Achatado (geometria)

Els dos sòlits arquimedianos romos

Archiu:Uniform polyhedron-43-s012.svg Gaveta romo o cuboctaedro romo

Archiu:Uniform polyhedron-53-s012.png Dodecaedre romo o icosidodecaedro romo

Archiu:Snubcubes in grCO es.svg

Dos còpies quirales de la gaveta romo, eliminant vèrtiços alternats (rojos o verts) d'un cuboctaedro truncat

Archiu:Caps block 0 .gif

Un gaveta romo es pot construir a partir d'un rombicuboctaedro girant les 6 cares quadrades blaves fins que les 12 cares quadrades blanques es convertixquen en parells de cares triangulars equiláteras

En geometria, el achatado és una operació que aplicada sobre un poliedre permet obtindre a partir d'ell un poliedre romo. El terme utilisat per a denominar a esta operació en anglés (snub), té el seu orige en els noms donats a dos sòlits arquimedianos (el gaveta romo i el dodecaedre romo) per Johannes Kepler, qui els va cridar cubus simus i dodecaedron simum. En general, els poliedres romos presenten dos formes en simetria quiral: en orientació horària o antihoraria. Segons els noms de Kepler, un poliedre romo pot vore's com una expansió d'un poliedre regular per mig del procediment següent: separant les cares, girant-les al voltant dels seus centres, agregant nous polígons centrats en els vèrtiços originals i agregant parells de triànguls que s'ajusten entre les arestes originals.

Harold Scott MacDonald Coxeter va generalisar la terminologia, en una definició llaugerament diferent, per a un conjunt més ampli de politopos uniformes.

Achatado de Conway

John Conway va explorar els operadors de poliedres generalisats, definint lo que ara es diu notació de poliedres de Conway, que es pot aplicar a poliedres i teselados. Conway crida a l'operació de Coxeter un "semi-achatado".

En esta notació, l'achatado de Conway es definix per mig dels operadors dual i gyro, com a s = dg, i és equivalent a l'alternança d'una truncació d'un ambo. La notació de Conway en sí mateixa evita l'operació de (semi) alternança de Coxeter, ya que solament s'aplica a poliedres en cares d'un número par d'arestes.

Figures regulars romas

Formes de achatado	Poliedres			Teselados euclídeos		Teselados hiperbòlics
Noms	Tetraedre	Gaveta o octaedre	Icosaedre o dodecaedre	Teselado quadrat	Teselado hexagonal o teselado triangular	Teselado heptagonal o teselado triangular d'orde-7
Imàgens	Archiu:Uniform polyhedron-33-t0.svgArchiu:Uniform polyhedron-33-t2.svg	Archiu:Uniform polyhedron-43-t0.svgArchiu:Uniform polyhedron-43-t2.svg	Archiu:Uniform polyhedron-53-t0.svgArchiu:Uniform polyhedron-53-t2.svg	Archiu:Uniform tiling 44-t0.svgArchiu:Uniform tiling 44-t2.svg	Archiu:Uniform tiling 63-t0.svgArchiu:Uniform tiling 63-t2.svg	Archiu:Heptagonal tiling.svgArchiu:Order-7 triangular tiling.svg
Forma roma Notació de Conway	sT	sC = baix	si = sD	sQ	sH = sΔ	sΔ7
Image	Archiu:Uniform polyhedron-33-s012.svg	Archiu:Uniform polyhedron-43-s012.svg	Archiu:Uniform polyhedron-53-s012.png	Archiu:Uniform tiling 44-snub.svg	Archiu:Uniform tiling 63-snub.svg	Archiu:Snub triheptagonal tiling.svg

En 4 dimensions, Conway sugerix que el 24-celes romo deuria cridar-se "24-celes semirromo" perque, a diferència dels poliedres achatados tridimensionals que són formes omnitruncadas alternades, no és un 24-celes omnitruncado alternat. En canvi, és en realitat un 24-celes truncat alternat.

Formes romas de Coxeter, regulars i casi regulars

Gaveta romo, derivat de la gaveta o cuboctaedro

	Llavor	Rectificat r	Truncat t	Alternat h
Nom	Gaveta	Cuboctaedro Gaveta rectificada	Cuboctaedro truncat Gaveta cantitruncado	Cuboctaedro romo Gaveta romo rectificat
Notació de Conway	C	CO rC	tCO trC o trO	htCO = sCO htrC = srC
Símbol de Schläfli	{4,3}	$\left\{\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right\}$ o r{4,3}	$t\left\{\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right\}$ o tr{4,3}	$ht\left\{\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right\}=s\left\{\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right\}$ htr{4,3} = sr{4,3}
Diagrama de Coxeter	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD o Plantilla:DCD	Plantilla:DCD o Plantilla:DCD	Plantilla:DCD o Plantilla:DCD
Image	Archiu:Uniform polyhedron-43-t0.svg	Archiu:Uniform polyhedron-43-t1.svg	Archiu:Uniform polyhedron-43-t012.png	Archiu:Uniform polyhedron-43-s012.svg

