Desenroll d'un poliedre
En geometria, el desenroll d'un poliedre és una disposició d'arestes que formen polígons sobre un mateix pla, de manera que no se superponen i que es poden plegar (per les seues arestes) per a convertir-se en les cares del poliedre. Són una útil ferramenta per a l'estudi dels poliedres i de la geometria de l'espai en general, ya que permeten construir models físics de poliedres en materials tan simples com una cartulina.[1]
Un eixemple primerenc de desenrolls de poliedres apareix en les obres d'Alberto Durero, el llibre de les quals de 1525 Un curs en l'art de la medició en compàs i regla (Unterweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheyd) incloïa el desplegament dels sòlits platònics i de varis dels sòlits arquimedianos.[2] Estes construccions varen ser mencionades en nom propi per primera volta en 1543 per Augustin Hirschvogel.[3]
Existència i unicitat
[editar | editar còdic]Poden existir molts desenrolls diferents per a un poliedre donat, depenent de l'elecció de quines vores s'unixen i quins se separen. Les vores que es tallen d'un poliedre convexo per a formar un desenroll deuen formar un arbre d'expansió del poliedre, pero tallar alguns arbres d'expansió pot fer que el poliedre es solape quan es desplega, en lloc de formar un desenroll correcte.[4] A l'inversa, un desenroll donat pot plegar-se en més d'un poliedre convexo diferent, segons els ànguls en els que es doblen les seues vores i l'elecció de quines vores unir.[5] Si es dona un desenroll junt en un patró per a pegar les seues vores, tal que cada vèrtiç de la forma resultant tinga defecte angular positiu i tal que la suma d'estos defectes siga exactament 4Π, llavors necessàriament existix exactament un únic poliedre corresponent al desenroll donat, d'acort en el teorema d'unicitat de Aleksándrov. No obstant, el poliedre format d'esta manera pot tindre cares diferents a les especificades com a part del desenroll: alguns dels polígons del desenroll poden tindre plecs a través d'ells i alguns de les vores entre els polígons del desenroll poden permanéixer desplegats. Ademés, el mateix desenroll pot tindre varis patrons de pegat vàlits, lo que dona lloc a diferents poliedres plegats.[6]
En 1975, G. C. Shephard es va preguntar si cada poliedre convexo té a lo manco un desenroll o un desplegament sense interseccions de les seues arestes.[7] Esta pregunta, que també es coneix com la conjectura de Durero, o el problema de desenroll de Durero, seguix sense resposta.[8][9][10] Existixen poliedres no convexos que carixen de desenroll, encara que se sap que és possible subdividir les cares de tot poliedre convexo (per eixemple en un lloc de tall) de modo que el cada u dels elements del conjunt de cares subdivididas tinga un desenroll.[4] En 2014 Mohammad Ghomi va demostrar que tot poliedre convexo admet un desenroll despuix d'aplicar-li una transformació afí.[11] Ademés, en 2019 Barvinok i Ghomi varen demostrar que una generalisació de la conjectura de Durero falla per a les "pseudoaristas",[12] és dir, un desenroll de llínees geodèsiques que conecten els vèrtiços del poliedre i formen un gràfic en cares convexas.
Una pregunta oberta relacionada, formula la qüestió de si cada desenroll d'un poliedre convexo posseïx un desplegament, és dir, un moviment continu que no es talla a sí mateixa des del seu estat pla fins al seu estat plegat i que manté cada cara plana durant tot el moviment.[13]
Ruta més curta
[editar | editar còdic]El recorregut més curt sobre la superfície entre dos punts en la superfície d'un poliedre correspon a una llínea recta sobre un desenroll adequat per al subconjunt de cares travessades pel recorregut. El desenroll té que ser tal que la llínea recta quede completament dins del seu interior, i és possible que deguen considerar-se varis desenrolls distints per a determinar quin d'ells dona el camí més curt. Per eixemple, en el cas d'un gaveta, si els punts estan en cares adjacents, un candidat per al camí més curt és aquell que creua l'aresta comuna. El camí més curt d'este tipo es troba usant un desenroll a on les dos cares també són adjacents. Atres candidats per al camí més curt són a través de la superfície d'una tercera cara adjacent a abdós (de les quals hi ha dos), i es poden usar desenrolls corresponents per a trobar el camí més curt en cada categoria.[14]
El problema de l'aranya i la mosca és un rompecabezas de matemàtica recreativa que consistix en trobar el camí més curt entre dos punts en un paralelepípede.
Vore també
[editar | editar còdic]Referències
[editar | editar còdic]- ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
- ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».. English translation with commentary in (1977).«The Painter's Manual».New York:
- ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
- ↑ 4,0 4,1 Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
- ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
- ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
- ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
- ↑ Plantilla:Mathworld
- ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
- ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
- ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
- ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
- ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
- ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Desarrollo de un poliedro» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.