Politopo uniforme

Politopos uniformes convexos

2D	3D
Triàngul truncat o hexàgon uniforme, en diagrama de Coxeter-Dynkin Plantilla:DCD	Octaedre truncat Plantilla:DCD
4D	5D
16-celes truncat Plantilla:DCD	Archiu:5-cube t34 caps block 3 .svg 5-ortoplex truncat Plantilla:DCD

En geometria, un politopo uniforme de dimensió tres o superior és una forma geomètrica isogonal delimitada per facetes uniformes. Els politopos uniformes en dos dimensions són els polígons regulars (la definició és diferent en 2 dimensions, per a excloure als polígons de costats pares vèrtiç-transitivos que alternen dos llongituts diferents d'arestes).

Esta és una generalisació de la categoria anterior de politopos semirregulares, pero també inclou els politopos regulars. Ademés, es permeten tant cares regulars com figures de vèrtiç en forma d'estrela (polígons estrelats), lo que amplia enormement les possibles solucions. Una definició estricta requerix que els politopos uniformes siguen finitos, mentres que una definició més àmplia permet que els panales uniformes (teselados bidimensionales i panales de dimensions superiors) dels espais euclídeo i hiperbòlic també es consideren politopos.

Operacions

Casi tots els politopos uniformes poden generar-se a partir d'una construcció de Wythoff i representar-se per mig d'un diagrama de Coxeter-Dynkin. Excepcions notables són el gran dirrombicosidodecaedro en tres dimensions i el gran antiprisma en quatre dimensions. La terminologia per als politopos uniformes convexos (utilisada en els artículs poliedre uniforme, 4-politopo uniforme, 5-politopo uniforme, 6-politopo uniforme, teselado uniforme i panal convexo uniforme) va ser falcada per Norman Johnson.

De manera equivalent, els politopos wythoffianos es poden generar aplicant operacions bàsiques als politopos regulars en estes dimensions. Este enfocament va ser utilisat per primera volta per Johannes Kepler, i és la base de la notació de poliedres de Conway.

Operadors de rectificació

Els n-politopos regulars tenen n órdens de rectificació. La rectificació zero és la forma original. La (n−1)-ésima rectificació és el poliedre conjugat. Una rectificació reduïx les arestes a vèrtiços, una birrectificación reduïx les cares a vèrtiços, una trirrectificación reduïx les celes a vèrtiços, una cuatrirrectificación reduïx les 4-cares a vèrtiços, una quintirrectificación reduïx les 5-cares a vèrtiços, i aixina successivament.

Es pot utilisar un símbol de Schläfli estés per a representar formes rectificades, en un sol subíndex:

• k-ésima rectificació = t_k{p₁, p₂, ..., p_n-1} = kr.

Operadors de truncació

Les operacions de truncació es poden aplicar a n-politopos regulars en qualsevol combinació. El diagrama de Coxeter resultant té dos nodos anellats i l'operació rep el nom de la distància entre ells. La truncació talla vèrtiços, el canteado' curta arestes, la runcinación curta cares, i la estericación curta celes. Cada operació superior també comprén a les inferiors, de modo que (per eixemple), un canteado també trunca vèrtiços.

1. t_0,1 o t: Truncació: s'aplica a polígons i a figures de dimensions superiors. Una truncació elimina els vèrtiços i inserta una nova faceta en lloc de cada uns dels vèrtiços anteriors. Les cares es trunquen, duplicant el seu número d'arestes (el terme, falcat per Johannes Kepler, prové del llatí truncara, "tallar".)

   

   • També hi ha truncació superiors: bitruncamiento t_1,2 o 2t, tritruncamiento t_2,3 o 3t, cuatritruncamiento t_3,4 o 4t, quintitruncamiento t_4,5 o 5t, etc.
2. t_0,2 o rr: Canteado: s'aplica a poliedres i a figures de dimensions superiors. Pot vore's com una rectificació d'una primera rectificació. Un canteado trunca tant els vèrtiços com les arestes i els reemplaça per noves facetes. Les cèlules són reemplaçades per còpies topológicamente expandides de sí mateixes (el terme, falcat per Johnson, es deriva del verp cant, com biselar", que significa tallar segons un pla inclinat).