La terminologia per al achatado d'Harold Scott MacDonald Coxeter és llaugerament diferent, lo que significa alternat truncat, derivant gaveta romo com "cuboctaedro achatado", i dodecaedre romo com "icosidodecaedro achatado". Esta definició s'utilisa en la denominació de dos sòlits de Johnson: el biesfenoide romo i l'antiprisma quadrat romo, i de politopos de dimensions superiors, com el 24-celes romo de 4 dimensions, en el símbol de Schläfli estés s{3,4,3} i el diagrama de Coxeter Plantilla:DCD.

Un poliedre regular (o teselado), en el símbol de Schläfli $\left\{\begin{array}{c}p,q\end{array}\right\}$ i diagrama de Coxeter-Dynkin Plantilla:DCD, té un truncació definit com $t\left\{\begin{array}{c}p,q\end{array}\right\}$ i Plantilla:DCD, i té un achatamiento definit com un alternat truncat $ht\left\{\begin{array}{c}p,q\end{array}\right\}=s\left\{\begin{array}{c}p,q\end{array}\right\}$ i Plantilla:DCD. Esta construcció en un alternat requerix que q siga parell.

Un poliedre cuasirregular, en el símbol de Schläfli $\left\{\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right\}$ o r{p,q}, i el diagrama de Coxeter Plantilla:DCD o Plantilla:DCD, té un truncació cuasiregular definit com $t\left\{\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right\}$ o tr{p ,q} i Plantilla:DCD o Plantilla:DCD, i té un snub cuasiregular definit com una rectificació truncada alternada $ht\left\{\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right\}=s\left\{\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right\}$ o htr{p,q} = sr' '{p,q} i Plantilla:DCD o Plantilla:DCD.

Per eixemple, el gaveta romo de Kepler es deriva del cuboctaedro (un poliedre cuasirregular), en un símbol de Schläfli $\left\{\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right\}$ vertical i diagrama de Coxeter-Dynkin Plantilla:DCD, per lo que es denomina més explícitament cuboctaedro romo, expressat per un símbol vertical de Schläfli $s\left\{\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right\}$ i diagrama de Coxeter Plantilla:DCD. El cuboctaedro romo és l'alternat del cuboctaedro truncat, $t\left\{\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right\}$ i Plantilla:DCD.

Els poliedres regulars en vèrtiços d'orde parell també es poden achatar com a truncació alternades, com en el cas del octaedre romo, ya que $s\left\{\begin{array}{c}3,4\end{array}\right\}$, Plantilla:DCD, és l'alternat del octaedre truncat, $t\left\{\begin{array}{c}3,4\end{array}\right\}$ i Plantilla:DCD. El octaedre romo representa l'icosaedre, un icosaedre regular en simetria piritoedral.

El tetratetraedro romo, com $s\left\{\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right\}$ i Plantilla:DCD, és l'alternat de la forma de simetria tetraèdrica truncada, $t\left\{\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right\}$ i Plantilla:DCD.

	Llavor	Truncat t	Alternat h
Nom	Octaedre	Octaedre truncat	Octaedre romo
Notació de Conway	O	tO	htO o baix
Símbol de Schläfli	{3,4}	t{3,4}	ht{3,4} = s{3,4}
Diagrama de Coxeter	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD
Image	Archiu:Uniform polyhedron-43-t2.svg	Archiu:Uniform polyhedron-43-t12.svg	Archiu:Uniform polyhedron-43-h01.svg

L'operació de achatado de Coxeter també permet que els n-antiprismas es definixquen com $s\left\{\begin{array}{c}2\\ n\end{array}\right\}$ o $s\left\{\begin{array}{c}2,2n\end{array}\right\}$, en funció dels n-prismes $t\left\{\begin{array}{c}2\\ n\end{array}\right\}$ o $t\left\{\begin{array}{c}2,2n\end{array}\right\}$, mentres que $\left\{\begin{array}{c}2,n\end{array}\right\}$ és un n-hosoedro regular, un poliedre degenerado, pero un mosaic vàlit en l'esfera en cares en forma de dígonos o de lúnula.

