Anex:Menuts quadrats llatins i cuasigrupos

A continuació s'exponen algunes consideracions sobre quadrats llatins i cuasigrupos d'orde baix. L'orde pot ser la dimensió del costat del quadrat, en els quadrats llatins o el número d'elements del cuasigrupo.

Orde 1

D'orde 1 hi ha un quadrat llatí la notació del qual és a i el cuasigrupo posseïx com a conjunt subjacent {a}; És un grup trivial.

Orde 2

D'orde 2 existixen dos quadrats llatins en la notació de: a i b

  ab   
  ba ba   ab

Solament diferixen en les permutació dels elements a i b, aixina com la seua designació. Són una mateixa classe isotòpica.

Cada u pot ser representat per mig d'una taula de Cayley multiplicativa la capçalera de la qual de fila o columna pot ser "ab" o "ba" i en les permutació permeses. Resultats equivalents als grups Z₂ en a=i i en b=i.

Orde 3

Hi ha 12 quadrats llatins d'orde 3 en la notació de: a, b i c; que pot simplificar-se a dos tipos en colocar la permutació abc en la fila superior.

  abc   abc
  bca   cab
  cab   bca

diferenciant-se per l'orde de les files, en conseqüència, és una sola classe d'isotopía.

Cada u dels 12 quadrats pot ser representat per mig d'una taula de Cayley multiplicativa la capçalera de la qual de fila o columna siga encapçalada en abc; les atres ordenacions de les files i columnes dels encapçalaments donen atres notacions del mateix cuasigrupo. Es distinguixen tres grups: el grup de Z₃ en un a = i, b = i i c = i. Reasignado les lletres als atres dos elements (els que no són el neutre) nos genera automorfismes que són grups.

Orde 4

Hi ha 576 quadrats llatins d'orde 4 en la notació de: a, b, c i d; reduint-se a 24, si coloquem la permutació abcd sempre en la fila superior, que restringint a una posició fixa en la primera columna genera solament 4 quadrats llatins. El primer quadrat és d'una classe isotòpica i els restants tres, d'una atra classe.

 abcd  abcd  abcd  abcd
 badc  badc  bcda  bdac
 cdab  cdba  cdab  cadb
 dcba  dcab  dabc  dcba

Dels 576 quadrats que pot ser representat per mig d'una taula de Cayley multiplicativa: 144 són de la primera classe isotòpica i 432 són de la segona.

Dels 576 quadrats llatins, 288 són solucions de Sudoku (Shi Doku) de dimensió 2. Restringint a la posició fixa de la fila 1 i columna 1 la permutació abcd, queda reduït a 2 tipos. [1]. Que en abcd en la

Orde 5

Hi ha 161.280 quadrats llatins d'orde 5 en la notació de: a, b, c, d i i. Dels que hi ha 56 quadrats llatins reduïts, i el seu quíntuple componen el número total de bucles (cuasigrupo en element neutre). D'entre ells, 30 són grups que componen totes les versions del grup cíclico d'orde 5, i es diferencien entre sí per la diferent designació de l'element neutre d'entre els cinc elements existents, aixina com per l'elecció del quadrat i la gaveta d'un element donat, exceptuant al neutre. El número 30 s'origina per l'orde del grup automórfico el valor del qual es calcula dividint 5! (5x4x3x2) per 4, simplificant-se al producte 5x3x2 = 30, deduible de la fòrmula del número de permutació circulares possibles P₅ , sent 5 l'orde i 4 l'orde n-1 ésimo en deduir els monoides existents.

Un eixemple de quadrat llatí reduït és:

$\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 4& 1& 5& 3\\ 3& 5& 4& 2& 1\\ 4& 1& 5& 3& 2\\ 5& 3& 2& 1& 4\end{array}\right].$

Vore també

Anex:Grups finitos d'orde baix