   

   • També hi ha canteados superiors: bicanteado t_1,3 o r2r, tricanteado t_2,4 o r3r, cuatricanteado t_3,5 o r4r, etc.
   • t_0,1,2 o tr: Cantitruncamiento: s'aplicada a poliedres i a figures de dimensions superiors. Es pot considerar que trunca una forma rectificada. Un cantitruncamiento secciona tant els vèrtiços com les arestes, i els reemplaça per noves facetes. Les cèlules són reemplaçades per còpies topológicamente expandides de sí mateixes (el terme compost combina canteado i truncació)
     • També hi ha cantitruncamientos superiors: bicantitruncamiento t_1,2,3 o t2r, tricantitruncamiento t_2,3,4 o t3r, cuatricantitruncamiento t_3,4,5 o t4r, etc.
3. t_0,3: Runcinado: s'aplica a 4-politopos uniformes i a figures de dimensions superiors. El runcinado trunca vèrtiços, arestes i facetes, reemplaçant-los a cada u per noves facetes. Les 4-facetes són reemplaçades per còpies topológicamente expandides de sí mateixes (el terme, falcat per Johnson, es deriva del llatí runcina, la "garlopa" usada pels carpinteros).
   • També hi ha runcinados superiors: birruncinado t_1,4, trirruncinado t_2,5, etc.
4. t_0,4 o 2r2r: Estericación: s'aplica a 5-politopos uniformes i figures de dimensions superiors. Pot vore's com una birrectificación d'una birrectificación. La estericación trunca vèrtiços, arestes, cares i celes, reemplaçant cada u per noves facetes. Les 5-cares són reemplaçades per còpies topológicamente expandides de sí mateixes (el terme, falcat per Johnson, es deriva del grec estéreo, "sòlit".)
   • També hi ha estericaciones superiors: biestericación t_1,5 o 2r3r, triestericación t_2,6 o 2r4r , etc.
   • t_0,2,4 o 2t2r: Estericanteado: s'aplica a 5-politopos uniformes i a figures de dimensions superiors. Pot vore's com el bitruncamiento d'una birrectificación.
     • També hi ha estericanteados superiors: biestericanteado' t_1,3,5 o 2t3r, tristericanteado t_2,4,6 o 2t4r, etc.

1. t_0,5: Pentelación: s'aplica a 6-politopos uniformes i a figures de dimensions superiors. La pentelación trunca vèrtiços, arestes, cares, celes i 4-cares, reemplaçant cada u per noves facetes. Les 6-cares són reemplaçades per còpies topológicamente expandides de sí mateixes(el terme pentelación deriva del prefix grec pente, "cinc").
   • També hi ha pentelaciones superiors: bipentelación t_1,6, tripentelacion t_2,7, etc.
2. t_0,6 o 3r3r: Hexilación: s'aplica a 7-politopos uniformes i a figures de dimensions superiors. Pot vore's com una trirectificación d'una trirectificación. La hexilación trunca vèrtiços, arestes, cares, celes, 4-cares i 5-cares, reemplaçant cada u per noves facetes. Les 7-cares són reemplaçades per còpies topológicamente expandides de sí mateixes (el terme hexilación deriva del grec hex, "sis").
   • També hi ha hexilaciones superiors: bihexilación': t_1,7 o 3r4r, trihexilación: t_2,8 o '3r5r, etc.
   • t_0,3,6 o 3t3r: Hexiruncinado: s'aplica a 7-politopos uniformes i a figures de dimensions superiors. Pot vore's com un tritruncamiento d'una trirectificación.
     • També hi ha hexiruncinaciones superiors: bihexiruncinado: t_1,4,7 o 3t4r, trihexiruncinado: t_2,5,8 o 3t5r, etc.
3. t_0,7: Heptelación: s'aplica a 8-politopos uniformes i a figures de dimensions superiors. La heptelación trunca vèrtiços, arestes, cares, celes, 4 cares, 5-cares i 6-cares, reemplaçant cada una per noves facetes. Les 8-cares són reemplaçades per còpies topológicamente expandides de sí mateixes (el terme heptelación deriva del grec hepta, "sèt").
   • També hi ha heptelaciones superiors: biheptelación t_1,8, triheptelación t_2,9, etc.
4. t_0,8 o 4r4r: Octelación: s'aplica a 9-politopos uniformes i a figures de dimensions superiors.
5. t_0,9: Enelación: s'aplica a 10-politopos uniformes i a figures de dimensions superiors.

