Simetria octaèdrica

Archiu:Full octahedral group; cycle graph.svg

Grafo cíclico
Els quatre cicles hexagonals tenen en comú l'inversió (el nuc negre en la part superior). Els hexàgons són simètrics, per lo que per eixemple 3 i 4 estan en el mateix cicle

La simetria octaèdrica^[1] (també denominada simetria octaedral o simetria de l'octaedre) és el conjunt de propietats reflexives d'aquelles figures de l'espai tridimensional que posseïxen les 24 simetria rotacionales (o que conserven l'orientació) i un orde de simetria de 48, incloses les transformacions que combinen una reflexió i una rotació, que són pròpies d'un octaedre regular.

El gaveta té el mateix conjunt de simetria, ya que és el poliedre poliedre conjugat (també denominat dual) de l'octaedre.

El grup de simetria que conserven l'orientació és S₄, el grup simètric o el grup de permutació de quatre objectes, ya que existix exactament una d'eixes simetria per a cada permutació de les quatre diagonals de la gaveta.

Detalls

La simetria octaèdrica quiral i completa (o aquiral) són les simetria de punts discrets (o equivalentement, simetria en l'esfera) en els grup de simetria més grans compatibles en la simetria traslacional. Estan entre els grups de punts cristalográficos del sistema cristalí cúbic.

Conjugats
Elements d'O		Inversions d'elements d'O
Identitat	0	Inversió	0'
3 &claves; rotació de 180° axial cuádruple	7, 16, 23	3 &claves; reflexió en un pla perpendicular a un eix cuádruple	7', 16', 23'
8 &claves; rotació de 120° axial triple	3, 4, 8, 11, 12, 15, 19, 20	8 &claves; rotorreflexión de 60°	3', 4', 8', 11', 12', 15', 19', 20'
6 &claves; rotació de 180° axial doble	1', 2', 5', 6', 14', 21'	6 &claves; reflexió doble en un pla perpendicular a un eix	1, 2, 5, 6, 14, 21
6 &claves; rotació de 90° axial cuádruple	9', 10', 13', 17', 18', 22'	6 &claves; rotoreflection by 90°	9, 10, 13, 17, 18, 22

Eixemples
Archiu:Cube permutation 0 0.svg $(0, 0) = 0$	Archiu:Cube permutation 3 0.svg $(3, 0) = 7$	Archiu:Cube permutation 0 3.svg $(0, 3) = 3$	Archiu:Cube permutation 7 1.svg $(7, 1) = 1^{'}$	Archiu:Cube permutation 4 5.svg $(4, 5) = 9^{'}$
Archiu:Cube permutation 7 0.svg $(7, 0) = 0^{'}$	$(4, 0) = 7^{'}$	$(7, 3) = 3^{'}$	$(0, 1) = 1$	$(3, 5) = 9$

Com grup hiperoctaédrico de dimensió 3, el grup octaèdric complet és el producte en corona $S_{2} ≀ S_{3} ≃ S_{2}^{3} ⋊ S_{3}$ ,
i una forma natural d'identificar els seus elements és com a parells $(m, n)$ en $m \in [0, 2^{3})$ i $n \in [0, 3!)$ .
Pero com també és el producte directe $S_{4} \times S_{2}$ , és possible simplement identificar els elements del subgrup tetraèdric T_d com $a \in [0, 4!)$ i les seues inversions com $a^{'}$ .

Per eixemple, l'identitat $(0, 0)$ es representa com $0$ i l'inversió $(7, 0)$ com $0^{'}$ .
$(3, 1)$ es representa com $6$ i $(4, 1)$ com $6^{'}$ .

Una rotorreflexión és una combinació de rotació i reflexió.

Ilustració de les rotorreflexiones
$7^{'} \circ 4 = 8^{'}$
$7^{'} \circ 22^{'} = 17$

Simetria octaèdrica quiral

O, 432, o [4,3]⁺ d'orde 24, són distintes notacions usades per a denominar a la simetria octaèdrica quiral o simetria octaèdrica rotacional. Este grup és com la simetria tetraèdrica T quiral, pero els eixos C₂ ara són eixos C₄, i ademés hi ha 6 eixos C₂, a través dels punts mijos de les arestes de la gaveta. T_d i O són isomorfos com a grups abstractes: abdós corresponen a S₄, el grup simètric de 4 objectes. T_d és l'unió de T i el conjunt obtingut en combinar cada element de O T en inversió. O és el grup de rotació del gaveta i del octaedre regular.

