Teoria de Bass-Serre

En la teoria geomètrica de grups, la Teoria de Bass-Serre és una part del tema matemàtic de la teoria de grups i la topología combinatòria que tracta de l'anàlisis de l'estructura algebraica de les accions de grups, per mig d'automorfismes, sobre els arbres simpliciales.

Esta teoria relaciona les accions dels grups sobre arbres en la descomposició de grups com a aplicacions iteradas de les operacions de producte lliures en amalgamación i la de HNN-extensió, amprant principalment el concepte de grup fonamental d'un grafo de grups.

La teoria de Bass-Serre pot ser considerada com la versió 1-dimensional de la teoria d'orbidadés i aporta un método molt important quan s'estudia als grups infinits discrets.

Història

La teoria de Bass-Serre va ser desenrollada per Jean-Pierre Serre en els setanta i formalisada en Trees, la monografia fonamental de Serre (desenrollada en conjunt en Hyman Bass) sobre el tema.

La motivació original de Serre va ser per a entendre l'estructura de certs grups algebraics les construccions cridades dels quals Bruhat-Tits buildings són arbres. No obstant, la teoria ràpidament es va convertir en una ferramenta estàndar de la teoria geomètrica de grups i de la topología geomètrica, particularment per a l'estudi de les 3-varietatés. Subsecuentes treballs de Hyman Bass varen contribuir substanciosamente a la formalisació i desenroll d'esta ferramenta bàsica, i actualment el terme Teoria de Bass-Serre és àmpliament usat per a descriure el tema.

Matemàticament, la teoria de Bass-Serre es construïx sobre l'explotació i generalisació de les propietats de dos velles construccions teòric-grupales: producte lliure amalgamado i HNN-extensió. Pero, no com el tradicional estudi algebraic d'estes dos construccions, la teoria de Bass-Serre usa el llenguage geomètric dels espais cubrientes i el grup fonamental. Els Grafos de grups, que són els objectes bàsics de la teoria, poden ser vists com les versions un-de dimensionals de la teoria d'orbidadés.

A banda del llibre de Serre (Trees), els tractaments elementals d'esta teoria estan disponibles en els artículs de Bass (Covering theory for graphs of groups), l'artícul de Scott-Wall (Topological methods in group theory), i els llibres d'Hatcher, Baumslag, Dicks-Martin Dunwoody i Cohen.

Implementació bàsica

Grafos en el sentit de Serre

El formalisme dels grafos en esta teoria és llaugerament diferent en la teoria de grafos estàndar. Ací un grafo A consistix d'un conjunt de vèrtiços V, un d'arestes I, un mapage que invertix $E\to E$, $e\mapsto \overline{e}$ tal que $e\ne \overline{e}$ i $\overline{\overline{e}}=e$ per a tota $e\in E$, i el mapage de vèrtiç inicial $o:E\to V$. Aixina, en A, per a cada aresta i est ve equipat en el seu invers formal $\overline{e}$. El vèrtiç $o(e)$ és cridat el orige o el vèrtiç inicial de i i el vèrtiç $o(\overline{e})$ és cridat el vèrtiç terminal de i i és denotat per t(i).

Abdós, els llaços (arestes per a les quals $o(e)=t(e)$) i vèrtiços múltiples són permesos.

Una orientació sobre A és una partició de I en l'unió de dos subconjunts disjuntos $E^{+}$ i $E^{-}$ tals que per a cada vèrtiç i exactament una de les arestes del parell $e,\overline{e}$ pertany a $E^{+}$ i l'atra pertany a $E^{-}$.

Grafo de grups

Un grafo de grups A consistix de la següent data: un grafo conexo A una assignació $v\mapsto A_v$ d'un grup a cada vèrtiç de A una atra assignació $e\mapsto A_e$ d'un grup a cada aresta del grafo un morfismo de frontera ${\alpha }_e:A_e\to A_{o(e)}$ per a cada aresta de A que és inyectivo, és dir un monomorfismo.

Per a cada $e\in E$ el mapage ${\alpha }_{\overline{e}}:A_e\to A_{t(e)}$ és denotat per ${\omega }_e$

Grup fonamental d'un grafo de grups

Hi ha dos definicions equivalents de la noció de grup fonamental d'un grafo de grups: la primera és una definició algebraica per mig d'una presentació de grup, directament com una aplicació iterada dels productes lliures amalgamados i les HNN-extensions; la segona usant el llenguage de grupoides.

La primera és la més fàcil d'establir:

Primer, elegixca un arbre generador (spanning tree) T de A i una orientació $E=E^{+}\bigsqcup E^{-}$ de A. Llavors el grup fonamental de A sobre T, denotat per ${\pi }_1(𝐀,T)$, és definit com el cocient del producte lliure de grups

${*}_{v\in V}{A}_v*F(E)$

a on F(I) és el grup lliure en base lliure I, subjecte a les següents relacions:

• $\overline{e}{\alpha }_e(g)e={\omega }_e(g)$, per a cada i en I i cada $g\in A_v$ i és cridada la relació de Bass-Serre
• $\overline{e}e=1$ per a cada $e\in E$
• i=1 per a cada aresta de l'arbre generador T.

Els grups fonamentals d'un grafo de grups com un procés iterativo

El grup $G={\pi }_1(𝐀,T)$ definit dalt admet una descripció algebraica en térmens de productes lliures amalgamados i HNN-extensions.

Primer es construïx un grup B com a cocient del producte lliure

$({*}_{v\in V}{A}_v)*F(E^{+}T)$

subjecte a les relacions

• $e^{-1}{a}_e(g)e={\omega }_e(g)$ per a cada i en $E^{+}T$ i cada g en $A_e$
• $e=1$ per a cada i en $E^{+}T$

Esta presentació pot, llavors, ser reescrita com

$B={*}_{v\in V}{A}_v/\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{l}\{{\alpha }_e(g)={\omega }_e(g)\}$ a on i està en $E^{+}T$ i g en $G_e$ lo que mostra que B és un producte lliure amalgamado iterado dels grups-vèrtiços $A_v$.

Llavors el grup $G={\pi }_1(𝐀,T)$ té presentació

$⟨B,E^{+}(A-T)|e^{-1}{\alpha }_e(g)e=\omega (g)⟩$ a on i pertany a $E^{+}(A-T)$ i g a $G_e$

lo que nos indica que G és una HNN-extensió múltiple de B en els símbols estables $\{e|e\in E^{+}(A-T)\}$.

Descomposicions

Un isomorfisme entre un grup G i el grup fonamental d'un grafo de grups is cridat un descomposició (splitting) de G. Si les grups-aresta en la descomposició vénen d'alguna classe de grups (i.g. finito, cíclico, abeliano, etc), a la descomposició se li diu que descompon sobre dita classe. Aixina una descomposició a on tots els grup-aresta són finitos es diu que descompon sobre grups finitos.

Algebraicamente, una descomposició de G en grups-aresta trivials correspondrà a la descomposició per producte lliure

$({*}_{v\in V}{A}_v)*F(X)$

deonde F(X) és un grup lliure en base lliure $X=E^{+}(A-T)$ consistent en tots les arestes positivament orientades en el complement de l'arbre-generador T en A.