Anex:Grups finitos d'orde baix

Este artícul mostra una llista matemàtica dels grups finitos d'orde baix, sent açò en una cardinalidad de fins a 16 elements, classificats per isomorfisme de grups.

Esta llista pot utilisar-se para, en treballar en grups d'orde no molt alt, determinar de quins grups es tracta a partir de les seues propietats i subgrups.

Terminologia

S'usarà, com és habitual, el símbol ( $≅$ ) per a denotar isomorfisme de grups. Ademés s'usaran els símbols:

$C_{n}$ per al grup cíclico d'orde n (a sovint s'utilisen les notacions $ℤ_{n}$ , $Z_{n}$ o, expressat com a cocient, $ℤ / n ℤ$ . Generalment estes notacions s'usen més per a parlar dels anells de sancers mòdul n [o, en ocasions, dels p-ádicos]; es favorix per tant l'us de $C_{n}$ per a que no hi haja ambigüitat).
$D_{n}$ per al grup diédrico d'orde 2n (a voltes s'utilisa la notació ${Dih}_{n}$ o $D_{2 n}$ , sent esta última cada volta menys utilisada).
$S_{n}$ per al grup simètric de grau n, el grup de les $n!$ permutació d'un conjunt de $n$ elements, per lo que $S_{n}$ té orde $n!$ .
$A_{n}$ per al grup alternante de grau n, el grup de les $n! / 2$ permutació pares de $n$ elements, per lo que $A_{n}$ té orde $n! / 2$ .
${Dic}_{n}$ per al grup dicíclico d'orde 4n.

La notació $G \times H$ indica el producte directe dels grups $G$ i $H$ , mentres que la notació $G^{n}$ indica el producte directe d'un grup conseguixc mateix $n$ voltes. La notació $G ⋊ H$ indica el producte semidirecto a on $H$ actua sobre $G$ . Si l'acció particular de $H$ sobre $G$ s'omet, és que totes les accions no trivials possibles donen el mateix grup producte llevat isomorfisme.

Se separen en dos taules per a major legibilidad els grups abelianos dels no abelianos. S'indiquen els grups cíclicos, diédricos, simètrics, alternantes i dicíclicos. S'indiquen també els grups simples, encara que per als grups d'orde $n < 60$ els grups simples són exactament els grups cíclicos $C_{p}$ en $p$ primer. Este patró es trenca en aplegar a $n = 60$ , puix el grup $A_{5}$ és simple pero no cíclico.

Es presenta en cada grup un grafo que representa els seus cicles. En este, l'element neutre està representat per un círcul negre. L'orde més chicotet per al qual el grafo no representa unívocamente un grup és precisament l'orde 16.

En la columna de subgrups només es conten els subgrups propis; és dir, tots menys el grup trivial i el propi grup. En els casos a on el grup posseïx múltiples subgrups isomorfos, el número d'aparicions s'indica entre paréntesis.

Llista de grups abelianos menuts

Els grups abelianos finitos es classifiquen fàcilment: són grups cíclicos o productes directes d'estos. El teorema chinenca del restant nos pot ajudar a trobar els isomorfismes en estos productes directes. Els grups abelianos finitamente generats també es poden classificar. Vore més informació en l'artícul grup abeliano.

