Prisma (geometria)

Un prisma, en geometria, és un poliedre que consta de dos cares iguals i parals cridades bases, i de cares laterals que són paralogramos. Els prismes es nomenen per la forma de la seua base, per lo que un prisma de base pentagonal es diu prisma pentagonal. Els prismes són una subclasse dels prismatoides. Com a molts térmens geomètrics bàsics, la paraula prisma (πρίσμα (prisma)|alguna cosa serrat) es va utilisar per primera volta en els Elements d'Euclides. Euclides va definir el terme en ellibre XI com "una figura sòlida continguda per dos plans oposts, iguals i parals, mentres que el restant són paralogramos". No obstant, esta definició ha segut criticada per no ser lo suficientment específica en relació en la naturalea de les bases, lo que va causar confusió entre els escritors de geometria posteriors.

Definició

Un prisma és un poliedre que posseïx les següents dos propietats:

1. Existixen exactament dos cares congruents sobre plans parals, que es denominen bases.
2. Totes les demés cares són paralogramos.

Prisma regular

Un prisma regular és aquelles bases del qual són un polígon regular.

Prisma uniforme

Un prisma uniforme o prisma semirregular és un prisma recte en bases regulars i totes les arestes de la mateixa llongitut. Per tant, totes les cares laterals d'un prisma uniforme són quadrats, i en conseqüència, totes les seues cares són polígons regulars. Ademés, dits prismes són isogonals; i per lo tant són poliedres uniformes. Formen una de les dos séries infinites de poliedres semirregulares, l'atra série està formada pels antiprismas. Un prisma n-gonal uniforme té símbol de Schläfli t{2,n}.

Oblicuo front a recte

Prisma recte (A) i prisma oblicuo (B)

Un prisma oblicuo és un prisma en el que les arestes i cares d'unió són no perpendiculars a les cares de la base. Eixemple: un paralepípede és un prisma oblicuo la base del qual és un paralogramo, o equivalentemente un poliedre en sis cares paralogramos. Un prisma recte és un prisma en el que les arestes i cares d'unió són perpendiculars a les cares de la base. Açò s'aplica si i només si totes les cares d'unió són rectangulars. el dual d'un prisma recte n és una bipirámide recta n. Un prisma recte (de costats rectangulars) en bases de polígon regular n-gon té símbol de Schläfli { }×{n}. S'aproxima a un cilindre a mida que n s'aproxima al infinit.

Casos especials

• Un prisma rectangular recte (en base rectangular) també es diu cuboide, o informalmente caixa rectangular. Un prisma rectangular recte té símbol de Schläfli { }×{ }×{ }.

• Un prisma quadrat recte (en base quadrada) també es denomina cuboide quadrat, o informalmente caixa quadrada. Nota: alguns texts poden aplicar el terme prisma rectangular o prisma quadrat tant a un prisma de base rectangular com a un prisma de base quadrada.

Prismes rectes

Un prisma recte és un prisma en el que les vores d'unió i les cares són perpendiculars a les cares de la base. Açò s'aplica si les cares d'unió són rectangulars. Si les vores d'unió i les cares no són perpendiculars a les cares de la base, es diu prisma oblicuo. Alguns texts poden aplicar el terme de prisma rectangular o prisma quadrat tant a un prisma rectangular de costat dret com a un prisma unilateral quadrat dret. El terme prisma uniforme pot utilisar-se per a un prisma recte en costats quadrats, ya que tals prismes estan en el conjunt de poliedres uniforme. Un prisma de n cares laterals en extrems de polígons regulars i cares rectangulars, s'acosta un sòlit cilíndric quan n tendix a infinit. Els prismes rectes en bases regulars i llongituts iguals vores formen una de les dos séries infinites de poliedres semirregulares, les atres séries són els antiprismas. el dual d'un prisma recte és una bipirámide. Un paralepípede és un prisma de que la base és un paralogramo, o equivalentemente un poliedre en sis cares que són totes paralogramos. A un prisma rectangular recte també li'l coneix com cuboides, o informalmente caixa rectangular. Un prisma quadrat dret és simplement una caixa quadrada, i també pot ser cridat un cuboide quadrat. Els prismes són poliedres que consten de dos cares iguals i parals cridades bases, i de cares laterals que són paralogramos.

