Simetria diédrica en tres dimensions

En geometria, la simetria diédrica en tres dimensions és una de les tres seqüències infinites de grups de punts en tres dimensions que tenen un grup de simetria que, com a grup abstracte, es correspon en el grup diedral Dih_n (per a n ≥ 2).

Tipos

Hi ha 3 tipos de simetria diédrica en tres dimensions, cada u dels quals es mostra a continuació en tres notacions: la notació de Schönflies notation, la notació de Coxeter i la notació orbifold.

Quiral

• D_n, [n,2]⁺, (22n) d'orde 2n (o també simetria diédrica o grup per a-n-gonal'; el grup abstracte: Dih_n).

Aquiral

• D_nh, [n,2], (*22n) d'orde 4n (o també simetria prismàtica o grup orto-n-gonal'; el grup abstracte: Dih_n × Z₂).
• D_nd (o D_nv), [2n,2⁺], (2*n) d'orde 4n (o també simetria antiprismática o grup gire-n-gonal complet; el grup abstracte: Dih_2n).

Per a un n donat, els tres tenen simetria rotacional multiplicada per n al voltant d'un eix (un moviment de rotació per un àngul de 360°/n no canvia la disposició dels punts de l'objecte), i simetria rotacional doble sobre un eix perpendicular (en conseqüència sobre estos n eixos). Per a n = ∞, corresponen a tres frisos. S'utilisa la notació de Schoenflies, en la notació de Coxeter entre corchetes i la notació orbifold entre paréntesis. El terme horisontal (h) s'usa sobre un eix de rotació vertical.

En 2D, el grup de simetria D_n inclou reflexions en llínees rectes. Quan el pla 2D està incrustat horisontalment en un espai 3D, tal reflexió pot vore's com la restricció a eixe pla d'una reflexió a través d'un pla vertical, o com la restricció al pla d'una rotació al voltant de la llínea de reflexió, per 180°. En 3D, es distinguixen les dos operacions: el grup D_n conté solament rotacions, no reflexions. L'atre grup és el de la simetria piramidal C_nv del mateix orde, 2n.

En la simetria especular en un pla perpendicular a l'eix de rotació de n, es té D_nh, [n], (*22n).

D_nd (o D_nv), [2n,2⁺], (2*n) té plans de reflexió verticals entre els eixos de rotació horisontals, no a través d'ells. Com a resultat, l'eix vertical és un eix de rotació impròpia de 2n.

D_nh és el grup de simetria d'un prisma regular de n costats i també per a una bipirámide regular de n costats. D_nd és el grup de simetria per a un antiprisma regular de n costats, i també per a un trapezoedro regular de n costats. D_n és el grup de simetria d'un prisma parcialment girat.

No s'inclou n = 1 perque les tres simetria són iguals a unes atres:

• D₁ i C₂: grup d'orde 2 en una sola rotació de 180°.
• D_1h i C_2v: grup d'orde 4 en una reflexió en un pla i una rotació de 180° al voltant d'una llínea recta en eixe pla.
• D_1d i C_2h: grup d'orde 4 en una reflexió en un pla i una rotació de 180° al voltant d'una llínea recta perpendicular a eixe pla.

Per a n = 2 no hi ha un eix principal i dos eixos adicionals, sino tres equivalents.

• D₂, [2,2]⁺, (222) d'orde 4 és un dels tres tipos de grups de simetria en el grup de Klein com a grup abstracte. Té tres eixos de rotació perpendiculars dobles. És el grup de simetria d'un cuboide en una lletra S marcada en dos cares opostes, en la mateixa orientació.

• D_2h, [2,2], (*222) d'orde 8 és el grup de simetria d'un paralelepípede.
• D_2d, [4,2⁺], (2*2) d'orde 8 és el grup de simetria de per eixemple:
• Un paralelepípede quadrat en una diagonal dibuixada en una cara quadrada i una diagonal perpendicular en l'atra.
• Un tetraedre regular escalat en la direcció d'una llínea que conecta els punts mijos de dos arestes opostes (D_2d és un subgrup de T_d; en escalar la figura segons una direcció es reduïx la simetria).

Subgrups

D2h, [2,2], (*222)

D4h, [4,2], (*224)

Vore també: Simetria cíclica en tres dimensions

Per a D_nh, [n,2], (*22n), orde 4n

• C_nh, [n⁺,2], (n*), orde 2n
• C_nv, [n,1], (*nn), orde 2n
• D_n, [n,2]⁺, (22n), orde 2n

Per a D_nd, [2n,2⁺], (2n), orde 4n

• S_2n, [2n⁺,2⁺], (n×), orde 2n
• C_nv, [n⁺,2], (n*), orde 2n
• D_n, [n,2]⁺, (22n), orde 2n

D_nd també és un subgrup de D_2nh.

Eixemples

D2h, [2,2], (*222) Orde 8	D2d, [4,2+], (2*2) Orde 8	D3h, [3,2], (*223) Orde 12
Costures d'un baló de bàsquet	Costures d'una pilota de béisbol (ignorant la direccionalidad de la costura)	Baló de plaja (ignorant els colors)

Dnh, [n], (*22n): Prismes

D5h, [5], (*225): Prisma pentagrámico Antiprisma pentagrámico

D4d, [8,2+], (2*4): Antiprisma quadrat romo

D5d, [10,2+], (2*5): Antiprisma pentagonal Antiprisma pentagrámico creuat Trapezoedro pentagonal

D17d, [34,2+], (2*17): Antiprisma heptadecagonal

Vore també

• Anex:Grups de simetria esfèrica
• Grups de punts en tres dimensions
• Simetria cíclica en tres dimensions

Bibliografia

• Harold Scott MacDonald Coxeter, H. S. M. and Moser, W. O. J. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups, New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.
• N.W. Johnson: Geometria i transformacions, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Capítul 11: Grups de simetria finita, 11.5 Grups esfèrics de Coxeter
• (2002).«The Orbifold Notation for Two-Dimensional Groups».Structural Chemistry.Springer Netherlands.13(3)

247–257.doi:10.1023/A:1015851621002.

Enllaços externs

• Resum gràfic dels 32 grups de punts cristalográficos: forme les primeres parts (aparte d'ometre n=5) de les 7 séries infinites i 5 dels 7 grups de punts 3D separats