Densitat (politopo)
En geometria, la densitat d'un politopo representa el número de voltes que un politopo (particularment un politopo regular) envol al seu centre. La densitat és l'equivalent al índex de la "curva" frontera del polígon. Pot ser visualment determinat contant el número mínim de cares o arestes que creua un raig traçat des del centre de la figura a l'infinit.
La densitat és constant a través de qualsevol regió interior contínua d'un politopo i que no creue cap de les seues cares. Per a un politopo sense creus ("acóptico") la densitat és 1 en tot el seu interior.
Teselados en cares superpostes poden definir de modo semblat la seua densitat com el número de cares de cobertura sobre qualsevol punt donat.[1]
Polígons
[editar | editar còdic]La densitat de tot polígon simple, és dir, aquells els costats dels quals no es creuen, és sempre 1 en tot el seu interior.
La densitat d'un polígon estrelat és el número de voltes que les fronteres del polígon rodegen el seu centre; o lo que és lo mateix, el número de fronteres poligonales al voltant del punt central. Per a un polígon estrelat regular {p/q}, la densitat és q.
Pot determinar-se visualment contant el número mínim de creus en una aresta d'un raig llançat des del centre de la figura a l'infinit.
Poliedres
[editar | editar còdic]
|
|
| El gran icosaedre nonconvexo ({3,5/2}) té una densitat de 7, com es demostra en la secció travessera transparent. | |
Arthur Cayley va utilisar la densitat com la manera de modificar la Característica de Euler (V - I + F = 2) per a treballar en poliedres regulars estrelats, a on dv és la densitat d'una figura de vèrtiços, df d'una cara i D la del poliedre complet: F = 2D[2]
- dv V − I + d f
Per eixemple, el gran icosaedre, {3, 5/2}, té 20 cares triangulars (df = 1), 30 vores i 12 figures pentagrámicas de vèrtiços (dv = 2), donant
- 2·12 − 30 + 1·20 = 14 = 2D.
Açò implica una densitat de 7. La fòrmula del poliedre de Euler sense modificar falla per al menut dodecaedre estrelat {5/2, 5} i el seu dual el gran dodecaedre {5, 5/2}, per al que V − I + F = −6.
Els poliedres regulars estrelats existixen en parelles duals, tenint cada figura la mateixa densitat que el seu dual: aixina, la parella (menut dodecaedre estrelat—gran dodecaedre) té una densitat de 3, mentres que la parella de (gran dodecaedre estrelat–gran icosaedre) té una densitat de 7.
Hess va generalisar la fòrmula per a poliedres estrelats en diferents classes de cares, alguns dels quals poden plegar-se sobre uns atres. El valor resultant de la densitat correspon al número de voltes que les esferes associades al poliedre envolen el seu centre.
Açò va permetre a Coxeter i a uns atres determinar les densitat de la majoria dels poliedres uniformes.[3]
Per als hemipoliedros, algunes de que les seues cares passen a través del seu centre, la densitat no pot ser definida. Els poliedres no-orientables (figures assimilables a una banda de Moebius) tampoc tenen densitat ben definides.
Notes
[editar | editar còdic]- ↑ Coxeter, H. S. M; The Beauty of Geometry: Twelve Essays (1999), Dover Publications, Plantilla:LCCN, ISBN 0-486-40919-8 (206–214, Density of regular honeycombs in hyperbolic space)
- ↑ Cromwell, P.; Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999).
- ↑ Coxeter, 1954 (Section 6, Density and Table 7, Uniform polyhedra)
Referències
[editar | editar còdic]- Coxeter, H. S. M.; Regular Polytopes, (3.ª edició, 1973), edició de Dover, ISBN 0-486-61480-8
- Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».Série Un. Ciències matemàtiques i Físiques 246 (916): 401–450, doi:10.1098/rsta.1954.0003, ISSN 0080-4614, JSTOR 91532, SEÑOR 0062446
- Wenninger, Magnus J. (1979), "Una introducció a l'idea de densitat polièdrica", Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas»., Archiu de TAZA, pp. Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas»., Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas». Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Densidad (politopo)» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.