Cada prisma consta dels següents elements:

• Bases: són les dos cares iguals i parals del prisma, una en la que es recolza i l'atra la seua oposta.
• Cares laterals: són les cares que compartixen dos dels seus costats en les bases. La suma de les seues àrees és la superfície lateral del prisma.
• Arestes: són els costats de les bases i de les cares laterals.
• Vèrtiços: són els punts en a on es troben cada parell d'arestes.
• Altura: és la distància entre les bases.
• Diagonals: són els segments que unixen dos vèrtiços no consecutius del prisma. Es poden traçar les diagonals d'una cara o entre dos cares.

Superfície

l'àrea superficial d'un prisma recte és:

$2B+Ph,$

a on B es el área de la base, h la altura, y P el perímetro de la base. La superficie d'un prisma recto cuya base es un polígono regular de lados n, de longitut s y altura h, es por tanto:

$A=\frac{n}{2}{s}^2\cot \left(\frac{\pi }{n}\right)+nsh.$

Volum

el volum d'un prisma és el producte del àrea de la base per la distància o altura entre les dos bases. El seu valor s'expressa com:

$V=B\cdot h$

a on B es el área de la base y h es la altura. El volumen d'un prisma, cuya base es un polígono regular de n lados con una longitut de lado s, es:

$V=\frac{n}{4}h{s}^2\cot \frac{\pi }{n}$

Diagrames de sigma

Erro al crear miniatura: P3

Erro al crear miniatura: P4

Erro al crear miniatura: P5

Erro al crear miniatura: P6

Erro al crear miniatura: P7

Erro al crear miniatura: P8

Simetria

el grup de simetria d'un prisma recte de n costats en la base regular és D_nh d'orde 4n, llevat en el cas d'una gaveta, que té el grup de simetria octaèdrica més gran, d'orde 48, que té com subgrups tres versions de D_4h. El grup de rotació és D_n d'orde 2n, llevat en el cas d'una gaveta, que té el grup O de simetria més gran d'orde 2₄, que a la seua volta té com a subgrups tres versions de D₄. El grup de simetria D_nh posseïx simetria central si i solament si n és parell.

Prisma truncat

Erro al crear miniatura:

Eixemple de prisma triangular truncat. La seua cara superior està truncada en un àngul oblicuo, pero no és un prisma oblicuo

Un prisma truncat o tronc de prisma és una part d'un prisma llimitada entre la base i la secció originada per un pla no paral a la base, i que interseca a totes les arestes laterals. Les bases del prisma una volta truncat no són congruents entre sí i els seus costats no són paralogramos.

Prisma torçut

Un prisma torçut és un poliedre no convexo construït a partir d'un prisma uniforme de n costats en cada cara lateral dividida en dos triànguls segons una diagonal, girant la part superior generalment en ^Π⁄_n radianes (¹⁸⁰⁄_n graus), fent que els costats resultants formen interseccions cóncaves.

Esta forma no pot disseccionar-se en tetraedres sense agregar nous vèrtiços. El cas més chicotet, en base triangular, es denomina poliedre de Schönhardt. Un prisma torçut n-gonal és topológicamente idèntic a un antiprisma n-gonal uniforme, pero solament posseïx la mitat de la seua grup de simetria: D_n, [n,2]⁺, d'orde 2 n. Pot vore's com un antiprisma no convexo, en tetraedres eliminats entre parells de triànguls.

3-gonal	4-gonal		12-gonal
Erro al crear miniatura: Poliedre de Schönhardt	Erro al crear miniatura: Prisma quadrat torçut	Antiprisma quadrat	Erro al crear miniatura: Prisma dodecagonal torçut

Tronc

Erro al crear miniatura:

Eixemple d'un tronc pentagonal

Un tronc és una construcció similar a un prisma, pero en les cares laterals trapecials i els polígons superior i inferior de diferents tamanys.