Proyecció ortogonal	Proyecció estereográfica
Doble	Cuádruple	Triple	Doble
	Archiu:Disdyakis dodecahedron stereographic caps block 4 gyrations.png	Archiu:Disdyakis dodecahedron stereographic caps block 5 gyrations.png	Archiu:Disdyakis dodecahedron stereographic caps block 6 gyrations.png
Simetria octaèdrica quiral

Eixos de gir
C₄	C₃	C₂
3	4	6

Simetria octaèdrica completa

O_h, *432, [4,3], o m3m d'orde 48, són formes utilisades per a denominar la simetria octaèdrica aquiral o simetria octaèdrica completa. Este grup té els mateixos eixos de rotació que O, pero en plans de simetria especular, que comprenen tant els plans de T_d com els de T_h. Este grup és isomorfo a S₄.C₂, i és el grup de simetria completa compartit pel gaveta i l'octaedre. És el grup hiperoctaédrico per a n = 3. Vegen-se també les isometría de la gaveta.

En els eixos cuádruples com a eixos de coordenades, un domini fonamental de O_h ve dau per 0 ≤ x ≤ i ≤ z. Un objecte en esta simetria es caracterisa per la part de l'objecte en el domini fonamental, per eixemple el gaveta ve dau per z = 1, i l'octaedre per x + i + z = 1 (o les desigualtats corresponents, per a obtindre el sòlit en lloc de la superfície). ax + by + cz = 1 dona un poliedre en 48 cares, el disdiaquis dodecaedre.

Les cares són 8 per 8 combinades en cares més grans para a = b = 0 (gaveta) i 6 per 6 para a = b = c (octaedre).

Les 9 llínees especulares de simetria octaèdrica completa es poden dividir en dos subgrups de 3 i 6 (dibuixats en púrpura i roig), que es traduïxen en dos subsimetrías ortogonals: D_2h i T_d. La simetria D_2h es pot duplicar a D_4h restaurant 2 plans de simetria especular des d'una de les tres orientacions.

Simetria octaèdrica i subgrups reflexius

Proyecció ortogràfica	Proyecció estereográfica
Proyecció ortogràfica	Cuádruple	Triple	Doble
O_h, [4,3], Plantilla:DCD, simetria octaèdrica completa (3+6 espills)
	Archiu:Disdyakis dodecahedron stereographic caps block 8 .png	Archiu:Disdyakis dodecahedron stereographic caps block 9 .png	Archiu:Disdyakis dodecahedron stereographic caps block 10 .png
T_d, [3,3]=[1⁺,4,3], Plantilla:DCD= Plantilla:DCD, subgrup tetraèdric (6 espills)
	Archiu:Tetrakis hexahedron stereographic caps block 13 .svg	Archiu:Tetrakis hexahedron stereographic caps block 14 .png	Archiu:Tetrakis hexahedron stereographic caps block 15 .png
C_3v, [3], Plantilla:DCD, subgrup diédrico (3 espills)
	Archiu:Trigonal hosohedron stereographic caps block 17 .png	Archiu:Trigonal hosohedron stereographic caps block 18 .png	Archiu:Trigonal hosohedron stereographic caps block 19 .png

Proyecció ortogràfica	Proyecció estereográfica
Proyecció ortogràfica	Cuádruple	Triple	Doble
D_4h, [4,2], Plantilla:DCD subgrup diédrico (1+2+2 espills)
	Archiu:Octagonal bipyramidal stereographic caps block 21 .png	Archiu:Octagonal bipyramidal stereographic caps block 22 .png	Archiu:Octagonal bipyramidal stereographic caps block 23 .png
D_2h, [2,2]=[4,3*], Plantilla:DCD= subgrup diédrico (1+1+1 espills)
	Archiu:Octahedron stereographic caps block 25 .png	Archiu:Octahedron stereographic caps block 26 .png	Archiu:Octahedron stereographic caps block 27 .png
C_4v, [4], Plantilla:DCD, subgrup diédrico (2+2 espills)
	Archiu:Tetragonal hosohedron stereographic caps block 29 .png	Archiu:Tetragonal hosohedron stereographic caps block 30 .png	Archiu:Tetragonal hosohedron stereographic caps block 31 .png

