Expansió (geometria)

Un eixemple de cóm expandir un pentàgon per a transformar-ho en un decágono, alluntant els seus costats del centre i insertant nous costats en els espais creats. La expansió és uniforme si tots els costats tenen la mateixa llongitut

Animació mostrant l'expansió d'un gaveta i d'un octaedre

En geometria, la expansió és una operació sobre un politopo en la que les facetes se separen i es mouen radialment per a forma noves facetes entre els elements separats (vèrtiços, arestes i atres elements de dimensions superiors). De manera equivalent, esta operació es pot imaginar mantenint les facetes en la mateixa posició pero reduint el seu tamany.

L'expansió d'un politopo regular crea un politopo uniforme, pero l'operació es pot aplicar a qualsevol politopo convexo, com es demostra per als poliedres en la notació de Conway (que representa l'expansió en la lletra i). Per als poliedres, un poliedre expandit conserva totes les cares del poliedre original, i afig totes les cares del poliedre conjugat i una série de noves cares quadrades en lloc de les arestes originals.

Expansió de politopos regulars

Segons Harold Scott MacDonald Coxeter, este terme multidimensional va ser definit per Alicia Boole Stott per a crear nous politopos, específicament a partir de politopos regulars en la finalitat de construir nous politopos uniformes.

L'operació de expansió és simètrica sobre un politopo regular i el seu dual. La figura resultant conté les facetes tant del politopo original com del seu dual, junt en vàries facetes prismàtiques que omplin els espais creats entre els elements dimensionals intermijos.

Té significats alguna cosa diferents per dimensió. En una construcció de Wythoff, es genera una expansió pels reflexos del primer i de l'últim espill. En dimensions superiors, les expansions de dimensions inferiors es poden escriure en un subíndex, per lo que i₂ és lo mateix que t_0,2 en qualsevol dimensió.

Per dimensiónes:

• Un {p} polígon regular s'expandix fins a convertir-se en un 2n-gono regular.
  • L'operació és idèntica al truncació per als polígons; aixina, i{p} = i₁{p} = t_0,1{p} = t{p} i té diagrama de Coxeter-Dynkin Plantilla:DCD.
• Un poliedre {p,q} (3-politopo) regular s'expandix formant un poliedre en figura de vèrtiç p.4.q.4.
• Esta operació per a poliedres també es diu canteado; i aixina, i{p,q} = i₂{p,q} = t_0,2{p,q} = rr{p,q}, i té el diagrama de Coxeter Plantilla:DCD.

  • 

    Per eixemple, un rombicuboctaedro pot denominar-se gaveta expandida, octaedre expandit, aixina com gaveta canteado o octaedre canteado.

• Un polícoro {p,q,r} (4-politopo) regular s'expandix a un nou 4-politopo en les celes {p,q} originals, noves celes {r,q} en lloc dels vèrtiços antics, prismes p-gonales en lloc de les cares antigues i prismes r-gonales en lloc de les arestes antigues.
  • Esta operació per a 4-politopos també es diu runcinado; i aixina i{p,q,r} = i₃{p,q,r} = t_0,3{p,q,r}, i té el diagrama de Coxeter Plantilla:DCD.
• De manera similar, un 5-politopo {p,q,r,s} regular s'expandix en un nou 5-politopo en facetes {p,q,r}, {s,r,q}, {p,q}×{ } prismes, {s,r}×{ } prismes i {p}×{s} duoprismas.
  • Esta operació es diu estericación; de manera que i{p,q,r,s} = i₄{p,q,r,s} = t_0,4{p,q,r,s} = 2r2r{p,q,r,s } i té diagrama de Coxeter Plantilla:DCD.

L'operador general per a l'expansió d'un n-politopo regular és t_0,n-1{p,q,r,...}. S'agreguen noves facetes regulars en cada vèrtiç, i s'agreguen nous politopos prismàtics en cada aresta dividida, cara,... faceta, etc.

Vore també

• Notació de poliedres de Conway

Referències

• Plantilla:Mathworld
• Coxeter, H. S. M., Regular Polytopes. 3ª edició, Dover, (1973) ISBN 0-486-61480-8.
• Norman Johnson Politopos uniformes, Manuscrit (1991)
  • N.W. Johnson: La teoria dels politopos uniformes i els panales, Ph.D. Dissertació, Universitat de Toronto, 1966