Prisma en estrela

Vore també: Poliedre prismàtic uniforme

Un prisma en estrela és un poliedre no convexo construït per dos cares en forma d'estrela idèntiques en la part superior i inferior, parals i desplaçades una distància entre sí i conectades per cares rectangulars. Un prisma en estrela uniforme tindrà Símbol de Schläfli {p/q} × { }, en p rectànguls i 2 {p/q} cares. És topológicamente idèntic a un prisma p-gonal.

Eixemples

{}×{}180×{}	ta{3}×{}		{5/2}×{}	{7/2}×{}	{7/3}×{}	{8/3}×{}
D2h, orde 8	D3h, orde 12		D5h, orde 20	D7h, orde 28		D8h, orde 32
Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura:			Erro al crear miniatura:

Prisma creuat

Un prisma creuat és un poliedre no convexo construït a partir d'un prisma, a on els vèrtiços d'una base són invertits al voltant del centre d'esta base (o girats 180°). Açò transforma les cares rectangulars laterals en rectànguls creuats]. Per a una base de polígon regular, l'apariència és la d'un rellonge d'arena n-gonal. Totes les arestes oblicuas passen per un únic punt, el centre del cos. Nota: no hi ha cap vèrtiç en este centre del cos. Un prisma creuat és topológicamente idèntic a un prisma n-gonal.

Eixemples

{}×{}180×{}180	ta{3}×{}180		{3}×{}180	{4}×{}180	{5}×{}180	{5/2}×{}180	{6}×{}180
D2h, orde 8	D3d, orde 12			D4h, orde 16	D5d, orde 20		D6d, orde 24
Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura:

Prisma toroidal

Un prisma toroidal és un poliedre no convexo com un prisma creuat, pero sense cares de base superior i inferior, i en cares laterals rectangulars simples que tanquen el poliedre. Açò solament es pot fer quan les bases són polígons en un número par de costats. Topológicamente són bous, en característica d'Euler zero. El seu desenrolle es pot generar a partir de dos files d'un teselado quadrat (en configuració de vèrtiços 4.4.4.4): una banda de n quadrats, cada u unit a un rectàngul creuat. Un prisma toroidal n-gonal té 2n vèrtiços, 2n cares (n quadrats i n rectànguls creuats), i 4n arestes. És topológicamente autodual.

Eixemples

D4h, orde 16	D6h, orde 24
v=8, i=16, f=8	v=12, i=24, f=12
Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura:

Politopo prismàtic

Un politopo prismàtic és una generalisació dels prismes a dimensions distintes de 3. Un polítopo prismàtic de n dimensions es definix recursivamente com una figura creada a partir de dos politopos congruents (n − 1)-dimensionals en hiperplanos parals, que les seues facetas corresponents es conecten per prismes (n − 1)-dimensionals. Donat un n-politopo en f_i elements de dimensió i (i = 0, ..., n), el prisma generat a partir d'ell tindrà 2f_i + f_i−1 elements de dimensió i (prenent f₋₁ = 0, f_n = 1). Per dimensió:

• Si es partix d'un polígon en n vèrtiços i n arestes, el seu prisma tindrà 2n vèrtiços, 3n arestes i 2 + n cares.
• Si es partix d'un poliedre en v vèrtiços, i arestes i f cares, el seu prisma tindrà 2v vèrtiços, 2i + v arestes, 2f + i cares, i 2 + f celes.

• Si es partix d'un polícoro en v vèrtiços, i arestes, f cares i c celes, el seu prisma tindrà 2v vèrtiços, 2i + v arestes, 2f + i cares, i 2 + c hiperceldas.

