212}	{0,101,121,2}	{010,1,212,20102}	{(01)2,(12)2,012,120}
Orbifold	*442			*2222		22×
Subgrups semidirectos
Índex		2			4
Diagrama
Coxeter		[4,4+] Plantilla:DCD	[4+,4] Plantilla:DCD	[(4,4,2+)] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD	[4,1+,4,1+] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD= Plantilla:DCD	[1+,4,1+,4] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD= Plantilla:DCD
Generadors		{0,12}	{01,2}	{02,1,212}	{0,101,(12)2}	{(01)2,121,2}
Orbifold		4*2		2*22
Subgrups directes
Índex	2	4			8
Diagrama
Coxeter	[4,4]+ Plantilla:DCD= Plantilla:DCD	[4,4+]+ Plantilla:DCD= Plantilla:DCD	[4+,4]+ Plantilla:DCD= Plantilla:DCD	[(4,4,2+)]+ Plantilla:DCD= Plantilla:DCD	[4,4]+3= [(4+,4+,2+)]= [1+,4,1+,4,1+]= [4+,4+]+ Plantilla:DCD=Plantilla:DCD= Plantilla:DCD= Plantilla:DCD= Plantilla:DCD
Generadors	{01,12}	{(01)2,12}	{01,(12)2}	{02,(01)2,(12)2}	{(01)2,(12)2,2(01)22}
Orbifold	442			2222
Subgrups radicals
Índex		8		16
Diagrama
Coxeter		[4,4*] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD	[4*,4] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD	[4,4*]+ Plantilla:DCD= Plantilla:DCD	[4*,4]+ Plantilla:DCD= Plantilla:DCD
Orbifold		*2222		2222

Subgrups d'eixemple hiperbòlics

El mateix conjunt de 15 menuts subgrups existix en tots els grups de triànguls en elements d'orde parell, com [6,4] en el pla hiperbòlic:

Subgrups d'índex chicotet de [6,4]
Índex	1	2			4
Diagrama
Coxeter Plantilla:DCD	[1,6,1,4,1]= [6,4] Plantilla:DCD	[1+,6,4] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD	[6,4,1+] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD	[6,1+,4] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD	[1+,6,4,1+] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD	[6+,4+] Plantilla:DCD
Generadors	{0,1,2}	{010,1,2}	{0,1,212}	{0,101,121,2}	{010,1,212,20102}	{(01)2,(12)2,012}
Orbifold	*642	*443	*662	*3222	*3232	32×
Subgrups semidirectos
Diagrama
Coxeter		[6,4+] Plantilla:DCD	[6+,4] Plantilla:DCD	[(6,4,2+)] Plantilla:DCD	[6,1+,4,1+] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD= Plantilla:DCD = Plantilla:DCD= Plantilla:DCD	[1+,6,1+,4] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD= Plantilla:DCD = Plantilla:DCD= Plantilla:DCD
Generadors		{0,12}	{01,2}	{02,1,212}	{0,101,(12)2}	{(01)2,121,2}
Orbifold		4*3	6*2	2*32	2*33	3*22
Subgrups directes
Índex	2	4			8
Diagrama		Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura:
Coxeter	[6,4]+ Plantilla:DCD= Plantilla:DCD	[6,4+]+ Plantilla:DCD= Plantilla:DCD	[6+,4]+ Plantilla:DCD= Plantilla:DCD	[(6,4,2+)]+ Plantilla:DCD= Plantilla:DCD	[6+,4+]+= [1+,6,1+,4,1+] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD = Plantilla:DCD= Plantilla:DCD
Generadors	{01,12}	{(01)2,12}	{01,(12)2}	{02,(01)2,(12)2}	{(01)2,(12)2,201012}
Orbifold	642	443	662	3222	3232
Subgrups radicals
Índex		8	12	16	24
Diagrama
Generadors		{0,101,21012,1210121}	{2,121,101020101,0102010, 010101020101010, 10101010201010101}
Coxeter (orbifold)		[6,4*] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD (*3333)	[6*,4] Plantilla:DCD (*222222)	[6,4*]+ Plantilla:DCD= Plantilla:DCD (3333)	[6*,4]+ Plantilla:DCD (222222)

Simetria estesa

Plantilla:A2 honeycombs

En el pla euclídeo, el grup de Coxeter ${\tilde{A}}_2$, [3[3]] es pot estendre de dos formes al grup de Coxeter ${\tilde{G}}_2$, [6,3] i relaciona teselas uniformes com a diagrames d'anells.

Vore també: Tetraedre de Goursat

La notació de Coxeter inclou la notació de corchetes dobles, Plantilla:Brackets per a expressar la simetria automórfica dins d'un diagrama de Coxeter. Johnson va agregar la duplicació alternativa per mig d'una notació entre ànguls <[X]>. Ademés, va agregar un modificador de simetria de prefix [I[X]], a on I pot representar la simetria del diagrama de Coxeter de [X] o la simetria del domini fonamental de [X].

Per eixemple, en 3D estos diagrames de geometria equivalents rectangular i ròmbic de ${\tilde{A}}_3$ prenen les formes: Plantilla:DCD i Plantilla:DCD, el primer duplicat entre corchetes, Plantilla:Brackets o duplicat dos voltes com [2[3^[4]]], en [2], simetria d'orde 4 superior. Per a diferenciar el segon, s'utilisen paréntesis angulars per a doblar, <[3^[4]]> i doblar dos voltes com <2[3^[4]]>, també en una simetria [2] diferent, d'orde 4. Finalment, una simetria completa a on els 4 nodos són equivalents es pot representar per mig de [4[3^[4]]], en la simetria d'orde 8, [4] del quadrat. Pero en considerar el domini fonamental del disfenoide, la simetria [4] estesa del gràfic quadrat es pot marcar més explícitament com [(2⁺,4)[3^[4]]] o [2⁺,4[3^[4]]].

Existix més simetria en els diagrames ${\tilde{A}}_n$ cíclico i $D_3$, ${\tilde{E}}_6$ i ${\tilde{D}}_4$ de ramificació. ${\tilde{A}}_n$ té una simetria d'orde 2n d'un n-ágono regular, {n}, i està representat per [n[3^[n]]]. $D_3$ i ${\tilde{E}}_6$ estan representats per [3[3^1,1,1]]= [3,4,3] i [3[3^2,2,2]] respectivament mentres que ${\tilde{D}}_4$ per [(3,3)[3^1,1,1,1]]= [3,3,4,3 ], en el diagrama que conté la simetria d'orde 24 del tetraedre regular, {3,3}. El grup hiperbòlic paracompacto ${\overline{L}}_5$= [3^1,1,1,1,1], Plantilla:DCD, conté la simetria d'un pentácoron, {3,3,3}, i per lo tant està representat per [(3,3,3)[3^1,1,1,1,1]]= [3,4, 3,3,3].

Un superíndex asterisc * és efectivament una operació inversa, creant "subgrups radicals" eliminant espills conectats d'orde impar.

Eixemples:

Eixemples de grups estesos i subgrups radicals

Grups estesos Subgrups radicals Diagrames de Coxeter-Dynkin Índex [3[2,2]]= [4,3] [4,3*]= [2,2] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD 6 [(3,3)[2,2,2]]= [4,3,3] [4,(3,3)*]= [2,2,2] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD 24 [1[31,1]]= Plantilla:Brackets= [3,4] [3,4,1+]= [3,3] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD 2 [3[31,1,1]]= [3,4,3] [3*,4,3]= [31,1,1] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD 6 [2[31,1,1,1]]= [4,3,3,4] [1+,4,3,3,4,1+]= [31,1,1,1] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD 4 [3[3,31,1,1]]= [3,3,4,3] [3*,4,3,3]= [31,1,1,1] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD 6 [(3,3)[31,1,1,1]]= [3,4,3,3] [3,4,(3,3)*]= [31,1,1,1] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD 24 [2[3,31,1,1,1]]= [3,(3,4)1,1] [3,(3,4,1+)1,1]= [3,31,1,1,1] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD 4 [(2,3)[1,131,1,1]]= [4,3,3,4,3] [3*,4,3,3,4,1+]= [31,1,1,1,1] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD 12 [(3,3)[3,31,1,1,1]]= [3,3,4,3,3] [3,3,4,(3,3)*]= [31,1,1,1,1] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD 24 [(3,3,3)[31,1,1,1,1]]= [3,4,3,3,3] [3,4,(3,3,3)*]= [31,1,1,1,1] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD 120

Grups estesos Subgrups radicals Diagrames de Coxeter-Dynkin Índex [1[3[3]]]= [3,6] [3,6,1+]= [3[3]] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD 2 [3[3[3]]]= [6,3] [6,3*]= [3[3]] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD 6 [1[3,3[3]]]= [3,3,6] [3,3,6,1+]= [3,3[3]] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD 2 [(3,3)[3[3,3]]]= [6,3,3] [6,(3,3)*]= [3[3,3]] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD 24 [1[∞]2]= [4,4] [4,1+,4]= [∞]2= [∞,2,∞] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD 2 [2[∞]2]= [4,4] [1+,4,4,1+]= [(4,4,2*)]= [∞]2 Plantilla:DCD= Plantilla:DCD 4 [4[∞]2]= [4,4] [4,4*]= [∞]2 Plantilla:DCD= Plantilla:DCD 8 [2[3[4]]]= [4,3,4] [1+,4,3,4,1+]= [(4,3,4,2*)]= [3[4]] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD= Plantilla:DCD 4 [3[∞]3]= [4,3,4] [4,3*,4]= [∞]3= [∞,2,∞,2,∞] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD 6 [(3,3)[∞]3]= [4,31,1] [4,(31,1)*]= [∞]3 Plantilla:DCD= Plantilla:DCD 24 [(4,3)[∞]3]= [4,3,4] [4,(3,4)*]= [∞]3 Plantilla:DCD= Plantilla:DCD 48 [(3,3)[∞]4]= [4,3,3,4] [4,(3,3)*,4]= [∞]4 Plantilla:DCD= Plantilla:DCD 24 [(4,3,3)[∞]4]= [4,3,3,4] [4,(3,3,4)*]= [∞]4 Plantilla:DCD= Plantilla:DCD 384

