Grups de punts en tres dimensions

En geometria, un grup puntual en tres dimensions és un grup d'isometría tridimensional que deixa fix l'orige, o en conseqüència, un grup d'isometría d'una esfera. És un subgrup del grup ortogonal O(3), el grup de totes les isometrías que deixen fix l'orige, o correspondientemente el grup de matrius ortogonals. O(3) en sí mateixa és un subgrup del grup euclídeo I(3) de totes les isometría.

Els grups de simetria d'objectes geomètrics són grups d'isometría. En conseqüència, l'anàlisis de grups d'isometría és l'anàlisis de possibles simetrias. Totes les isometría d'un objecte 3D acotat (finito) tenen un o més punts fixos comuns. Se seguix la convenció habitual elegint l'orige com un d'ells.

El grup de simetria d'un objecte també es denomina a voltes el seu grup de simetria total, a diferència del seu grup de simetria propi, l'intersecció del seu grup de simetria total en I⁺(3), que consta de tots les isometría directes , és dir, isometría que conserven l'orientació. Per a un objecte acotat, el grup de simetria propi es denomina grup de rotació. És l'intersecció del seu grup de simetria total en SO(3), el grup de rotació total de l'espai 3D. El grup de rotació d'un objecte delimitat és igual al seu grup de simetria total si i solament si l'objecte és quiral.

Els grups de punts que són generats purament per un conjunt finito de plans de reflexió que passen pel mateix punt són els grups de Coxeter, representats per la notació de Coxeter.

Els grups de punts en tres dimensions s'usen molt en química, especialment per a descriure les simetria de les molèculas i dels orbitales moleculars que formen els enllaços covalente, i en este context també se'ls crida grups de punts moleculars.

Isometría tridimensionals que deixen l'orige fix

Les isometría sobre un espai tridimensional R³ que deixen fix l'orige, formant el grup O(3), es poden categorizar de la següent manera:

• SO(3):
• Identitat
• Rotació al voltant d'un eix que passa per l'orige en un àngul no igual a 180°
• Rotació al voltant d'un eix que passa per l'orige en un àngul de 180°

Lo mateix en inversió (x s'assigna a −x), és dir, respectivament:

• • Inversió
  • Rotació al voltant d'un eix per un àngul no igual a 180°, combinat en reflexió en el pla a través de l'orige perpendicular a l'eix
  • Reflexió en un pla a través de l'orige

El 4º i 5º enunciats en particular, i en un sentit més ampli també el 6º, es denominen rotacions impròpies.

Vore també el grup de les translacions, de característiques similars.

Conjugació

En comparar el tipo de simetria de dos objectes, l'orige s'elegix per a cada u per separat, és dir, no és necessari que tinguen el mateix centre. Ademés, dos objectes es consideren del mateix tipo de simetria si els seus grups de simetria són subgrups conjugats d'O(3) (dos subgrups H₁, H₂ d'un grup G són conjugats, si existix g ∈ G tal que H₁ = g⁻¹H₂g).

Per eixemple, dos objectes tridimensionals posseïxen el mateix tipo de simetria si es complix que: Si abdós tenen simetria especular, pero sobre un pla especular diferent Si abdós tenen simetria rotacional triple, pero sobre un eix diferent

En el cas de múltiples plans especulares i/o eixos de rotació, dos grups de simetria són del mateix tipo de simetria si i solament si hi ha una rotació que permet aplicar tota l'estructura del primer grup de simetria en la del segon. De fet, hi haurà més d'una rotació d'este tipo, pero no un número infinit com quan solament hi ha un pla especular o un eix. La definició de conjugació també permetria obtindre una image especular de l'estructura, pero açò no és necessari, ya que l'estructura mateixa és aquiral. Per eixemple, si un grup de simetria conté un eix de rotació triple, conté rotacions en dos direccions opostes (és dir, l'estructura és quiral per a 11 parells de grups espacials i en un eix helicoidal).