Orde	Grup	Subgrups propis	Propietats	Grafo dels cicles
1	$C_{1} ≅ S_{1} ≅ A_{2}$	―	Se li coneix com grup trivial. És representat també com ${e}$ , ${0}$ en notació aditiva i ${1}$ en notació multiplicativa. És cíclico, simètric, alternante i elemental.	Archiu:GroupDiagramMiniC1.svg
2	$C_{2} ≅ D_{1} ≅ S_{2}$	―	És el grup no trivial més menut. És simple, cíclico, diédrico, simètric i elemental.	Archiu:GroupDiagramMiniC2.svg
3	$C_{3} ≅ A_{3}$	―	Simple, cíclico, alternante i elemental.	Archiu:GroupDiagramMiniC3.svg
4	$C_{4}$	$C_{2}$	Cíclico.	Archiu:GroupDiagramMiniC4.svg
4	$C_{2} \times C_{2} ≅ K_{4}$	$C_{2}$ (3)	És el grup acíclic més menut, se li coneix pel nom de grup de Klein. És elemental.	Archiu:GroupDiagramMiniD4.svg
5	$C_{5}$	―	Simple, cíclico i elemental.	Archiu:GroupDiagramMiniC5.svg
6	$C_{6} ≅ C_{2} \times C_{3}$	$C_{2}$ , $C_{3}$	Cíclico.	Archiu:GroupDiagramMiniC6.svg
7	$C_{7}$	―	Simple, cíclico i elemental.	Archiu:GroupDiagramMiniC7.svg
8	$C_{8}$	$C_{2}$ , $C_{4}$	Cíclico.	Archiu:GroupDiagramMiniC8.svg
	$C_{2} \times C_{4}$	$C_{2}^{2}$ , $C_{4}$ (2), $C_{2}$ (3)	―	Archiu:GroupDiagramMiniC2 caps block 0 .svg
	$C_{2}^{3}$	$C_{2}^{2}$ (7) , $C_{2}$ (7)	Els elements, llevat el neutre, es corresponen en els punts en el pla de Fano, els subgrups $C_{2}^{2}$ a les llínees. És elemental.	Archiu:GroupDiagramMiniC2x3.svg
9	$C_{9}$	$C_{3}$	Cíclico.	Archiu:GroupDiagramMiniC9.svg
9	$C_{3}^{2}$	$C_{3}$ (4)	Elemental.	Archiu:GroupDiagramMiniC3x2.svg
10	$C_{10} ≅ C_{2} \times C_{5}$	$C_{2}$ , $C_{5}$	Cíclico.	Archiu:GroupDiagramMiniC10.svg
11	$C_{11}$	―	Simple, cíclico i elemental.	Archiu:GroupDiagramMiniC11.svg
12	$C_{12} ≅ C_{3} \times C_{4}$	$C_{2}$ , $C_{3}$ , $C_{4}$ , $C_{6}$	Cíclico.	Archiu:GroupDiagramMiniC12.svg
12	$C_{2} \times C_{6} ≅ C_{2}^{2} \times C_{3}$	$C_{6}$ (3), $C_{3}$ , $C_{2}$ (3), $C_{2}^{2}$	―	Archiu:GroupDiagramMiniC2 caps block 1 .svg
13	$C_{13}$	―	Simple, cíclico i elemental.	Archiu:GroupDiagramMiniC13.svg
14	$C_{14} ≅ C_{2} \times C_{7}$	$C_{2}$ , $C_{7}$	Cíclico.	Archiu:GroupDiagramMiniC14.svg
15	$C_{15} ≅ C_{3} \times C_{5}$	$C_{3}$ , $C_{5}$	Cíclico.	Archiu:GroupDiagramMiniC15.svg
16	$C_{16}$	$C_{2}$ , $C_{4}$ , $C_{8}$	Cíclico.	Archiu:GroupDiagramMiniC16.svg
	$C_{2}^{4} ≅ K_{4}^{2}$	$C_{2}$ (15) , $C_{2}^{2}$ (35) , $C_{2}^{3}$ (15)	―	Archiu:GroupDiagramMiniC2x4.svg
	$C_{2}^{2} \times C_{4}$	$C_{2}$ (7) , $C_{4}$ (4) , $C_{2}^{2}$ (7) , $C_{2}^{3}$ , $C_{2} \times C_{4}$ (6)	―	Archiu:GroupDiagramMiniC2x2 caps block 2 .svg
	$C_{2} \times C_{8}$	$C_{2}$ (3) , $C_{4}$ (2) , $C_{2}^{2}$ , $C_{8}$ (2) , $C_{2} \times C_{4}$	―	Archiu:GroupDiagramMiniC2 caps block 3 .svg
	$C_{4}^{2}$	$C_{2}$ (3), $C_{4}$ (6), $C_{2}^{2}$ , $C_{2} \times C_{4}$ (3)	Elemental.	Archiu:GroupDiagramMiniC4x2.svg