Sobre els generadors, es considera que la doble simetria agrega un nou operador que aplica posicions simètriques en el diagrama de Coxeter, lo que fa que alguns generadors originals siguen redundantes. Per al grup espacial 3D i els grups de punts 4D, Coxeter definix un subgrup d'índex dos de Plantilla:Brackets, Plantilla:Brackets, que definix com el producte dels generadors originals de [X] pel generador de duplicació. Açò s'assembla a Plantilla:Brackets⁺, que és el subgrup quiral de Plantilla:Brackets. Per eixemple, els grups espacials 3D Plantilla:Brackets⁺ (I432, 211) i Plantilla:Brackets (Pm3n, 223) són subgrups distints de Plantilla:Brackets (Im3m, 229).

Grups de ranc 1

Vore també: Grup de simetria unidimensional

En una dimensió, el grup bilateral [ ] representa una simetria d'un sol espill, abstracta Dih₁ o Z₂, una simetria d'orde 2. Es representa com un diagrama de Coxeter-Dynkin en un sol nodo, Plantilla:DCD. El grup identitat és el subgrup directe [ ]⁺, Z₁, en orde de simetria 1. El superíndex + simplement implica que s'ignoren els reflexos alternatius de l'espill, deixant el grup d'identitat en este cas més simple. Coxeter va usar un sol nodo obert per a representar una alternança, Plantilla:DCD.

Grup	Notació de Coxeter	Diagrama de Coxeter	Orde	Descripció
C1	[ ]+	Plantilla:DCD	1	Identitat
D2	[ ]	Plantilla:DCD	2	Grup de reflexió

Grups de ranc 2

Vore també: Grups de punts en dos dimensions

Un hexàgon regular, en marques en arestes i vèrtiços té 8 simetria: [6], [3], [2], [1], [6]⁺, [3]⁺, [2]⁺, [1]⁺, en [3] i [1] existint en dos formes, depenent de si els espills estan en les arestes o en els vèrtiços

En dos dimensions, el grup rectangular [2], abstracte D₂² o D₄, també es pot representar com un producte directe [ ]×[ ], sent el producte de dos grups bilaterals, representat per dos espills ortogonals, en diagrama de Coxeter Plantilla:DCD, en orde 4. El 2 en [2] prové de la linealisació dels subgrafos ortogonals en el diagrama de Coxeter, com Plantilla:DCD en orde de ramificació explícit 2. El grup ròmbic, [2]⁺ (Plantilla:DCD o Plantilla:DCD), la mitat del grup rectangular, és la simetria simetria central, Z₂ d'orde 2.

La notació de Coxeter permet un marcador de posició 1 per a grups de menor ranc, per lo que [1] és lo mateix que [ ], i [1⁺] o [1]⁺ és lo mateix que [ ]⁺ en el diagrama de Coxeter Plantilla:DCD.

El grup p-gonal complet [p], abstracte diédrico D_2p, (no abeliano per a p>2), d'orde 2p, és generat per dos espills en àngul π/p, representats pel diagrama de Coxeter Plantilla:DCD. El subgrup p-agonal [p]⁺, és el grup cíclico Z_p d'orde p, generat per un àngul de rotació de π/p.

La notació de Coxeter utilisa corchetes dobles per a representar una "duplicació" de simetria automórfica en agregar un espill bisectriz al domini fonamental. Per eixemple, [[p]] agrega un espill bisectriz a [p] i és isomorfo a [2p].

En el llímit, baixant a una dimensió, s'obté el grup complet apeirogonal quan l'àngul aplega a zero, per lo que [∞], en abstracte, el grup diedro infinit D_∞, representa dos espills paralels i té un diagrama de Coxeter Plantilla:DCD. El grup apeirogonal [∞]⁺, Plantilla:DCD, de forma abstracta el grup cíclico infinit Z_∞, isomòrfic al grup aditiu dels número entero, es genera per mig d'una única translació distinta de zero.

En el pla hiperbòlic, hi ha un grup complet apeirogonal [iπ/λ] i un subgrup pseudogonal [iπ/λ]⁺, Plantilla:DCD. Estos grups existixen en polígons regulars d'infinits costats, en llongitut d'aresta λ. Els espills són tots ortogonals a una sola llínea recta.

Eixemples de simetria finitas i hiperbòliques de ranc 2
Tipo	Finito					Afí	Hiperbòlic
Geometria					...
Coxeter	Plantilla:DCD [ ]	Plantilla:DCD= Plantilla:DCD [2]=[ ]×[ ]	Plantilla:DCD [3]	Plantilla:DCD [4]	Plantilla:DCD [p]	Plantilla:DCD [∞]	Plantilla:DCD [∞]	Plantilla:DCD [iπ/λ]
Orde	2	4	6	8	2p	∞
Les llínees especulares estan coloreadas per a correspondre als nodos del diagrama de Coxeter. Els dominis fonamentals estan coloreats alternativament.
Imàgens parells (directes)					...
Imàgens impar (inverses)								Erro al crear miniatura:
Coxeter	Plantilla:DCD [ ]+	Plantilla:DCD [2]+	Plantilla:DCD [3]+	Plantilla:DCD [4]+	Plantilla:DCD [p]+	Plantilla:DCD [∞]+	Plantilla:DCD [∞]+	Plantilla:DCD [iπ/λ]+
Orde	1	2	3	4	p	∞
Els subgrups cíclicos representen reflexions alternes, totes imàgens són parells (directes).

Grup	Internac.	Orbifold	Coxeter	Diagrama de Coxeter	Orde	Descripció
Finito
Zn	n	n•	[n]+	Plantilla:DCD	n	Cíclico: rotacions de multiplicitat n. Grup abstracte Zn, el grup dels número entero baix la suma de mòdul n.
D2n	nm	n•	[n]	Plantilla:DCD	2n	Diédrico: cíclico en reflexions. Grup abstracte Dihn, el grup diédrico.
Afí
Z∞	∞	∞•	[∞]+	Plantilla:DCD	∞	Cíclico: grup apeirogonal. Grup abstracte Z∞, el grup dels número entero baix la suma.
Dih∞	∞m	*∞•	[∞]	Plantilla:DCD	∞	Diédrico: reflexions paraleles. Grup diédrico infinit abstracte Dih∞.
Hiperbòlic
Z∞			[πi/λ]+	Plantilla:DCD	∞	Grup pseudogonal
Dih∞			[πi/λ]	Plantilla:DCD	∞	Grup pseudogonal complet

Grups de ranc 3

Vore també: Grups de punts en tres dimensions i Anexe:Grups de simetria esfèrica

Els grups de punts en 3 dimensions es poden expressar entre corchetes, relacionats en els grups de Coxeter de ranc 3:

Grups finitos d'isometría en 3D
Grups de rotació						Grups estesos
Nom	Corchetes	Orb	Sch	Abstracte	Orde	Nomene	Corchetes	Orb	Sch	Abstracte	Orde
Identitat	[ ]+	11	C1	Z1	1	Bilateral	[1,1]= [ ]	*	D2	Z2	2
						Central	[2+,2+]	×	Ci	2×Z1	2
Acrorrómbico	[1,2]+= [2]+	22	C2	Z2	2	Acrorrectangular	[1,2]= [2]	*22	C2v	D4	4
						Girorrómbico	[2+,4+]	2×	S4	Z4	4
						Ortorrómbico	[2,2+]	2*	D1d	Z2×Z2	4
Pararrómbico	[2,2]+	222	D2	D4	4	Girorrectangular	[2+,4]	2*2	D2d	D8	8
						Ortorrectangular	[2,2]	*222	D2h	Z2×D4	8
Acro-p-gonal	[1,p]+= [p]+	pp	Cp	Zp	p	Acro-p-gonal complet	[1,p]= [p]	*pp	Cpv	D2p	2p
						Gire-p-gonal	[2+,2p+]	p×	S2p	Z2p	2p
						Orto-p-gonal	[2,p+]	p*	Cph	Z2×Zp	2p
Per a-p-gonal	[2,p]+	p22	D2p	D2p	2p	Gire-p-gonal complet	[2+,2p]	2*p	Dpd	D4p	4p
						Orto-p-gonal complet	[2,p]	*p22	Dph	Z2×D2p	4p
Tetraèdric	[3,3]+	332	T	A4	12	Tetraèdric complet	[3,3]	*332	Td	S4	24
						Piritoédrico	[3+,4]	3*2	Th	2×A4	24
Octaèdric	[3,4]+	432	O	S4	24	Octaèdric complet	[3,4]	*432	Oh	2×S4	48
Icosaédrico	[3,5]+	532	I	A5	60	Icosaédrico complet	[3,5]	*532	Ih	2×A5	120

Erro al crear miniatura:

La simetria tetraèdrica, [3+,4], és un subgrup d'índex 5 de la simetria icosaédrica, [5,3]

En tres dimensions, el grup ortorrómbico complet o ortorrectangular [2,2], de forma abstracta Z₂³, d'orde 8, representa tres espills ortogonals (també representats pel diagrama de Coxeter com tres punts separats Plantilla:DCD). També es pot representar com el producte directe [ ]×[ ]×[ ], pero l'expressió [2,2] permet definir subgrups:

Primer hi ha un subgrup "semidirecto", el grup ortorrómbico, [2,2⁺] (Plantilla:DCD o Plantilla:DCD), abstractamente Z₂×Z₂, d'orde 4. Quan el superíndex + es troba dins dels corchetes, lo que significa que els reflexos generats solament pels espills adjacents (com es definix en el diagrama de Coxeter, Plantilla:DCD) s'alternen. En general, les órdens de branca veïnes al nodo + deuen ser parells. En este cas [2,2⁺] i [2⁺,2] representen dos subgrups isomorfos que són geomètricament distints. Els atres subgrups són el grup pararrómbico [2,2]⁺ (Plantilla:DCD o Plantilla:DCD), també d'orde 4, i finalment el grup central [2⁺,2⁺] (Plantilla:DCD o Plantilla:DCD) d'orde 2.

