Grup resoluble

En la teoria de grups, un grup resoluble (o soluble) és un grup que es construïx a partir de grups abelianos usant extensions de grup. Equivalentement, un grup resoluble és un grup que la seua série derivada es termina en el subgrup trivial.

Definició

Un grup finito G es diu resoluble (o soluble) si existix una cadena finita de subgrups $\{G_i{\}}_{i=1}^n\subset 𝒫(G)$ tal que:

$\{1_G\}=G_0\subseteq G_1\subseteq \dots \subseteq G_n=G,$

a on para cada $i=0,1,\dots ,n-1$ es complix que:

• $G_i$ és subgrup normal en $G_{i+1}$, notat usualment com $G_i◃G_{i+1}$.

• El grup cocient $G_{i+1}/G_i$ és abeliano.

A l'anterior cadena, quan existixca, se li sol denominar torre, segons Serge Lang.

Una atra forma de definir la solubilidad d'un grup és a partir dels subgrups commutadors. Definim $G^{(0)}=G$ i $G^{(i+1)}=[G_i,G_i]$. Tindrem llavors una successió decreixent de subgrups, a la que cridem série derivada:

$G=G^{(0)}\supseteq G^{(1)}\supseteq G^{(2)}\dots ,$ a on $G^{(i+1)}⊲G^{(i)}$ per a tot i.

El grup és soluble si existix $n\in \mathbb{N}$ tal que $G^{(n)}=\{1_G\}$.

Les dos definicions són equivalents perque donats un grup $J$ i un subgrup normal $N⊲J$, es té que $J/N$ és abeliano si i solament si $[J,J]\subseteq N$.

Eixemples

• Tot grup abeliano és resoluble, ya que $\{1\}\subseteq G$ i $1◃G$, ya que $x\cdot 1_G\cdot x^{-1}\in \{1_G\}$ i ademés $G/\{1\}\simeq G$, per lo que és abeliano.

• $S_3$ és resoluble. Basta vore que $1◃A_3◃S_3$ és una torre abeliana, en $A_n$ el grup alternat para $S_n$.

• $A_4$ és resoluble. Basta vore que $1◃V◃A_4$, és una torre abeliana de $A_4$, a on $V=\{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$.

• $S_4$ és resoluble. Es pot vore que $1◃V◃A_4◃S_4$ és una torre abeliana de $S_4$.

• $A_5$ és un grup no resoluble, ya que es coneix que $A_5$ és simple, per lo que l'única cadena possible és $1◃A_5$, pero $A_5$ no és abeliano, ya que $(12)(34)(345)\ne (345)(12)(34)$.