Extensió de grup

En àlgebra abstracta, es denomina extensió del grup $A$ pel grup $B$ a qualsevol atre grup $𝔼$ que faça exacta la successió curta

$0\to B\stackrel{\iota }{\to }𝔼\stackrel{\pi }{\to }A\to 0$.

Esta condició és equivalent a que l'image $\iota (B)$ siga un subgrup normal de $𝔼$, tal que el cocient $𝔼/\iota (B)$ siga isomorfo a $A$. Note's que encara que és $B$ el grup en cert modo contingut en l'extensió, es diu que $𝔼$ és una extensió de $A$, per familiaridad en atres conceptes. En canvi alguns autors dirien «... $𝔼$ és una extensió de $B$ per $A$...», per eixemple Mac Lane y Birkhoff (1967, p. 409).

La noció d'extensió de grups es basa en l'idea de la descomposició d'un grup $G$ en un subgrup normal $N\le G$ i en el cocient $Q=G/N$. En tal cas existixen dos homomorfismes: un inyectivo $N\to G$ dau per l'inclusió de conjunts, i un atre sobreyectivo $G\to Q$ dau per la proyecció en el cocient, que fan que la successió curta

$0\to N\to G\to Q\to 0$

siga exacta. L'extensió de grups és el procés invers, que partint d'uns grups coneguts $A\simeq Q$ i $B\simeq N$ genera un nou grup $𝔼\simeq G$. Este últim conté una còpia isomorfa a $B$ com a subgrup normal, mentres que $A$ fa les voltes del grup factor $𝔼/B$.

El problema de l'extensió

Un eixemple d'una extensió de grups és el producte directe $A\times B$ que, no obstant, no és necessàriament l'única extensió possible. La determinació de les possibles extensions de dos grups es coneix en el nom de problema de l'extensió. Junt en la classificació de grups finitos simples (ya resolt), la seua solució permetria classificar de forma completa els grups finitos, lo que es coneix com a programa de Hölder.

En general, una extensió de $A$ pel grup $B$ induïx un homomorfisme $A\to \mathrm{O}\mathrm{u}\mathrm{t}B$, a on $\mathrm{O}\mathrm{u}\mathrm{t}B$ denota el grup d'automorfismes exteriors: el cocient $\mathrm{O}\mathrm{u}\mathrm{t}B=\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}B/\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{n}B$. No obstant, extensions diferents poden donar lloc al mateix homomorfisme. El problema de l'extensió és considerat de difícil solució; no obstant es coneixen solucions quan es complix alguna condició adicional, com per eixemple quan l'extensió és el producte semidirecto dels grups $A$ i $B$.

Eixemple

Siga el fibrado $F\subset E_f\to S^1$ a on $f:F\to F$ és un autohomeomorfisme de la superfície F, llavors des de la sequencia homotópica llarga del fibrado tenim el tram:

$\cdots \to 1\to {\pi }_{1}F\to {\pi }_1{E}_f\to \mathbb{Z}\to 1\to \cdots$

Pero com els homomorfismes de grup:

$\mathbb{Z}\to \mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}{\pi }_{1}F=\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(F)$

classifiquen a estes extensions i a on el generador de $\mathbb{Z}$ és assignat a l'auto-homeomorfisme $f$, llavors tenim que el grup fonamental del fibrado I està donat per

${\pi }_1{E}_f={\pi }_{1}F{*}_f\mathbb{Z}$

és dir, estem estenent el grup fonamental de la superfície F pel grup cíclico infinit $\mathbb{Z}$.

És conegut que tals grups té una presentació de la forma

${\pi }_1(E_f)=⟨g_s,t\mid R(g_s)=1,t^{-1}{g}_{s}t=f(g_s)⟩$

que correspon a una extensió HNN del grup fonamental de la superfície F.

Vore també

• Grup cocient.
• Grup simple.
• Série de composició.

Referències

Bibliografia

• (2004) Abstract Algebra, 3ª edició, Wiley. ISBN 978-81-265-3228-5.
• Hall, M. (1959). The theory of groups, Macmillan.

• Kurosch, A.G. (1955-1956). The theory of groups, Chelsea.
• Mac Lane, Saunders (1967). Algebra, 3ª edició, Chelsea.