Després està el grup orto-p-gonal complet, [2,p] (Plantilla:DCD), abstractamente Z₂×D_2p, d'orde 4p, que representa dos espills en un àngul diedro π/p, i abdós són ortogonals a un tercer espill. També està representat pel diagrama de Coxeter com Plantilla:DCD.

El subgrup directe es denomina grup per a-p-gonal, [2,p]⁺ (Plantilla:DCD o Plantilla:DCD), en abstracte D_2p, d'orde 2p, i un atre subgrup és [2,p⁺] (Plantilla:DCD) en abstracte Z₂ ×Z_p, també d'orde 2p.

El grup gire-p-gonal complet, [2⁺,2p] (Plantilla:DCD o Plantilla:DCD), en abstracte D_4p i d'orde 4p. El grup gire-p-gonal, [2⁺,2p⁺] (Plantilla:DCD o Plantilla:DCD), abstractamente Z_2p, d'orde 2p, és un subgrup de [2⁺,2 p] i de [2,2p⁺].

Els grups polièdrics es basen en la simetria dels sòlits platònics: tetraedre, octaedre, gaveta, icosaedre i dodecaedre, en símbols de Schläfli {3,3}, {3,4}, {4,3}, {3,5} i {5,3} respectivament. Els grups de Coxeter per a estos són: [3,3] (Plantilla:DCD), [3,4] (Plantilla:DCD), [3,5] (Plantilla:DCD); coneguts com simetria tetraèdrica, simetria octaèdrica i simetria icosaédrica completes, en órdens 24, 48 i 120.

En totes estes simetria, els reflexos alterns es poden eliminar produint els grups rotacionales tetraèdrics [3,3]⁺(Plantilla:DCD), octaèdrics [3,4]⁺ (Plantilla:DCD) i icosaédricos [3,5]⁺ (Plantilla:DCD) d'orde 12, 24 i 60. El grup octaèdric també té un subgrup únic d'índex 2 cridat grup de simetria tetraèdrica, [3⁺,4] (Plantilla:DCD o Plantilla:DCD), d'orde 12, en una mescla de simetria rotacional i de reflexió. La simetria piritoédrica també és un subgrup d'índex 5 de simetria icosaédrica: Plantilla:DCD → Plantilla:DCD, en un espill virtual 1 a través de 0, {010} i rotació triple {12}.

El grup tetraèdric, [3,3] (Plantilla:DCD), té un Plantilla:Brackets duplicat (que es pot representar en nodos coloreats Plantilla:DCD), aplicant el primer i l'últim espill entre sí, es produïx el [3,4] (Plantilla:DCD o grup Plantilla:DCD). El subgrup [3,4,1⁺] (Plantilla:DCD o Plantilla:DCD) és igual a [3,3] i [3⁺,4,1⁺] (Plantilla:DCD o Plantilla:DCD) és igual a [3,3]⁺.

Eixemple d'arbres de subgrups de grups finitos de Coxeter de ranc 3
Simetria tetraèdrica	Simetria octaèdrica
Erro al crear miniatura:
Simetria icosaédrica

Grups afins

Vore també: Anex:Grups de simetria plana

En el pla euclídeo hi ha 3 grups fonamentals de reflexió generats per 3 espills, representats pels diagrames de Coxeter Plantilla:DCD, Plantilla:DCD i Plantilla:DCD, i reben la notació de Coxeter com [4,4], [6,3] i [(3,3, 3)]. Els paréntesis de l'últim grup impliquen el cicle del diagrama i també té una notació abreviada, [3^[3]].

Plantilla:Brackets, com una duplicació del grup [4,4], produïx la mateixa simetria girada π/4 des del conjunt original d'espills.

Els subgrups directes de simetria rotacional són: [4,4]⁺, [6,3]⁺ i [(3,3,3)]⁺. [4⁺,4] i [6,3⁺] són subgrups semidirectos.

Semiafín (frisos) IUC Orb. Geo Sch. Coxeter p1 ∞∞ p1 C∞ [∞]= [∞,1]+= [∞+,2,1+] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD p1m1 *∞∞ p1 C∞v [∞]= [∞,1]= [∞,2,1+] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD p11g ∞× p.g1 S2∞ [∞+,2+] Plantilla:DCD p11m ∞* p. 1 C∞h [∞+,2] Plantilla:DCD p2 22∞ p2 D∞ [∞,2]+ Plantilla:DCD p2mg 2*∞ p2g D∞d [∞,2+] Plantilla:DCD p2mm *22∞ p2 D∞h [∞,2] Plantilla:DCD

Afí (grups del paper pintat) IUC Orb. Geo. Coxeter p2 2222 p2 [4,1+,4]+ Plantilla:DCD p2gg 22× pg2g [4+,4+] Plantilla:DCD p2mm *2222 p2 [4,1+,4] Plantilla:DCD Plantilla:DCD c2mm 2*22 c2 Plantilla:Brackets Plantilla:DCD p4 442 p4 [4,4]+ Plantilla:DCD p4gm 4*2 pg4 [4+,4] Plantilla:DCD p4mm *442 p4 [4,4] Plantilla:DCD p3 333 p3 [1+,6,3+]= [3[3]]+ Plantilla:DCD= Plantilla:DCD p3m1 *333 p3 [1+,6,3]= [3[3]] Plantilla:DCD= Plantilla:DCD p31m 3*3 h3 [6,3+]= [3[3[3]]+] Plantilla:DCD p6 632 p6 [6,3]+= [3[3[3]]]+ Plantilla:DCD p6mm *632 p6 [6,3]= [3[3[3]]] Plantilla:DCD

Expressats en notació de Coxeter (i notació orbifold entre paréntesis), alguns subgrups afins d'índex baix són:

Grup reflexiu	Subgrup reflexiu	Subgrup mixt	Subgrup rotatiu	Rotorreflexion/ translació	Subgrup commutador
[4,4], (*442)	[1+,4,4], (*442) [4,1+,4], (*2222) [1+,4,4,1+], (*2222)	[4+,4], (4*2) [(4,4,2+)], (2*22) [1+,4,1+,4], (2*22)	[4,4]+, (442) [1+,4,4+], (442) [1+,4,1+4,1+], (2222)	[4+,4+], (22×)	[4+,4+]+, (2222)
[6,3], (*632)	[1+,6,3]= [3[3]], (*333)	[3+,6], (3*3)	[6,3]+, (632) [1+,6,3+], (333)		[1+,6,3+], (333)

Grups de ranc 4

Relacions entre subgrups

Grups de punts

Vore també: Grups de punts en quatre dimensions

Els grups de ranc quatre definixen els grups puntuals de 4 dimensions: Plantilla:3-sphere symmetry groups2