Matrius de rotació

Prenga's el conjunt de totes les matrius de permutació d'orde 3×3 de la matriu identitat, i assigne's un signe + o − a cada u dels tres números 1. Existixen $3! = 6$ permutació i $2^{3} = 8$ combinacions de signes per a un total de 48 matrius, obtenint-se el grup octaèdric complet. 24 d'estes matrius tenen un determinant de +1; estes són les matrius de rotació del grup octaèdric quiral. Les atres 24 matrius tenen un determinant de −1 i corresponen a una reflexió o inversió.

Es necessiten tres matisos generadors de reflexió per a la simetria octaèdrica, que representen els tres plans de simetria especular d'un diagrama de Coxeter-Dynkin. El producte de les reflexions produïx 3 generadors rotacionales.

[4,3], Plantilla:DCD
	Reflexions			Rotacions			Rotorreflexiones
Generadors	R₀	R₁	R₂	R₀R₁	R₁R₂	R₀R₂	R₀R₁R₂
Grup	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD
Orde	2	2	2	4	3	2	6
Matriu	$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}]$	$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}]$	$[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$	$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \end{matrix}]$	$[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}]$	$[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}]$	$[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ - 1 & 0 & 0 \end{matrix}]$

Subgrups de simetria octaèdrica completa

Schoe.	Coxeter		Orb.	H-M	Estructura	Cíc.	Orde	Índex
O_h	[4,3]	Plantilla:DCD	*432	mPlantilla:Overlinem	S₄×S₂		48	1
T_d	[3,3]	Plantilla:DCD	*332	Plantilla:Overline3m	S₄	Archiu:Subgroup of Oh; caps block 45 green orange; cycle graph.svg	24	2
D_4h	[2,4]	Plantilla:DCD	*224	4/mmm	D₂×D₈	Archiu:GroupDiagramMiniC2 caps block 48 .svg	16	3
D_2h	[2,2]	Plantilla:DCD	*222	mmm	D₂³=D₂×D₄		8	6
C_4v	[4]	Plantilla:DCD	*44	4mm	D₈	Archiu:GroupDiagramMiniD8.svg	8	6
C_3v	[3]	Plantilla:DCD	*33	3m	D₆=S₃	Archiu:GroupDiagramMiniD6.svg	6	8
C_2v	[2]	Plantilla:DCD	*22	mm²	D₂²=D₄	Archiu:GroupDiagramMiniD4.svg	4	12
C_s=C_1v	[ ]	Plantilla:DCD	*	Plantilla:Overline or m	D₂	Archiu:GroupDiagramMiniC2.svg	2	24
T_h	[3⁺,4]	Plantilla:DCD	3*2	mPlantilla:Overline	A₄×S₂	Archiu:Subgroup of Oh; A4xC2; cycle graph.svg	24	2
C_4h	[4⁺,2]	Plantilla:DCD	4*	4/m	Z₄×D₂	Archiu:GroupDiagramMiniC2 caps block 63 .svg	8	6
D_3d	[2⁺,6]	Plantilla:DCD	2*3	Plantilla:Overlinem	D₁₂=Z₂×D₆	Archiu:GroupDiagramMiniD12.svg	12	4
D_2d	[2⁺,4]	Plantilla:DCD	2*2	Plantilla:Overline2m	D₈	Archiu:GroupDiagramMiniD8.svg	8	6
C_2h= D_1d	[2⁺,2]	Plantilla:DCD	2*	2/m	Z₂×D₂	Archiu:GroupDiagramMiniD4.svg	4	12
S₆	[2⁺,6⁺]	Plantilla:DCD	3×	Plantilla:Overline	Z₆=Z₂×Z₃	Archiu:GroupDiagramMiniC6.svg	6	8
S₄	[2⁺,4⁺]	Plantilla:DCD	2×	Plantilla:Overline	Z₄	Archiu:GroupDiagramMiniC4.svg	4	12
S₂	[2⁺,2⁺]	Plantilla:DCD	×	Plantilla:Overline	S₂	Archiu:GroupDiagramMiniC2.svg	2	24
O	[4,3]⁺	Plantilla:DCD	432	432	S₄	Archiu:Subgroup of Oh; caps block 78 blue red; cycle graph.svg	24	2
T	[3,3]⁺	Plantilla:DCD	332	23	A₄	Archiu:GroupDiagramMiniA4.svg	12	4
D₄	[2,4]⁺	Plantilla:DCD	224	422	D₈	Archiu:GroupDiagramMiniD8.svg	8	6
D₃	[2,3]⁺	Plantilla:DCD	223	322	D₆=S₃	Archiu:GroupDiagramMiniD6.svg	6	8
D₂	[2,2]⁺	Plantilla:DCD	222	222	D₄=Z₂²	Archiu:GroupDiagramMiniD4.svg	4	12
C₄	[4]⁺	Plantilla:DCD	44	4	Z₄	Archiu:GroupDiagramMiniC4.svg	4	12
C₃	[3]⁺	Plantilla:DCD	33	3	Z₃=A₃	Archiu:GroupDiagramMiniC3.svg	3	16
C₂	[2]⁺	Plantilla:DCD	22	2	Z₂	Archiu:GroupDiagramMiniC2.svg	2	24
C₁	[ ]⁺	Plantilla:DCD	11	1	Z₁	Archiu:GroupDiagramMiniC1.svg	1	48

