Teorema de Lagrange (teoria de grups)

En teoria de grups, la teorema de Lagrange és un resultat important que relaciona l'orde d'un grup finito $G$ (el seu número d'elements) en l'orde de qualsevol dels seus subgrups. La teorema afirma que si $G$ és un grup finito i $H$ és un subgrup de $G$, llavors

(1) $|G|=|H|[G:H],$

a on $|G|$ i $|H|$ són l'orde del grup $G$ i l'orde del subgrup $H$, mentres que $[G:H]$ és l'índex de $H$ en $G$.

El recíproc de la teorema de Lagrange, en general, no es complix, puix existixen grups d'orde $m$ que poden no tindre un subgrup d'orde $n$ a pesar de que $n\mid m$. Per eixemple, el grup simètric $A_4$ té orde 12 i no té cap subgrup d'orde 6. En general, els grups no resolubles són eixemples en els que el recíproc de la teorema de Lagrange no es complix. En canvi, el recíproc de la teorema de Lagrange és sempre cert per al cas de grups abelianos, i per tant ho és també para grups cíclicos.

La teorema deu el seu nom al matemàtic italià Joseph-Louis de Lagrange, qui ho va publicar en 1771.

Demostració

Considerem un grup finito G, i un subgrup seu H. En G es definix una relació d'equivalència ${\sim }_H$ donada per:

$x{\sim }_{H}y\iff x^{-1}y\in H,\mathrm{\forall }x,y\in G$

Ya que sabem per hipòtesis que G és finito, sabem que únicament pot existir un número finito de classes d'equivalència distintes, és dir, l'índex d'H en G és finito. Es pot demostrar que:

$gH=\{gh:h\in H,g\in G$}

és la classe d'equivalència de g per a la relació ${\sim }_H$. Supongam llavors que les classes d'equivalència distintes són: $g_{1}H,g_{2}H,\dots ,g_{m}H$. Ya que són distintes i són totes les possibles, G és l'unió disjunta d'estes classes:

$|G|=|g_{1}H|+|g_{2}H|+\dots +|g_{m}H|=\sum _{r=1}^m|g_{r}H|,g_r\in G.$

Siga $H=\{h_1,h_2,\dots ,h_n\}\subseteq G$. Fixat un sancer $1\le i\le m$, de l'igualtat $g_i{h}_j=g_i{h}_l$ es deduïx que $h_j=h_l$. Per tant, els elements de la classe $g_{i}H$ són tots distints, ya que:

$g_{i}H=\{g_i{h}_1,\dots ,g_i{h}_n\}.$

Aixina, $\mathrm{\forall }i:|g_{i}H|=|H|$, després $|G|=m|H|$. Llavors, $|H|$ dividix a $|G|$ i de fet m és l'índex $[G:H]$, ya que:

$[G:H]=i(H,G)=\frac{|G|}{|H|}=m.$

Per lo tant:

$|G|=[G:H]|H|=i(H,G)|H|$

quedant en açò demostrat l'enunciat de la teorema.

Conseqüències

Considerant un element $a\in G$ qualsevol, el subgrup generat per a deu satisfer la teorema de Lagrange. Per lo tant, l'orde de qualsevol element de G, que coincidix en el cardinal del subgrup generat per ell, dividix a l'orde de G.

Conseqüència immediata de lo anterior és que tot grup $G$ d'orde primer $p$ és cíclico, puix l'orde d'un element $a$ de $G$ distint de l'identitat només pot ser $p$, i aixina $a$ és un generador de $G$.

A partir de la teorema de Lagrange pot, per eixemple, demostrar-se que si $H,K$ són subgrups finitos d'un grup $G$, llavors

(2) $|HK|=\frac{|H||K|}{|H\cap K|}$,

a on $HK=\{hk\mid h\in H\text{y}k\in K\}$ (este conjunt pot no ser un subgrup de $G$).

La teorema de Lagrange proporciona una forma interessant de demostrar que l'orde del grup simètric $S_n$ de les permutació de $n$ símbols és $n!$. Ademés, si $A_n$ és el subgrup alternante de $S_n$, llavors

$|A_n|=\frac{|S_n|}{2}=\frac{n!}{2},$

puix $[S_n:A_n]=2$.

Bibliografia

• (2002) Algebra, Springer-Verlag.
• Rowen, L (1994). A K Peters (ed.). Groups, Rings and Fields, Massachusetts.
• Grillet, P. A. (2007). Abstract Algebra, Springer.
• Artin, Michael (2010). Algebra, 2ª edició, Pearson.