Subgrups

Grups i subgrups reflexius de punts 1D-4D
Orde	Reflexió		Subgrups semidirectos				Subgrups directes		Subgrup commutador
2	[ ]	Plantilla:DCD					[ ]+	Plantilla:DCD	[ ]+1	[ ]+
4	[2]	Plantilla:DCD					[2]+	Plantilla:DCD	[2]+2
8	[2,2]	Plantilla:DCD	[2+,2]	Plantilla:DCD	[2+,2+]	Plantilla:DCD	[2,2]+	Plantilla:DCD	[2,2]+3
16	[2,2,2]	Plantilla:DCD	[2+,2,2] [(2,2)+,2]	Plantilla:DCD Plantilla:DCD	[2+,2+,2] [(2,2)+,2+] [2+,2+,2+]	Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD	[2,2,2]+ [2+,2,2+]	Plantilla:DCD Plantilla:DCD	[2,2,2]+4
	[21,1,1]	Plantilla:DCD			[(2+)1,1,1]	Plantilla:DCD
2n	[n]	Plantilla:DCD					[n]+	Plantilla:DCD	[n]+1	[n]+
4n	[2n]	Plantilla:DCD					[2n]+	Plantilla:DCD	[2n]+2
4n	[2,n]	Plantilla:DCD	[2,n+]	Plantilla:DCD			[2,n]+	Plantilla:DCD	[2,n]+2
8n	[2,2n]	Plantilla:DCD	[2+,2n]	Plantilla:DCD	[2+,2n+]	Plantilla:DCD	[2,2n]+	Plantilla:DCD	[2,2n]+3
8n	[2,2,n]	Plantilla:DCD	[2+,2,n] [2,2,n+]	Plantilla:DCD Plantilla:DCD	[2+,(2,n)+]	Plantilla:DCD	[2,2,n]+ [2+,2,n+]	Plantilla:DCD Plantilla:DCD	[2,2,n]+3
16n	[2,2,2n]	Plantilla:DCD	[2,2+,2n]	Plantilla:DCD	[2+,2+,2n] [2,2+,2n+] [(2,2)+,2n+] [2+,2+,2n+]	Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD	[2,2,2n]+ [2+,2n,2+]	Plantilla:DCD Plantilla:DCD	[2,2,2n]+4
	[2,2n,2]	Plantilla:DCD			[2+,2n+,2+]	Plantilla:DCD
	[2n,21,1]	Plantilla:DCD			[2n+,(2+)1,1]	Plantilla:DCD
24	[3,3]	Plantilla:DCD					[3,3]+	Plantilla:DCD	[3,3]+1	[3,3]+
48	[3,3,2]	Plantilla:DCD	[(3,3)+,2]	Plantilla:DCD			[3,3,2]+	Plantilla:DCD	[3,3,2]+2
48	[4,3]	Plantilla:DCD	[4,3+]	Plantilla:DCD			[4,3]+	Plantilla:DCD	[4,3]+2
96	[4,3,2]	Plantilla:DCD	[(4,3)+,2] [4,(3,2)+]	Plantilla:DCD Plantilla:DCD			[4,3,2]+	Plantilla:DCD	[4,3,2]+3
	[3,4,2]	Plantilla:DCD	[3,4,2+] [3+,4,2]	Plantilla:DCD Plantilla:DCD	[(3,4)+,2+]	Plantilla:DCD	[3+,4,2+]	Plantilla:DCD
120	[5,3]	Plantilla:DCD					[5,3]+	Plantilla:DCD	[5,3]+1	[5,3]+
240	[5,3,2]	Plantilla:DCD	[(5,3)+,2]	Plantilla:DCD			[5,3,2]+	Plantilla:DCD	[5,3,2]+2
4pq	[p,2,q]	Plantilla:DCD	[p+,2,q]	Plantilla:DCD			[p,2,q]+ [p+,2,q+]	Plantilla:DCD Plantilla:DCD	[p,2,q]+2	[p+,2,q+]
8pq	[2p,2,q]	Plantilla:DCD	[2p,(2,q)+]	Plantilla:DCD	[2p+,(2,q)+]	Plantilla:DCD	[2p,2,q]+	Plantilla:DCD	[2p,2,q]+3
16pq	[2p,2,2q]	Plantilla:DCD	[2p,2+,2q]	Plantilla:DCD	[2p+,2+,2q] [2p+,2+,2q+] [(2p,(2,2q)+,2+)]	Plantilla:DCD Plantilla:DCD -	[2p,2,2q]+	Plantilla:DCD	[2p,2,2q]+4
120	[3,3,3]	Plantilla:DCD					[3,3,3]+	Plantilla:DCD	[3,3,3]+1	[3,3,3]+
192	[31,1,1]	Plantilla:DCD					[31,1,1]+	Plantilla:DCD	[31,1,1]+1	[31,1,1]+
384	[4,3,3]	Plantilla:DCD	[4,(3,3)+]	Plantilla:DCD			[4,3,3]+	Plantilla:DCD	[4,3,3]+2
1152	[3,4,3]	Plantilla:DCD	[3+,4,3]	Plantilla:DCD			[3,4,3]+ [3+,4,3+]	Plantilla:DCD Plantilla:DCD	[3,4,3]+2	[3+,4,3+]
14400	[5,3,3]	Plantilla:DCD					[5,3,3]+	Plantilla:DCD	[5,3,3]+1	[5,3,3]+

Grups espacials

Grups espacials
Erro al crear miniatura: Isomorfisme afí i correspondències	Erro al crear miniatura: Els 8 grups espacials cúbics com a simetria estesa de [3[4]], en diagrames quadrats de Coxeter i dominis fonamentals reflexius	Erro al crear miniatura: Els 35 grups espacials cúbics en notació internacional, notació fibrifold i de Coxeter

Grups llineals

Els grups de ranc quatre també definixen els grups llineals tridimensionals:

Grups (3D) semiafines
Grup puntual			Grup llineal
Hermann-Mauguin		Schönflies	Hermann-Mauguin		Tipo desplaçat	Paper pintat			Coxeter [∞h,2,pv]
n parell	n impar		n parell	n impar		IUC	Orbifold	Diagrama
n		Cn	Pnq		Hèliç: q	p1	o		[∞+,2,n+]	Plantilla:DCD
2n	n	S2n	P2n	Pn	None	p11g, pg(h)	××		[(∞,2)+,2n+]	Plantilla:DCD
n/m	2n	Cnh	Pn/m	P2n	Cap	p11m, pm(h)	**		[∞+,2,n]	Plantilla:DCD
2n/m		C2nh	P2nn/m		Zigzag	c11m, cm(h)	×		[∞+,2+,2n]	Plantilla:DCD
nmm	nm	Cnv	Pnmm	Pnm	Cap	p1m1, pm(v)	**		[∞,2,n+]	Plantilla:DCD
			Pncc	Pnc	Reflexió plana	p1g1, pg(v)	××		[∞+,(2,n)+]	Plantilla:DCD
2nmm		C2nv	P2nnmc		Zigzag	c1m1, cm(v)	×		[∞,2+,2n+]	Plantilla:DCD
n22	n2	Dn	Pnq22	Pnq2	Hèliç: q	p2	2222		[∞,2,n]+	Plantilla:DCD
2n2m	nm	Dnd	P2n2m	Pnm	Cap	p2mg, pmg(h)	22*		[(∞,2)+,2n]	Plantilla:DCD
			P2n2c	Pnc	Reflexió plana	p2gg, pgg	22×		[+(∞,(2),2n)+]
n/mmm	2n2m	Dnh	Pn/mmm	P2n2m	Cap	p2mm, pmm	*2222		[∞,2,n]	Plantilla:DCD
			Pn/mcc	P2n2c	Reflexió plana	p2mg, pmg(v)	22*		[∞,(2,n)+]	Plantilla:DCD
2n/mmm		D2nh	P2nn/mcm		Zigzag	c2mm, cmm	2*22		[∞,2+,2n]	Plantilla:DCD

Grup duoprismático

Simetria duoprismática estesa
Grups duoprismáticos estesos, [p]×[p] o [p,2,p] o Plantilla:DCD, expressats en relació en la seua simetria de domini fonamental disfenoide.

Els grups de ranc quatre definixen els grups duoprismáticos de 4 dimensions. En el llímit, quan p i q tendixen a infinit, degeneran en 2 dimensions i es convertixen en els grups del paper pintat.

Grups duoprismáticos (4D)
Paper pintat			Coxeter [p,2,q] Plantilla:DCD	Coxeter Plantilla:Brackets Plantilla:DCD	Paper pintat
IUC	Orbifold	Diagrama			IUC	Orbifold	Diagrama
p1	o		[p+,2,q+]	Plantilla:Brackets	p1	o
pg	××		[(p,2)+,2q+]	-
pm	**		[p+,2,q]	-
cm	×		[2p+,2+,2q]	-
p2	2222		[p,2,q]+	Plantilla:Brackets+	p4	442
pmg	22*		[(p,2)+,2q]	-
pgg	22×		[+(2p,(2),2q)+]	Plantilla:Brackets	cmm	2*22
pmm	*2222		[p,2,q]	Plantilla:Brackets	p4m	*442
cmm	2*22		[2p,2+,2q]	Plantilla:Brackets	p4g	4*2

Grups del paper pintat

Els grups de ranc quatre també definixen alguns dels grups del paper pintat bidimensionales, com a casos llímit dels grups de duoprismas de quatre dimensions:

Grup afí (pla 2D)

IUC Orb. Geo Coxeter Diagrama p1 o p1 [∞+,2,∞+] Plantilla:DCD [∞+,2+,∞+] Plantilla:DCD [(∞+,2+,∞+,2+)] Plantilla:DCD p2 2222 p2 [∞,2,∞]+ Plantilla:DCD [(∞,2+,∞,2+)] Plantilla:DCD p11g ×× pg1 h: [∞+,(2,∞)+] Plantilla:DCD p1g1 v: [(∞,2)+,∞+] Plantilla:DCD p2gm 22* pg2 h: [(∞,2)+,∞] Plantilla:DCD p2mg v: [∞,(2,∞)+] Plantilla:DCD

IUC Orb. Geo Coxeter Diagrama p11m ** p1 h: [∞+,2,∞] Plantilla:DCD p1m1 v: [∞,2,∞+] Plantilla:DCD Erro al crear miniatura: p2mm *2222 p2 [∞,2,∞] Plantilla:DCD Erro al crear miniatura: c11m × c1 h: [∞+,2+,∞] Plantilla:DCD Erro al crear miniatura: c1m1 v: [∞,2+,∞+] Plantilla:DCD Erro al crear miniatura: p2gg 22× pg2g [+(∞,(2),∞)+] [((∞,2)+)[2]] Plantilla:DCD Erro al crear miniatura: c2mm 2*22 c2 [∞,2+,∞] Plantilla:DCD Erro al crear miniatura:

Els subgrups de [8,2,8], (*2222) es poden expressar fins al seu subgrup commutador d'índex 16 com seguix:

Subgrups de [∞,2,∞]
Grup reflexiu	Subgrup reflexiu	Subgrup mixt	Subgrup rotatiu	Rotorreflexión/ translació	Subgrup commutador
[∞,2,∞], (*2222)	[1+,∞,2,∞], (*2222)	[∞+,2,∞], (**)	[∞,2,∞]+, (2222)	[∞,2+,∞]+, (°) [∞+,2+,∞+], (°) [∞+,2,∞+], (°) [∞+,2+,∞], (×) [(∞,2)+,∞+], (××) [((∞,2)+,(∞,2)+)], (22×)	[(∞+,2+,∞+,2+)], (°)
		[∞,2+,∞], (2*22) [(∞,2)+,∞], (22*)

Reflexions complexes

Algunes relacions de subgrups entre grups infinits de Shephard

Totes les relacions de subgrups en grups Shephard de ranc 2

La notació de Coxeter s'ha ampliat al espai complex, Cⁿ, a on els nodos són reflexions unitàries de periodo 2 o superior. Els nodos estan etiquetats per un índex, que se supon que és 2 per a la reflexió real ordinària si se suprimix. Els grups de reflexió complexos es denominen grups de Shephard en lloc de grups de Coxeter i es poden utilisar per a construir politopos complexos.

En ${ℂ}^1$, un grup de Shephard de ranc 1 Plantilla:DCD, orde p, es representa com _p[ ], [ ]_p o ]_p[. Té un sol generador, representant una rotació de 2π/p radianes en el pla complex: $e^{2\pi i/p}$.

Coxeter anota el grup complex de ranc 2, _p[q]_r i ho representa per mig del diagrama de Coxeter-Dynkin Plantilla:DCD. La p i la r solament deuen suprimir-se si abdós són 2, que és el cas real [q]. L'orde d'un grup de ranc 2 _p[q]_r és $g=8/q(1/p+2/q+1/r-1{)}^{-2}$.

Les solucions de ranc 2 que generen polígons complexos són: _p[4]₂ (p és 2,3,4,...), ₃[3]₃, ₃[6]₂, ₃[4]₃, ₄[3]₄, ₃[8]₂, ₄ (045)[6]₂, ₄[4]₃, ₃[5]₃, ₅[3]₅, ₃ )[10]₂, ₅[6]₂ i ₅[4]₃ en diagrames de Coxeter Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD , Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD .

Els grups infinits són ₃[12]₂, ₄[8]₂, ₆[6]₂, ₃[6]₃, ₆[4]₃, ₄[4]₄ i ₆[3]₆ o Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD.

Els subgrups d'índex 2 existixen en eliminar un reflex real: _p[2q]₂ → _p[q]_p. També existixen subgrups d'índex r per a 4 branques: _p[4]_r → _p[r]_p.

Per a la família infinita _p[4]₂, per a qualsevol p= 2, 3, 4,..., hi ha dos subgrups: _p[4]₂ → [p], índex p, while i _p[4]₂ → _p[ ]×_p[ ], índex 2.

Càlcul en matrius de reflexió com a generadors de simetria

Un grup de Coxeter, representat pel diagrama de Coxeter-Dynkin Plantilla:DCD, rep la notació de Coxeter [p,q] segons els órdens de les branques. Cada nodo en el diagrama de Coxeter representa un espill, per convenció cridat ρ_i (i matriu R_i). Els generadors d'este grup [p,q] són reflexions: ρ₀, ρ₁ i ρ₂. La subsimetría rotacional es definix com a producte de reflexions: per convenció, σ_0,1 (i la matriu S_0,1)= ρ₀ρ₁ representa una rotació de l'àngul Π/p, i σ_1,2= ρ₁ρ₂ és una rotació de l'àngul Π/q, i σ_0,2= ρ₀ρ₂ representa una rotació segons un àngul de Π/2.

[p,q]⁺, Plantilla:DCD, és un subgrup d'índex 2 representat per dos generadors de rotació, cada u dels quals és producte de dos reflexions: σ_0,1, σ_1,2, i representa rotacions segons els ànguls Π/p i Π/q respectivament.

En una branca parell, [p⁺,2q], Plantilla:DCD o Plantilla:DCD, és un atre subgrup d'índex 2, representat pel generador de rotació σ_0,1, i el de reflexió ρ₂.

En branques pares, [2p⁺,2q⁺], Plantilla:DCD, és un subgrup d'índex 4 en dos generadors, construït com un producte de les tres matrius de reflexió. Per convenció, com ψ_0,1,2 i ψ_1,2,0, que són rotorreflexiones, que representen una reflexió i una rotació o reflexió.

En el cas de grups afins de Coxeter com Plantilla:DCD o Plantilla:DCD, un espill, generalment l'últim, es trasllada fòra de l'orige. Un generador translació t_0,1 (i una matriu T_0,1) es construïxen com el producte de dos (o un número par de) reflexos, inclós el reflex afí. Un reflexió esgolada (reflexió més translació) pot ser el producte d'un número impar de reflexions f_0,1,2 (i matriu V_0,1,2), com el subgrup d'índex 4 Plantilla:DCD: [4⁺,4⁺]= Plantilla:DCD.

Un atre generador compost, per convenció com ζ (i matriu Z), representa l'inversió, assignant un punt a la seua inversa. Para [4,3] i [5,3], ζ = (ρ₀ρ₁ρ₂)^h/2, a on h és 6 i 10 respectivament, el número de Coxeter per a cada família. Per al grup de Coxeter 3D [p,q] (Plantilla:DCD), este subgrup és una rotorreflexión [2⁺,h⁺].

Els grups de Coxeter es classifiquen pel seu ranc, sent el número de nodos en el seu diagrama de Coxeter. L'estructura dels grups també es proporciona en els seus tipos de grups abstractes: en este artícul, els grups diédricos abstractes es representen com Dih_n, i els grups cíclicos es representen com Z_n, en Dih₁ =Z₂.

Ranc 2

Grups diédricos	Grups cíclicos
Erro al crear miniatura: [2]	Erro al crear miniatura: [2]+
Erro al crear miniatura: [3]	Erro al crear miniatura: [3]+
Erro al crear miniatura: [4]	Erro al crear miniatura: [4]+
Erro al crear miniatura: [6]	Erro al crear miniatura: [6]+

Per eixemple, en 2D, el grup de Coxeter [p] (Plantilla:DCD) està representat per dos matrius de reflexió R₀ i R₁, la simetria cíclica [p]⁺ (Plantilla:DCD) està representada pel generador de rotació de la matriu S_0,1.

[p], Plantilla:DCD Reflexions Rotació Nom R0 Plantilla:DCD R1 Plantilla:DCD S0,1=R0×R1 Plantilla:DCD Orde 2 2 p Matriu $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cc}\cos 2\pi /p& \sin 2\pi /p\\ \sin 2\pi /p& -\cos 2\pi /p\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cc}\cos 2\pi /p& \sin 2\pi /p\\ -\sin 2\pi /p& \cos 2\pi /p\end{array}\right]$	[2], Plantilla:DCD Reflexions Rotació Nom R0 Plantilla:DCD R1 Plantilla:DCD S0,1=R0×R1 Plantilla:DCD Orde 2 2 2 Matriu $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$
[3], Plantilla:DCD Reflexions Rotació Nom R0 Plantilla:DCD R1 Plantilla:DCD S0,1=R0×R1 Plantilla:DCD Orde 2 2 3 Matriu $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cc}1/2& \sqrt{3}/2\\ \sqrt{3}/2& -1/2\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cc}1/2& \sqrt{3}/2\\ -\sqrt{3}/2& 1/2\end{array}\right]$	[4], Plantilla:DCD Reflexions Rotació Nom R0 Plantilla:DCD R1 Plantilla:DCD S0,1=R0×R1 Plantilla:DCD Orde 2 2 4 Matriu $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]$
[6], Plantilla:DCD Reflexions Rotació Nom R0 Plantilla:DCD R1 Plantilla:DCD S0,1=R0×R1 Plantilla:DCD Orde 2 2 6 Matriu $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cc}\sqrt{3}/2& 1/2\\ 1/2& -\sqrt{3}/2\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cc}\sqrt{3}/2& 1/2\\ -1/2& \sqrt{3}/2\end{array}\right]$	[8], Plantilla:DCD Reflexions Rotació Nom R0 Plantilla:DCD R1 Plantilla:DCD S0,1=R0×R1 Plantilla:DCD Orde 2 2 8 Matriu $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cc}\sqrt{2}/2& \sqrt{2}/2\\ \sqrt{2}/2& -\sqrt{2}/2\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cc}\sqrt{2}/2& \sqrt{2}/2\\ -\sqrt{2}/2& \sqrt{2}/2\end{array}\right]$

Ranc 3

Erro al crear miniatura:

Eixemple de dominis fonamentals, [5,2], com a triànguls esfèrics

Els grups de Coxeter de ranc finito 3 són [1,p], [2,p], [3,3], [3,4] i [3,5].