Llista de grups no abelianos menuts

Orde	Grup	Subgrups propis	Propietats	Grafo dels cicles
1	―	―	―	―
2	―	―	―	―
3	―	―	―	―
4	―	―	―	―
5	―	―	―	―
6	$D_{3} ≅ S_{3}$	Z₃ , Z₂ (3)	El grup no abeliano més menut	Archiu:GroupDiagramMiniD6.svg
7	―	―	―	―
8	$D_{4}$	Z₄, Z₂² (2) , Z₂ (5)		Archiu:GroupDiagramMiniD8.svg
8	$Q_{8} ≅ {Dic}_{2}$	Z₄ (3), Z₂	Grup de cuatrnions. El més chicotet grup Hamiltoniano; el grup més chicotet que demostra que tots els subgrups poden ser normals sense que el grup siga abeliano;el grup G més chicotet que demostra que per a un subgrup normal H el grup cocient G / H no té que ser isomorfo a un subgrup de G	Archiu:GroupDiagramMiniQ8.svg
9	―	―	―	―
10	$D_{5}$	Z₅ , Z₂ (5)		Archiu:GroupDiagramMiniD10.svg
11	―	―	―	―
12	$D_{6} ≅ C_{2} \times D_{3}$	Z₆ , Dih₃ (2) , Z₂² (3) , Z₃ , Z₂ (7)		Archiu:GroupDiagramMiniD12.svg
	$A_{4}$	Z₂² , Z₃ (4) , Z₂ (3)	Grup més chicotet que demostra que un grup no necessita tindre un subgrup de cada orde que dividixca a l'orde del grup, ya que no té cap subgrup d'orde 6 (Vore el teorema de Lagrange i els teoremes de Sylow)	Archiu:GroupDiagramMiniA4.svg
	${Dic}_{3} ≅ Q_{12} ≅ C_{3} ⋊ C_{4}$	Z₂, Z₃, Z₄ (3), Z₆		Archiu:GroupDiagramMiniX12.svg
13	―	―	―	―
14	$D_{7}$	Z₇, Z₂ (7)		Archiu:GroupDiagramMiniD14.svg
15	―	―	―	―
16^[1]	$D_{8}$	Z₈, Dih₄ (2), Z₂² (4), Z₄, Z₂ (9)		Archiu:GroupDiagramMiniD16.svg
	$C_{2} \times D_{4}$	Dih₄ (2), Z₄ &claves; Z₂, Z₂³ (2), Z₂² (11), Z₄ (2), Z₂ (11)		Archiu:GroupDiagramMiniC2 caps block 5 .svg
	$Q_{16} ≅ {Dic}_{4}$			Archiu:GroupDiagramMiniQ16.svg
	$C_{2} \times Q_{8}$		Hamiltoniano	Archiu:GroupDiagramMiniC2 caps block 6 .svg
	El grup quasidiédrico d'orde 16		A voltes és denotat per $Q D_{16}$	Archiu:GroupDiagramMiniQ caps block 7 .svg
	$C_{8} ⋊ C_{2}$		A voltes se li coneix com a grup modular o grup d'Iwasawa d'orde 16, encara que no és un bon nom, puix no és l'únic grup modular d'orde 16.	Archiu:GroupDiagramMiniC2 caps block 8 .svg
	$C_{4} ⋊ C_{4}$			Archiu:GroupDiagramMinix3.svg
	$(C_{2} \times C_{4}) ⋊ C_{2}$			Archiu:GroupDiagramMiniC2x2 caps block 9 .svg
	$C_{2}^{2} ⋊ C_{4}$			Archiu:GroupDiagramMiniG44.svg

Biblioteca de grups menuts

Els sistemes computacionals algebraics de teoria de grups GAP i Magma contenen la «Biblioteca de grups menuts» (Small Groups Library) que proporciona accés a descripcions de grups d'orde baix, llistant-se els grups llevat isomorfisme. Actualment esta llibreria conté els següents grups: ^[2]

Tots els grups d'orde fins a 2000, llevat els de orde 1024; un total de 423 164 062 grups. Els de orde 1024 no apareixen, puix només contant els 2-grups d'orde 1024 hi ha, llevat isomorfisme, 49 487 365 422.
Els de orde lliure de gavetes fins al 50 000. Són 395 703 grups.
Els de un orde lliure de quadrats.
Els de orde $p^{n}$ per a $n \leq 6$ i $p$ un número primo.
Els de orde $p^{7}$ per a $p \in {3, 5, 7, 11}$ . Són 907 489 grups.
Els de orde $p q^{n}$ a on $q^{n}$ dividix a $2^{8}$ , $3^{6}$ , $5^{5}$ o $7^{4}$ i el número $p$ és un cosí arbitrari diferent de $q$ .
Aquells l'orde dels quals té com a màxim tres factors primers.

Conté descripcions explícites dels grups disponibles en format llegible per ordenador.

Vore també

Referències

↑ Associació Matemàtica Americana (ed.): «The Groups of Order Sixteen Made Easy» (en anglés) (pdf). American Mathematical Monthly.
↑ «The Small Groups library» (en anglés). Consultat el 30 d'octubre de 2011.

Enllaços externs

«Particular groups» (en anglés). groupprops.subwiki.org. Consultat el 30 d'octubre de 2011.

«The Small Groups library» (en anglés). Consultat el 30 d'octubre de 2011.

Hall, Jr (1964). Macmillan (ed.). The Groups of Order 2ⁿ (n &li; 6) (en anglés). «Un catàlec exhaustiu dels 340 grups en orde divisor de 64 en taules detallades de la definició de relacions, constants, i presentacions de retícul de cada grup; en el pròlec se cita "D'un valor durador per als interessats en els grups finitos".»

Este artícul conté una traducció derivada de «Llista de grups petits» de Wikipedia en català, concretament de esta versió, publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Associació Matemàtica Americana (ed.): «The Groups of Order Sixteen Made Easy» (en anglés) (pdf). American Mathematical Monthly.

[2] «The Small Groups library» (en anglés). Consultat el 30 d'octubre de 2011.

[1]

[2]