Politopo prismàtic uniforme

Un n-polítopo regular de representat pel símbol de Schläfli {p, q, ..., t} pot formar un (n + 1)-polítopo prismàtic uniforme representat per un producte cartesiano de dos símbols de Schläfli: {p, q, ..., t} × {}. Per dimensió:

• Un prisma 0-politópico és un segment de recta, representat per un símbol de Schläfli buit {}.
  • 
• Un prisma 1-politópico és un rectàngul, format a partir de la translació de 2 segments de llínea. Es representa com els el símbol Schläfli producte {} × {}. Si es tracta d'un quadrat, es pot reduir la simetria a: {} x {} = {4}.
  •   Eixemple: quadrat, {} x {}, dos segments de recta parals, conectats per dos costats de segments de recta.

• Un prisma poligonal és un prisma de 3 dimensions fet a partir de dos polígons traslladats, conectats per rectànguls. Un polígon regular {p} pot construir el prisma n-gonal uniforme representat pel producte {p} × {}. Si p = 4, en costats quadrats simètrics, es convertix en un gaveta: {4}×{} = {4, 3}.
  •   Eixemple: prisma pentagonal, {5}×{}, dos pentàgons parals conectats per 5 costats rectangulars.
• Un prisma polièdric és un prisma de 4 dimensions fet per dos poliedres traslladats conectats per celes de prisma de tridimensionals. Un poliedre regular {p, q} pot construir el prisma policórico uniforme, representat pel producte {p, q}×{}. Si el poliedre és una gaveta, i els costats són gavetes, es convertix en un teseracto: {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
  • Erro al crear miniatura:   Eixemple: prisma dodecaédrico {5, 3} × {}, dos dodecaedres parals conectats per 12 costats de prismes pentagonals.

Un duoprisma {23}×{29}, mostrant les seues arestes en proyecció estereográfica. Els quadrats formen una retícula de 23×29 en un bou pla

Els politopos prismàtics d'orde superior també existixen com producte cartesiano de dos o més politopos qualssevol. La dimensió d'un politopo de producte és la suma de les dimensions dels seus elements. Els primers eixemples d'estos existixen en l'espai de 4 dimensions; es diuen duoprisma com el producte de dos polígons en 4 dimensions. Els duoprismas regulars es representen com a {p}×{q}, en vèrtiços pq, arestes de 2pq, cares quadrades pq, p Cares q-gon, cares q'p-gon i delimitades per prismes p'q-gonal i q p -prismes diagonals. Per eixemple, {4}×{4}, un duoprisma 4-4 és una forma de simetria inferior d'un teseracto, de la mateixa manera que {4,3}×{ }, un prisma cúbic. {4}×{4}×{ } (prisma de duoprisma 4-4), {4,3}×{4} (duoprisma de gaveta-4) i {4,3,3}×{ } (prisma teseractico prisma) són formes de simetria inferior d'un penteracto.

Família de prismes uniformes

Simetria	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Image					Erro al crear miniatura:		Erro al crear miniatura:			Erro al crear miniatura:

Vore també

• Antiprisma
• Cilindre
• Prisma apeirogonal

Bibliografia

• Anthony Pugh (1976). Polyhedra: A visual approach, Califòrnia: University of Califòrnia Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms

Enllaços externs

• Olshevsky, George, archive. org/web/20070207021813/http://members. aol. com/Polycell/glossary. html#Prismatic Prismatic polytope en Glossary for Hyperspace (anglés)
• comcast. net/~tpgettys/nonconvexprisms. html Prismes i antiprismas no convexos (anglés)
• archive. org/web/20141009113911/http://www. mathguide. com/lessons/SurfaceArea. html#prisms Àrea de la superfície en MATHguide (anglés)
• archive. org/web/20141009114334/http://www. mathguide. com/lessons/Volume. html#prisms Volum en MATHguide (anglés)
• korthalsaltes. com/selecion. php? sl=selecion3 Models de paper de prismes i antiprismas. Rets lliures de prismes i antiprismas (anglés).
• archive. org/web/20141019220935/http://www. software3d. com/Prisms. php Models de paper de prismes i antiprismas usant rets generades per Stella (anglés)
• software3d. com/Stella. phpStella: Navigador Poliedre: Software utilisat per a crear les imàgens 3D i 4D en esta pàgina (anglés).