Per a reflectir un punt a través d'un pla $ax+by+cz=0$ (que passa per l'orige), es pot usar $𝐀=𝐈-2{𝐍𝐍}^T$, a on $𝐈$ és la matriu identitat 3×3 i $𝐍$ és el vector unitari tridimensional per al vector normal del pla. Si la norma de $a,b,$ i $c$ és l'unitat, la matriu de transformació es pot expressar com:

$𝐀=\left[\begin{array}{ccc}1-2a^2& -2ab& -2ac\\ -2ab& 1-2b^2& -2bc\\ -2ac& -2bc& 1-2c^2\end{array}\right]$

[p,2]

El grup de reflexió finito tridimensional reducible és el grup diedro, [p,2], d'orde 4p, Plantilla:DCD. Els generadors de reflexió són les matrius R₀, R₁, R₂. R₀²=R₁²=R₂²=(R₀×R₁)³=(R₁×R₂)³=(R₀×R₂)²=Identitat. [p,2]⁺ (Plantilla:DCD) es genera per mig de 2 de 3 rotacions: S_0,1, S_1,2 i S_0,2. Una rotorreflexión d'orde p és generada per V_0,1,2, el producte de les 3 reflexions.

[p,2], Plantilla:DCD

	Reflexions			Rotació			Rotorreflexión
Nom	R0	R1	R2	S0,1	S1,2	S0,2	V0,1,2
Grup	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD
Orde	2	2	2	p	2		2p
Matriu	$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}\cos 2\pi /p& \sin 2\pi /p& 0\\ \sin 2\pi /p& -\cos 2\pi /p& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}\cos 2\pi /p& \sin 2\pi /p& 0\\ -\sin 2\pi /p& \cos 2\pi /p& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}\cos 2\pi /p& \sin 2\pi /p& 0\\ -\sin 2\pi /p& \cos 2\pi /p& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}\cos 2\pi /p& -\sin 2\pi /p& 0\\ -\sin 2\pi /p& -\cos 2\pi /p& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

[3,3]

Erro al crear miniatura:

Llínees de reflexió per a
[3,3]= Plantilla:DCD

El grup de reflexió finito tridimensional irreducible més simple és el de simetria tetraèdrica, [3,3], i d'orde 24, Plantilla:DCD. Els generadors de reflexió, a partir d'una construcció D₃=A₃, són les matrius R₀, R₁, R₂. R₀²=R₁²=R₂²=(R₀×R₁)³=(R₁×R₂)³=(R₀×R₂)²=Identitat. [3,3]⁺ (Plantilla:DCD) es genera per mig de 2 de 3 rotacions: S_0,1, S_1,2 i S_0,2. Un trionic subgroup, isomorfo a [2⁺,4], orde 8, és generat per S_0,2 i R₁. Una rotorreflexión d'orde 4 es genera per mig de V_0,1,2, el producte de les 3 reflexions.

[3,3], Plantilla:DCD

	Reflexions			Rotacions			Rotorreflexión
Nom	R0	R1	R2	S0,1	S1,2	S0,2	V0,1,2
Grup	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD		Plantilla:DCD
Orde	2	2	2	3		2	4
Matriu	$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& -1& 0\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 1& 0& 0\\ 0& -1& 0\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 0& -1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right]$
	(0,1,−1)n	(1,−1,0)n	(0,1,1)n	(1,1,1)axis	(1,1,−1)axis	(1,0,0)axis

[4,3]

Llínees de reflexió per a
[4,3]= Plantilla:DCD

Un atre grup de reflexió finito tridimensional irreducible és el de simetria octaèdrica, [4,3], d'orde 48, Plantilla:DCD. Les matrius de reflexió generadores són R₀, R₁, R₂. R₀²=R₁²=R₂²=(R₀×R₁)⁴=(R₁×R₂)³=(R₀×R₂)²=Identitat. La simetria octaèdrica quiral, [4,3]⁺, (Plantilla:DCD) es genera per mig de 2 de 3 rotacions: S_0,1, S_1,2 i S_0,2. La simetria tetraèdrica [4,3⁺], (Plantilla:DCD) es genera per mig de la reflexió R₀ i la rotació S_1,2. Una rotorreflexión d'orde 6 és generada per V_0,1,2, el producte de les 3 reflexions.

[4,3], Plantilla:DCD

	Reflexions			Rotacions			Rotorreflexión
Nom	R0	R1	R2	S0,1	S1,2	S0,2	V0,1,2
Grup	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD
Orde	2	2	2	4	3	2	6
Matriu	$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& -1& 0\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -1& 0& 0\end{array}\right]$
	(0,0,1)n	(0,1,−1)n	(1,−1,0)n	(1,0,0)axis	(1,1,1)axis	(1,−1,0)axis

[5,3]

Erro al crear miniatura:

Llínees de reflexió de [5,3]= Plantilla:DCD

El grup de reflexió finito tridimensional irreducible final és el de la simetria icosaédrica, [5,3], i d'orde 120, Plantilla:DCD. Les matrius generadores de reflexió són R₀, R₁, R₂. R₀²=R₁²=R₂²=(R₀×R₁)⁵=(R₁×R₂)³=(R₀×R₂)²=Identitat. [5,3]⁺ (Plantilla:DCD) es genera per mig de 2 de 3 rotacions: S_0,1, S_1,2 i S_0,2. Una rotorreflexión de multiplicitat 10 es genera per mig de V_0,1,2, el producte de les 3 reflexions.

[5,3], Plantilla:DCD

	Reflexions			Rotacions			Rotorreflexión
Nom	R0	R1	R2	S0,1	S1,2	S0,2	V0,1,2
Grup	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD
Orde	2	2	2	5	3	2	10
Matriu	$\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}\frac{1-\varphi }{2}& \frac{-\varphi }{2}& \frac{-1}{2}\\ \frac{-\varphi }{2}& \frac{1}{2}& \frac{1-\varphi }{2}\\ \frac{-1}{2}& \frac{1-\varphi }{2}& \frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}\frac{\varphi -1}{2}& \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{-\varphi }{2}& \frac{1}{2}& \frac{1-\varphi }{2}\\ \frac{-1}{2}& \frac{1-\varphi }{2}& \frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}\frac{1-\varphi }{2}& \frac{\varphi }{2}& \frac{-1}{2}\\ \frac{-\varphi }{2}& \frac{-1}{2}& \frac{1-\varphi }{2}\\ \frac{-1}{2}& \frac{\varphi -1}{2}& \frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}\frac{\varphi -1}{2}& \frac{-\varphi }{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{-\varphi }{2}& \frac{-1}{2}& \frac{1-\varphi }{2}\\ \frac{-1}{2}& \frac{\varphi -1}{2}& \frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$
	(1,0,0)n	(φ,1,φ−1)n	(0,1,0)n	(φ,1,0)axis	(1,1,1)axis	(1,0,0)axis

Ranc 4

Vore també: Grups puntuals en quatre dimensions

Hi ha 4 Grup de Coxeter irreducibles en 4 dimensions: [3,3,3], [4,3,3], [3^1,1,1], [3,4,4], [5,3,3], aixina com una família infinita de grups duoprismáticos [p,2,q].

[p,2,q]

El grup duoprismático, [p,2,q], té orde 4pq.