Ademés, es poden realisar combinacions de truncació que també generen nous politopos uniformes. Per eixemple, un runcitruncamiento és una runcinación i una truncació aplicats junts.

Si s'apliquen totes les truncació al mateix temps, l'operació pot denominar-se de manera més general com omnitruncado.

Alternación

Vore també: Achatado (geometria)

La alternación d'un cuboctaedro truncat produïx un gaveta romo

Una operació especial, cridada alternación, elimina vèrtiços alternatius d'un politopo que solament té cares parells. Un politopo omnitruncado alternat es diu romo.

Els politopos resultants sempre es poden construir, i generalment no són reflectantes i, en general, tampoc tenen solucions de politopos uniformes.

El conjunt de politopos formats alternant un hipercubo es coneixen com demicubos. En tres dimensions, esta operació produïx un tetraedre; en quatre dimensions, es genera un 16-celes, o demiteseracto.

Figura de vèrtiç

Es poden construir politopos uniformes a partir del seu figura de vèrtiç, la disposició d'arestes, cares, celes, o atres elements de dimensions superiors al voltant de cada vèrtiç. Els politopos uniformes representats per un diagrama de Coxeter-Dynkin, que marquen espills actius per mig d'anells, tenen simetria reflexiva i poden construir-se simplement a partir de reflexions recursivas de la figura del vèrtiç.

Un número menor de politopos uniformes no reflexius tenen una única figura de vèrtiç, pero que no es repetix per mig de reflexions simples. La majoria d'estos cossos es poden representar en operacions com l'alternación d'atres politopos uniformes.

Les figures de vèrtiç per a diagrames de Coxeter d'anell únic es poden construir a partir del diagrama, eliminant el nodo anellat i anellant els nodos veïns. Estes figures de vèrtiç són en sí mateixes vèrtiç-transitivas.

Els politopos d'anells múltiples es poden generar amprant un procés de construcció una miqueta més complicat i la seua topología no és un politopo uniforme. Per eixemple, la figura del vèrtiç d'un politopo regular truncat (en 2 anells) és una piràmide. Un politopo omnitruncado (tots els nodos anellats) sempre tindrà un símplex irregular com a figura de vèrtiç.

Vore també

• Símbol de Schläfli

Bibliografia

• Coxeter The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999, Plantilla:Isbn (Chapter 3: Wythoff's Construction for Uniform Polytopes)
• Norman Johnson Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
  • N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
• A. Boole Stott: Geometrical deduction of semiregular from regular polytopes and space fillings, Verhandelingen of the Koninklijke academy van Wetenschappen width unit Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
• H.S.M. Coxeter:
  • H.S.M. Coxeter, M.S. Longuet-Higgins and J.C.P. Miller: Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
  • H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd Edition, Dover New York, 1973
• Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Àsia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, Plantilla:Isbn
  • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Harold Scott MacDonald Coxeter, Longuet-Higgins, Miller, Uniform polyhedra, Phil. Trans. 1954, 246 A, 401-50. (Estendre Schläfli notation used)
• Marque Möller, Vierdimensionale Archimedische Polytope, Dissertation, Universität Hamburg, Hamburg (2004) Plantilla:In lang