Archiu:Octahedral symmetry tree conway.png

Subgrups octaèdrics en notació de Coxeter^[2]

Isometría de la gaveta

Archiu:48 элементов симметрии куба.gif

Els 48 elements de simetria d'una gaveta

La gaveta té 48 isometría (elements de simetria), formant el grup de simetria O_h, isomorfo al grup S₄ × Z₂. Es poden classificar de la següent manera:

O (l'identitat i 23 rotacions pròpies) en els següents conjugats (entre paréntesis es donen les permutació de les diagonals del sòlit i la representació per mig del cuaternión unitat):
Identitat (identitat; 1)
Rotació sobre un eix des del centre d'una cara al centre de la cara oposta en un àngul de 90°: 3 eixos, 2 per eix, junts 6 ((1 2 3 4), etc.; ((1 ± i&#;)/Plantilla:Raïl, etc.)
Ídem per un àngul de 180°: 3 eixos, 1 per eix, junts 3 ((1 2) (3 4), etc.; i, j, k)
Rotació sobre un eix des del centre d'una aresta fins al centre de l'aresta oposta en un àngul de 180°: 6 eixos, 1 per eix, junts 6 ((1 2), etc.; ((i' ' ± j&#;)/Plantilla:Raïl, etc.)
Rotació sobre la diagonal del sòlit en un àngul de 120°: 4 eixos, 2 per eix, junts 8 ((1 2 3), etc.; (1 ± i ± ' 'j ± k)/2)

Lo mateix en inversió (x s'assigna a −x) (també 24 isometría). Tinga's en conte que la rotació en un àngul de 180° al voltant d'un eix combinat en l'inversió és solament un reflex en el pla perpendicular. La combinació d'inversió i rotació al voltant de la diagonal del cos en un àngul de 120° és una rotació al voltant de la diagonal del cos en un àngul de 60°, combinada en la reflexió en el pla perpendicular (la rotació en sí mateixa no es correspon en la gaveta; l'intersecció del pla de reflexió en la gaveta és un hexàgon regular).

Una isometría de la gaveta es pot identificar de vàries maneres: Per les cares, tres cares adjacents donades (per eixemple, 1, 2 i 3 que s'assignen en un dau) Per l'image d'una gaveta en una marca no simètrica en una cara: la cara en la marca, si és normal o especular, i l'orientació Per una permutació de les quatre diagonals del cos (cada una de les 24 permutació és possible), combinada en una clau per a determinar l'inversió de la gaveta, o no

Per a gavetes en colors o marques (com les que tenen els daus), el grup de simetria és un subgrup de O_h.