[p,2,q], Plantilla:DCD Reflexions Nom R0 R1 R2 R3 Grup Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Orde 2 2 2 2 Matriu $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}\cos 2\pi /p& \sin 2\pi /p& 0& 0\\ \sin 2\pi /p& -\cos 2\pi /p& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& \cos 2\pi /q& \sin 2\pi /q\\ 0& 0& \sin 2\pi /q& -\cos 2\pi /q\end{array}\right]$ [[ p,2,p]] El grup duoprismático pot duplicar-se en orde, fins a 8p2, en una rotació de 2 voltes entre els dos plans. [[ p,2,p]], Plantilla:DCD Rotació Reflexions Nom T R0 R1 R2=TR1T R3=TR0T Grup Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Orde 2 2 2 Matriu $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}\cos 2\pi /p& \sin 2\pi /p& 0& 0\\ \sin 2\pi /p& -\cos 2\pi /p& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& -1\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& \cos 2\pi /p& \sin 2\pi /p\\ 0& 0& \sin 2\pi /p& -\cos 2\pi /p\end{array}\right]$ [3,3,3] La simetria hipertetraédrica, [3,3,3], en orde 120, és més fàcil de representar en 4 espills en 5 dimensions, com un subgrup de [4,3,3,3]. [3,3,3], Plantilla:DCD Reflexions Rotacions Rotorreflexiones Rotació doble Nom R0 R1 R2 R3 S0,1 S1,2 S2,3 S0,2 S1,3 S2,3 V0,1,2 V0,1,3 W0,1,2,3 Grup Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Orde 2 2 2 2 3 2 4 6 5 Matriu $\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0& 0\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$ (0,0,0,1,-1)n (0,0,1,−1,0)n (0,1,−1,0,0)n (1,−1,0,0,0)n [[3,3,3]] El grup estés [[3,3,3]], d'orde 240, es duplica per mig d'una matriu de rotació T de multiplicitat 2, ací invertint l'orde de les coordenades i el signe: Hi ha 3 generadors {T, R0, R1}. Ya que T és autorrecíproco R3=TR0T, i R2=TR1T. [[3,3,3]], Plantilla:DCD Rotació Reflexions Nom T R0 R1 TR1T=R2 TR0T=R3 Grup Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Orde 2 2 2 2 2 Matriu $\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& -1\\ 0& 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& -1& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ (0,0,0,1,-1)n (0,0,1,−1,0)n (0,1,−1,0,0)n (1,−1,0,0,0)n [4,3,3] Un grup de reflexió finito de 4 dimensions irreducible és un grup hiperoctaédrico (o grup hexadecacórico (per al hexadecacoron), B4=[4,3,3], d'orde 384, Plantilla:DCD. Les matrius generadores de les operacions de reflexió són R0, R1, R2, R3. R02=R12 =R22=R32=(R0×R1)4=(R1×R2)3=(R2×R3)3=(R0×R2)2=(R1×R3)2=(R0×R3)2=Identitat. La simetria hiperoctaédrica quiral, [4,3,3]+, (Plantilla:DCD) es genera per mig de 3 de 6 rotacions: S0,1, S1,2, S2,3, S0,2, S1,3 i S0,3.La simetria hiperpiritoédrica [4,(3,3)+], (Plantilla:DCD) es genera per mig de la reflexió R0 i les rotacions S1,2 i S2,3. Les rotacions en l'espai euclídeo 4-dimensional genera un W0,1,2,3 de multiplicitat 8, el producte de les 4 reflexions. [4,3,3], Plantilla:DCD Reflexions Rotacions Rotorreflexión Rotació doble Nom R0 R1 R2 R3 S0,1 S1,2 S2,3 S0,2 S1,3 S0,3 V1,2,3 V0,1,3 V0,1,2 V0,2,3 W0,1,2,3 Grup Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Orde 2 2 2 2 4 3 2 4 6 8 Matriu $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ -1& 0& 0& 0\end{array}\right]$ (0,0,0,1)n (0,0,1,−1)n (0,1,−1,0)n (1,−1,0,0)n [3,31,1] Un mig grup de [4,3,3] és [3,31,1], Plantilla:DCD, d'orde 192. Compartix 3 generadors en el grup [4,3,3], pero té dos còpies d'un generador adjacent, un reflectit en l'espill eliminat. [3,31,1], Plantilla:DCD Reflexions Nom R0 R1 R2 R3 Grup Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Orde 2 2 2 2 Matriu $\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right]$ (1,−1,0,0)n (0,1,−1,0)n (0,0,1,−1)n (0,0,1,1)n [3,4,3] Un grup reflexiu finito de 4 dimensions irreducible és el grup icositetracórico (per al icositetracoron), F4=[3,4,3], d'orde 1152, Plantilla:DCD. Les matrius generadores de reflexió són R0, R1, R2, R3. R02=R12=R22=R32=(R0×R1)3=(R1×R2)4=(R2×R3)3=(R0×R2)2=(R1×R3)2=(R0×R3)2= Identitat. La simetria icositetracórica quiral, [3,4,3]+, (Plantilla:DCD) es genera per mig de 3 de 6 rotacions: S0,1, S1,2, S2,3, S0,2, S1,3 i S0,3. El grup icósico disminuït [3,4,3+] (Plantilla:DCD) és generat per la reflexió R0 i les rotacions S1,2 i S2,3. Les rotacions en l'espai euclídeo 4-dimensional generen un W0,1,2,3 de multiplicitat 12, el producte de les 4 reflexions. [3,4,3], Plantilla:DCD Reflexions Rotacions Nom R0 R1 R2 R3 S0,1 S1,2 S2,3 S0,2 S1,3 S0,3 Grup Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Orde 2 2 2 2 3 4 3 2 Matriu $\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1/2& -1/2& -1/2& -1/2\\ -1/2& 1/2& -1/2& -1/2\\ -1/2& -1/2& 1/2& -1/2\\ -1/2& -1/2& -1/2& 1/2\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1/2& -1/2& 1/2& -1/2\\ -1/2& 1/2& 1/2& -1/2\\ -1/2& -1/2& -1/2& -1/2\\ -1/2& -1/2& 1/2& 1/2\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1/2& -1/2& -1/2& -1/2\\ -1/2& -1/2& 1/2& -1/2\\ -1/2& 1/2& -1/2& -1/2\\ -1/2& -1/2& -1/2& 1/2\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}-1/2& 1/2& -1/2& -1/2\\ 1/2& -1/2& -1/2& -1/2\\ -1/2& -1/2& 1/2& -1/2\\ -1/2& 1/2& -1/2& 1/2\end{array}\right]$ (1,−1,0,0)n (0,1,−1,0)n (0,0,1,0)n (−1,−1,−1,−1)n [3,4,3], Plantilla:DCD Rotoreflection Rotació doble Nom V1,2,3 V0,1,3 V0,1,2 V0,2,3 W0,1,2,3 Grup Plantilla:DCD Plantilla:DCD Orde 6 12 Matriu $\left[\begin{array}{cccc}-1/2& 1/2& -1/2& -1/2\\ -1/2& -1/2& 1/2& -1/2\\ 1/2& -1/2& -1/2& -1/2\\ -1/2& -1/2& -1/2& 1/2\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1/2& 1/2& -1/2& -1/2\\ -1/2& 1/2& 1/2& -1/2\\ -1/2& -1/2& -1/2& -1/2\\ -1/2& 1/2& -1/2& 1/2\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}-1/2& 1/2& 1/2& -1/2\\ 1/2& -1/2& 1/2& -1/2\\ -1/2& -1/2& -1/2& -1/2\\ -1/2& -1/2& 1/2& 1/2\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1/2& 1/2& -1/2& -1/2\\ 1/2& -1/2& 1/2& -1/2\\ -1/2& -1/2& -1/2& -1/2\\ 1/2& -1/2& -1/2& 1/2\end{array}\right]$ [[3,4,3]] El grup [[3,4,3]] estén [3,4,3] per una rotació de multiplicitat 2, T, duplicant la seua orde a 2304. [[3,4,3]], Plantilla:DCD Rotació Reflexions Nom T R0 R1 R2= TR1T R3= TR0T Grup Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Orde 2 2 2 2 2 Matriu $\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1/2& -1/2& -1/2& -1/2\\ -1/2& 1/2& -1/2& -1/2\\ -1/2& -1/2& 1/2& -1/2\\ -1/2& -1/2& -1/2& 1/2\end{array}\right]$ (1,−1,0,0)n (0,1,−1,0)n (0,0,1,0)n (−1,−1,−1,−1)n [5,3,3] Proyeccions estereográficas Erro al crear miniatura: [5,3,3]+ els 72 girs d'orde-5 Erro al crear miniatura: [5,3,3]+ els 200 girs d'orde-3 Erro al crear miniatura: [5,3,3]+ els 450 girs d'orde-2 Erro al crear miniatura: [5,3,3]+ tots els girs   La simetria hipericosaédrica, [5,3,3], d'orde 14400, es representa com Plantilla:DCD. Les matrius generadores de reflexió són R0, R1, R2, R3. R02=R12=R22=R32=(R0×R1)5=(R1×R2)3=(R2×R3)3=(R0×R2)2=(R0×R3)2=(R1×R3)2= Identitat. [5,3,3]+ (Plantilla:DCD) es genera per mig de 3 rotacions: S0,1= R0×R1, S1,2= R1×R2, S2,3= R2×R3, etc. [5,3,3], Plantilla:DCD Reflexions Nom R0 R1 R2 R3 Grup Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Orde 2 2 2 2 Matriu $\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}\frac{1-\varphi }{2}& \frac{-\varphi }{2}& \frac{-1}{2}& 0\\ \frac{-\varphi }{2}& \frac{1}{2}& \frac{1-\varphi }{2}& 0\\ \frac{-1}{2}& \frac{1-\varphi }{2}& \frac{\varphi }{2}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}& \frac{1-\varphi }{2}\\ 0& \frac{\varphi }{2}& \frac{1-\varphi }{2}& \frac{1}{2}\\ 0& \frac{1-\varphi }{2}& \frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$ (1,0,0,0)n (φ,1,φ−1,0)n (0,1,0,0)n (0,−1,φ,1−φ)n Ranc 8 [34,2,1] El grup E8 de Coxeter, [34,2,1], Plantilla:DCD, té 8 nodos espill, i la seua orde és de 696729600 (192x10!). E7 i E6, [33,2,1], Plantilla:DCD i [32,2,1], Plantilla:DCD es poden construir ignorant el primer espill o els dos primers espills, respectivament. E8=[34,2,1], Plantilla:DCD Reflexions Nom R0 R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 Grup Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Orde 2 2 2 2 2 2 2 2 Matriu $\left[\begin{array}{cccccccc}0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccccccc}3/4& -1/4& -1/4& -1/4& -1/4& -1/4& -1/4& -1/4\\ -1/4& 3/4& -1/4& -1/4& -1/4& -1/4& -1/4& -1/4\\ -1/4& -1/4& 3/4& -1/4& -1/4& -1/4& -1/4& -1/4\\ -1/4& -1/4& -1/4& 3/4& -1/4& -1/4& -1/4& -1/4\\ -1/4& -1/4& -1/4& -1/4& 3/4& -1/4& -1/4& -1/4\\ -1/4& -1/4& -1/4& -1/4& -1/4& 3/4& -1/4& -1/4\\ -1/4& -1/4& -1/4& -1/4& -1/4& -1/4& 3/4& -1/4\\ -1/4& -1/4& -1/4& -1/4& -1/4& -1/4& -1/4& 3/4\end{array}\right]$ (1,-1,0,0,0,0,0,0)n (0,1,-1,0,0,0,0,0)n (0,0,1,-1,0,0,0,0)n (0,0,0,1,-1,0,0,0)n (0,0,0,0,1,-1,0,0)n (0,0,0,0,0,1,-1,0)n (0,0,0,0,0,1,1,0)n (1,1,1,1,1,1,1,1)n Grup afí de ranc 2 Les matrius afins es representen agregant una fila i una columna adicionals, sent l'última fila zero llevat l'última entrada 1. L'última columna representa un vector de translació. [∞] El grup afí [∞], Plantilla:DCD, pot estar donada per dos matrius de reflexió, x=0 i x=1. [∞], Plantilla:DCD Reflexions Translació Nom R0 R1 S0,1 Grup Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Orde 2 2 ∞ Matriu $\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right]$ Hiperplano x=0 x=1 Grups afins de ranc 3 [4,4] El grup afí [4,4], Plantilla:DCD, (p4m), pot estar donat per tres matrius de reflexió, reflexions sobre l'eix x (i=0), una diagonal (x=i) i la reflexió afí sobre la llínea recta (x=1). [4,4]+ (Plantilla:DCD) (p4) és generat per S0,1 S1,2 i S0,2. [4+,4+] (Plantilla:DCD) (pgg) es genera per mig de la rotació doble S0,2 i una reflexió esgolada (transrreflexión) V0,1,2. [4+,4] (Plantilla:DCD) (p4g) és generat per S0,1 i R3. El grup [(4,4,2+)] (Plantilla:DCD) (cmm), es genera per mig de la rotació doble S1,3 i la reflexió R2. [4,4], Plantilla:DCD Reflexions Rotacions Esmonyides Nom R0 R1 R2 S0,1 S1,2 S0,2 V0,1,2 V0,2,1 Grup Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Orde 2 2 2 4 2 ∞ (2) Matriu $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 2\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -1& 0& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 2\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& -2\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 2\\ -1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ Hiperplano i=0 x=i x=1 [3,6] El grup afí [3,6], Plantilla:DCD, (p6m), pot estar donat per tres matrius de reflexió, reflexions en l'eix x (i=0), la llínea recta i=(Plantilla:Raïl/2)x, i la llínea recta vertical x=1. [3,6], Plantilla:DCD Reflexions Rotacions Esmonyides Nom R0 R1 R2 S0,1 S1,2 S0,2 V0,1,2 V0,2,1 Grup Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Orde 2 2 2 3 6 2 ∞ (2) Matrix $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc}-1/2& \sqrt{3}/2& 0\\ \sqrt{3}/2& 1/2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 2\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc}-1/2& \sqrt{3}/2& 0\\ -\sqrt{3}/2& -1/2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc}1/2& \sqrt{3}/2& -1\\ -\sqrt{3}/2& 1/2& \sqrt{3}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 2\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc}1/2& \sqrt{3}/2& -1\\ \sqrt{3}/2& -1/2& -\sqrt{3}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc}1/2& -\sqrt{3}/2& 2\\ -\sqrt{3}/2& -1/2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ Hiperplano i=0 i=(√3/2)x x=1 [3[3]] El grup afí [3[3]] es pot construir com un mig grup de Plantilla:DCD. R2 es reemplaça per R'2= R2×R1×R2, representat pel hiperplano: i+(√3/2)x=2. El domini fonamental és un triàngul equilátero en llongitut d'aresta 2. [3[3]], Plantilla:DCD Reflexions Rotacions Esmonyides Nom R0 R1 R'2= R2×R1×R2 S0,1 S1,2 S0,2 V0,1,2 V0,2,1 Grup Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Orde 2 2 2 3 ∞ (2) Matriu $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc}-1/2& \sqrt{3}/2& 0\\ \sqrt{3}/2& 1/2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc}-1/2& -\sqrt{3}/2& 3\\ -\sqrt{3}/2& 1/2& \sqrt{3}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc}-1/2& \sqrt{3}/2& 0\\ -\sqrt{3}/2& -1/2& 2\sqrt{3}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc}-1/2& -\sqrt{3}/2& 3\\ \sqrt{3}/2& -1/2& -\sqrt{3}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc}-1/2& \sqrt{3}/2& 0\\ \sqrt{3}/2& 1/2& -2\sqrt{3}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc}-1/2& -\sqrt{3}/2& 3\\ -\sqrt{3}/2& 1/2& -\sqrt{3}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ Hiperplano i=0 i=(√3/2)x i+(√3/2)x=2 Erro al crear miniatura: Domini fonamental de [4,3,4] Grups afins de ranc 4 [4,3,4] El grup afí és [4,3,4] (Plantilla:DCD), i pot estar donat per quatre matrius de reflexió. L'espill R0 es pot colocar en el pla z=0. L'espill R1 es pot colocar en el pla i=z. L'espill R2 es pot colocar en el pla x=i. L'espill R3 es pot colocar en el pla x=1. [4,3,4]+ (Plantilla:DCD) és generat per S0,1, S1,2 i S2,3. [4,3,4], Plantilla:DCD Reflexions Rotacions Esmonyides Eix helicoidal Nom R0 R1 R2 R3 S0,1 S1,2 S2,3 S0,2 S0,3 S1,3 T0,1,2 T1,2,3 O0,1,2,3 Grup Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Orde 2 2 2 2 4 3 4 2 6 ∞ (3) Matriu $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 2\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ -1& 0& 0& 2\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 2\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 2\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ -1& 0& 0& 2\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 1& 0& 0& -2\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ Hiperplano z=0 i=z x=i x=1 [[ 4,3,4]] El grup estés [[ 4,3,4]] duplica l'orde del grup, sumant una matriu de rotació doble T, en un eix fix a través dels punts (1,1/2,0) i (1/2,1/2,1/2). Els generadors són {R0,R1,T}. R2= T×R1×T i R3= T×R0×T. [[ 4,3,4]], Plantilla:DCD Rotació Reflexions Nom T R0 R1 R2= T×R1×T R3= T×R0×T Grup Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Orde 2 2 2 2 2 Matriu $\left[\begin{array}{cccc}0& 0& -1& 1\\ 0& -1& 0& 1\\ -1& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 2\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ Hiperplano Punt (1/2,1/2,1/2) Eix (-1,0,1) z=0 i=z x=i x=1 [4,31,1] Erro al crear miniatura: Domini fonamental de [4,31,1] El grup [4,31,1] es pot construir a partir de [4,3,4], calculant [4,3,4,1+], Plantilla:DCD, com a R'3=R3×R2×R3, en el nou R'3 com una image de R2 a través de R3. [4,31,1], Plantilla:DCD Reflexions Rotacions Nom R0 R1 R2 R'3 S0,1 S1,2 S1,3 S0,2 S0,3 S2,3 Grup Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Orde 2 2 2 2 3 3 3 2 Matriu $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& -1& 0& 2\\ -1& 0& 0& 2\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& -1& 0& 2\\ 0& 0& 1& 0\\ -1& 0& 0& 2\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& -1& 0& 2\\ -1& 0& 0& 2\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 2\\ 0& -1& 0& 2\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ Hiperplano z=0 i=z x=i x+i=2 [3[4]] Erro al crear miniatura: Domini fonamental de [3[4]] El grup [3[4]] es pot construir a partir de [4,3,4], eliminant el primer i l'últim espill, [1+,4,3,4,1+], Plantilla:DCD, per mig de R'1=R0×R1×R0 i R '3=R3×R2×R3. [3[4]] Plantilla:DCD Reflexions Rotacions Nom R'0 R1 R2 R'3 S0,1 S1,2 S1,3 S0,2 S0,3 S2,3 Grup Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD Orde 2 2 2 2 3 3 3 2 Matriu $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& -1& 0& 2\\ -1& 0& 0& 2\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& -1& 0& 2\\ 0& 0& 1& 0\\ -1& 0& 0& 2\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}0& -1& 0& 2\\ 0& 0& -1& 0\\ 1& 0& 0& -2\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 2\\ 0& -1& 0& 2\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ Hiperplano i=-z i=z x=i x+i=2 Referències Bibliografia H.S.M. Coxeter: Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Àsia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2] (Document 22) Coxeter, H.S.M.(1940).«Regular and Semi Regular Polytopes I».Math. Z..46: 380–407.doi:10.1007/bf01181449. (Document 23) Coxeter, H.S.M.(1985).«Regular and Semi-Regular Polytopes II».Math. Z..188(4): 559–591.doi:10.1007/bf01161657. (Document 24) Coxeter, H.S.M.(1988).«Regular and Semi-Regular Polytopes III».Math. Z..200: 3–45.doi:10.1007/bf01161745. (1980) Generators and Relations for Discrete Groups, New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9. Norman Johnson Uniform Polytopes, Manuscript (1991) N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. (1966) Norman W. Johnson and Àsia Ivic Weiss Quadratic Integers and Coxeter Groups Archivat el 26 de març de 2023 archivat en Wayback Machine. PDF Ca. J. Math. Vol. 51 (6), 1999 pp. 1307–1336 N. W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups [3] Conway, John Horton; Prim Friedrichs, Olaf; Huson, Daniel H.; Thurston, William P.(2001).«On three-dimensional space groups».Beiträge zur Algebra und Geometrie.42(2): 475–507.ISSN 0138-4821. John H. Conway and Derek A. Smith, On Quaternions and Octonions, 2003, ISBN 978-1-56881-134-5 The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 Ch.22 35 prime space groups, ch.25 184 composite space groups, ch.26 Higher still, 4D point groups