Extensió HNN

En matemàtiques es diu extensió HNN a una construcció en l'àrea de teoria de grups. La teoria d'extensions HNN és fonamental en l'estudi combinatori i geomètric de grups. Les extensions HNN junt als productes amalgamados formen la base de la teoria de Bass-Serre.

Varen ser introduïts per Graham Higman, Bernhard Neumann i Hanna Neumann en 1949 en l'artícul Embedding Theorems for Groups. En este artícul també es proven atres resultats interessants relatius a grups.

Definició

Una extensió HNN d'un grup G és l'immersió de dit grup en un atre grup H de manera que dos subgrups isomorfos K i J de G són conjugats (per un isomorfisme donat prèviament) en H.

Si $G$ té la presentació $⟨S|R⟩$ i $\alpha :J\to K$ és un isomorfisme entre dos subgrups de $G$ llavors l'extensió HNN de $G$ respecte de $\alpha$ (que es nota $G{*}_{\alpha }$) té la següent presentació:

$⟨S,t|R,tj{t}^{-1}=\alpha (j)\mathrm{\forall }j\in J⟩$

Ya que el grup $G{*}_{\alpha }$ conté els generadors i les relacions de $G$, resulta clara l'existència d'un morfismo de $G$ en $G{*}_{\alpha }$, lo que proven Higman, Neumann i Neumann en el seu artícul és que dit morfismo és inyectivo.

Una conseqüència directa d'este resultat és que qualsevol isomorfisme entre dos subgrups d'un grup G pot vore's en una extensió H del mateix com un isomorfisme intern (o siga que abdós subgrups resulten conjugats en H).

El lema de Britton, provat en 1963 en "The word problem" dona una forma d'identificar els elements d'una extensió HNN que no són l'identitat.

Qualsevol element $w\in G{*}_{\alpha }$ pot escriure's com:

$w=g_0{t}^{{\epsilon }_1}{g}_1{t}^{{\epsilon }_2}\cdots g_{n-1}{t}^{{\epsilon }_n}{g}_n,g_i\in G,{\epsilon }_i=\pm 1$

Lema de Britton Siga w tal que

• n = 0 i g₀ ≠ 1 ∈ G, o
• n > 0 i en w no apareixen subpalabras de la forma tjt⁻¹, en j ∈ J i de la forma t⁻¹kt en k ∈ K,

llavors w ≠ 1 ∈ G∗_α.