Eixemples:

C_4v, [4], (*422): si una cara té un color diferent (o dos cares opostes tenen colors diferents entre sí i de les atres quatre), la gaveta té 8 isometría, com un quadrat té en 2D.
D_2h, [2,2], (*222): si les cares opostes tenen els mateixos colors, diferents per a cada conjunt de dos, la gaveta té 8 isometría, com un cuboide.
D_4h, [4,2], (*422): si dos cares opostes tenen el mateix color, i totes les demés cares tenen un color diferent, la gaveta té 16 isometría, com un prisma de base quadrada.
C_2v, [2], (*22):
Si dos cares adjacents tenen el mateix color i totes les demés cares tenen un color diferent, la gaveta té 4 isometría.
Si tres cares, de les quals dos opostes entre sí, són d'un color i les atres tres d'un atre color, la gaveta té 4 isometría.
Si dos cares opostes tenen el mateix color, i atres dos cares opostes també, i les dos últimes tenen colors diferents, la gaveta té 4 isometría, com un full de paper en blanc en una forma en simetria especular.
C_s, [ ], (*):
Si dos cares adjacents tenen colors diferents entre sí, i les atres quatre tenen un tercer color, la gaveta té 2 isometría.
Si dos cares opostes tenen el mateix color i totes les demés cares tenen colors diferents, la gaveta té 2 isometría, com un full asimètric de paper en blanc.

C_3v, [3], (*33): si tres cares, de les quals cap és oposta, són d'un color i les atres tres d'un atre color, la gaveta té 6 isometría.

Per a alguns subgrups més grans, una gaveta en eixe grup com a grup de simetria no és possible en sol colorear cares sanceres. Es té que dibuixar algun patró en les cares.

Eixemples:

D_2d, [2⁺,4], (2*2): si una cara té un segment recte que dividix la cara en dos rectànguls iguals, i l'oposta ho té en direcció perpendicular, la gaveta té 8 isometría. Llavors existix un pla de simetria i doble simetria rotacional en un eix que forma un àngul de 45° en eixe pla i, com a resultat, també hi ha un atre pla de simetria perpendicular al primer, i un atre eix de doble simetria rotacional perpendicular a la primera.
T_h, [3⁺,4], (3*2): si cada cara té un segment de llínea que dividix la cara en dos rectànguls iguals, de modo que els segments de llínea de les cares adjacents no es troben en l'aresta d'una cara, la gaveta té 24 isometría: les permutació pares de les diagonals del cos i les mateixes combinades en inversió (x s'assigna a −x).
T_d, [3,3], (*332): si la gaveta consta de huit gavetes més menuts, quatre blancs i quatre negres, colocats alternativament en les tres direccions estàndar, la gaveta té de nou 24 isometría: esta volta les permutació pares de les diagonals del sòlit i els inversos de les "atres" rotacions pròpies.
T, [3,3]⁺, (332): si cada cara té el mateix patró en doble simetria rotacional, digam la lletra S, tal que en totes les vores la part superior d'una S es troba en un costat de l'atra S, la gaveta té 12 isometría: les permutació pares de les diagonals del cos.

La simetria completa de la gaveta, O_h, [4,3], (*432), es conserva si i solament si totes les cares tenen el mateix patró de manera que es conserva la simetria completa del quadrat, en una simetria per al grup quadrat, Dih₄, [4], d'orde 8.

La simetria completa de la gaveta baixa rotacions pròpies, O, [4,3]⁺, (432), es conserva si i solament si totes les cares tenen el mateix patró en simetria rotacional cuádruple, Z₄, [4]⁺.

Vore també

Referències

↑ Philip H. Butler (2012). Point Group Symmetry Applications: Methods and Tables, Springer Science & Business Media, pp. 205 de 576. ISBN 9781461331414.
↑ John Conway, The Symmetries of Things, Fig 20.8, p280

Bibliografia

Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), p. 295
The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Plantilla:Isbn
Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Àsia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, Plantilla:Isbn [1]
N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.5 Spherical Coxeter groups

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Simetría octaédrica» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[PHB-1] Philip H. Butler (2012). Point Group Symmetry Applications: Methods and Tables, Springer Science & Business Media, pp. 205 de 576. ISBN 9781461331414.

[2] John Conway, The Symmetries of Things, Fig 20.8, p280

[1]

[2]