Notació orbifold

En geometria, la notació orbifold (o signatura orbifold) és un sistema, inventat pel matemàtic William Thurston i promogut per John Conway, ideat per a representar tipos de grups de simetria en espais bidimensionales de curvatura constant. La ventaja de la notació és que descriu estos grups d'una manera que indica moltes de les seues propietats. En particular, seguix el criteri de William Thurston en descriure l'orbifold obtingut en prendre el cocient del espai euclídeo pel grup en consideració.

Els grups representables en esta notació inclouen els grups de punts en l'esfera ($S^2$), els frisos i el grup del paper pintat en l'espai bidimensional ($E^2$) i els seus anàlecs en el pla hiperbòlic ($H^2$).

Definició de la notació

Els següents tipos de transformació euclídea poden donar-se en un grup descrit per la notació orbifold:

• Reflexió a través d'una llínea (o pla)
• Translació per un vector
• Rotació d'orde finit al voltant d'un punt
• Rotació infinita al voltant d'una llínea en l'espai tridimensional
• Esmonyida-reflexió, és dir, reflexió seguida de translació

Se supon que totes les translacions possibles formen un subgrup discret de les simetria de grup que es descriuen.

Cada grup es denota en notació orbifold per mig d'una cadena finita formada pels següents símbols:

• Els número entero positius $1,2,3,\dots$
• El símbol infinit, $\mathrm{\infty }$
• El asterisc, *
• El símbol o (un círcul sòlit en documents més antics), que es denomina maravella ("wonder") i també torra perque topológicamente representa una superfície tancada anàloga a un bou (en un torra). Els patrons es repetixen segons dos translacions.
• El símbol $\times$ (un círcul obert en documents més antics), que es denomina milacre ("miracle") i representa una banda de Möbius, a on topológicamente un patró es repetix com una image especular sense creuar una llínea especular.

Una cadena escrita en lletra negreta representa un grup de simetria de l'espai tridimensional euclídeo. Una cadena que no està escrita en negreta representa un grup de simetria del pla euclídeo, que se supon que conté dos translacions independents.

Cada símbol correspon a una transformació distinta:

• Un sancer n a l'esquerra d'un asterisc indica un moviment de rotació d'orde n al voltant d'un punt de gir.
• Un número entero n a la dreta d'un asterisc indica una transformació d'orde 2n que gira al voltant d'un punt caleidoscópico i es reflectix a través d'una llínea (o pla).
• Un $\times$ indica un reflex respecte a un pla.
• El símbol $\mathrm{\infty }$ indica simetria rotacional infinita al voltant d'una llínea. Solament pot ocórrer per a grups en negreta. Per abús de llenguage, se sol dir que tal grup és un subgrup de simetria del pla euclídeo en una sola translació independent. Els frisos es generen d'esta manera.
• El símbol excepcional o indica que existixen precisament dos translacions linealmente independents.

Orbifolds bons

Un símbol orbifold es denomina bo si no és un dels següents: p, pq, *p, *pq, per a p, q ≥ 2 i p ≠ q.

Quiralidad i aquiralidad

Un objecte és quiral si el seu grup de simetria no conté reflexions; de lo contrari es denomina aquiral. El orbifold corresponent és orientable en el cas quiral i no orientable en el cas contrari.

Vore també

• Mutació de orbifolds
• Notació fibrifold: una extensió de la notació orbifold per al grup espacial 3d

Bibliografia

• John H. Conway, Olaf Prim Friedrichs, Daniel H. Huson, and William P. Thurston. On Three-dimensional Orbifolds and Space Groups. Contributions to Algebra and Geometry, 42(2):475-507, 2001.
• J. H. Conway, D. H. Huson. The Orbifold Notation for Two-Dimensional Groups. Structural Chemistry, 13 (3-4): 247–257, August 2002.

• J. H. Conway (1992). "The Orbifold Notation for Surface Groups". In: M. W. Liebeck and J. Saxl (eds.), Groups, Combinatorics and Geometry, Proceedings of the L.M.S. Durham Symposium, July 5–15, Durham, UK, 1990; London Math. Soc. Lecture Notes Séries 165. Cambridge University Press, Cambridge. pp. 438–447
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5
• (2019).«Cohomology of Fuchsian Groups and Senar-Euclidean Crystallographic Groups».