Hosoedro romo, {2,2p}

Image	Archiu:Digonal antiprism.svg	Archiu:Trigonal antiprism.png	Archiu:Square antiprism.png	Archiu:Pentagonal antiprism.png	Archiu:Hexagonal antiprism.png	Archiu:Antiprism 7.png	Archiu:Octagonal antiprism.png	Archiu:Infinite antiprism.svg
Diagrames de Coxeter	Plantilla:DCD Plantilla:DCD	Plantilla:DCD Plantilla:DCD	Plantilla:DCD Plantilla:DCD	Plantilla:DCD Plantilla:DCD	Plantilla:DCD Plantilla:DCD	Plantilla:DCD Plantilla:DCD	Plantilla:DCD... Plantilla:DCD...	Plantilla:DCD Plantilla:DCD
Símbols de Schläfli	s{2,4}	s{2,6}	s{2,8}	s{2,10}	s{2,12}	s{2,14}	s{2,16}...	s{2,∞}
	sr{2,2} $s\left\{\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right\}$	sr{2,3} $s\left\{\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right\}$	sr{2,4} $s\left\{\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right\}$	sr{2,5} $s\left\{\begin{array}{c}2\\ 5\end{array}\right\}$	sr{2,6} $s\left\{\begin{array}{c}2\\ 6\end{array}\right\}$	sr{2,7} $s\left\{\begin{array}{c}2\\ 7\end{array}\right\}$	sr{2,8}... $s\left\{\begin{array}{c}2\\ 8\end{array}\right\}$...	sr{2,∞} $s\left\{\begin{array}{c}2\\ \mathrm{\infty }\end{array}\right\}$
Notació de Conway	A2 = T	A3 = O	A4	A5	A6	A7	A8...	A∞

El mateix procés s'aplica a les teselas romas:

Teselado triangular Δ	Teselado triangular truncat tΔ	Teselado triangular romo htΔ = sΔ
{3,6}	t{3,6}	ht{3,6} = s{3,6}
Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD
Archiu:Uniform tiling 63-t2.svg	Archiu:Uniform tiling 63-t12.svg	Archiu:Uniform tiling 63-h12.svg

Eixemples

Achatados basats en {p,4}

Espai	Esfèric		Euclídeo	Hiperbòlic
Image	Archiu:Digonal antiprism.svg	Archiu:Uniform polyhedron-43-h01.svg	Archiu:Uniform tiling 44-h01.svg	Archiu:Uniform tiling 542-h01.png	Archiu:Uniform tiling 64-h02.png	Archiu:Uniform tiling 74-h01.png	Archiu:Uniform tiling 84-h01.png	Archiu:Uniform tiling i42-h01.png
Diagrama de Coxeter	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	...Plantilla:DCD
Símbol de Schläfli	s{2,4}	s{3,4}	s{4,4}	s{5,4}	s{6,4}	s{7,4}	s{8,4}	...s{∞,4}

Achatados cuasirregulares basats en r{p,3}

Notació de Conway	Esfèric				Euclídeo	Hiperbòlic
Image	Archiu:Trigonal antiprism.png	Archiu:Uniform polyhedron-33-s012.svg	Archiu:Uniform polyhedron-43-s012.svg	Archiu:Uniform polyhedron-53-s012.png	Archiu:Uniform tiling 63-snub.svg	Archiu:Snub triheptagonal tiling.svg	Archiu:Caps block 63 -snub.svg	Archiu:Uniform tiling i32-snub.png
Diagrama de Coxeter	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	...Plantilla:DCD
Símbol de Schläfli	sr{2,3}	sr{3,3}	sr{4,3}	sr{5,3}	sr{6,3}	sr{7,3}	sr{8,3}	...sr{∞,3}
	$s\left\{\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right\}$	$s\left\{\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right\}$	$s\left\{\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right\}$	$s\left\{\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right\}$	$s\left\{\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right\}$	$s\left\{\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right\}$	$s\left\{\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right\}$	$s\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\infty }\\ 3\end{array}\right\}$
Notació de Conway	A3	sT	sC o baix	sD o si	sΗ o sΔ

Achatados cuasirregulares basats en r{p,4}

Espai	Esfèric		Euclídeo	Hiperbòlic
Image	Archiu:Square antiprism.png	Archiu:Uniform polyhedron-43-s012.svg	Archiu:Uniform tiling 44-snub.svg	Archiu:Caps block 73 -snub.svg	Archiu:Uniform tiling 64-snub.png	Archiu:Uniform tiling 74-snub.png	Archiu:Uniform tiling 84-snub.png	Archiu:Uniform tiling i42-snub.png
Diagrama de Coxeter	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	...Plantilla:DCD
Símbol de Schläfli	sr{2,4}	sr{3,4}	sr{4,4}	sr{5,4}	sr{6,4}	sr{7,4}	sr{8,4}	...sr{∞,4}
	$s\left\{\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right\}$	$s\left\{\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right\}$	$s\left\{\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right\}$	$s\left\{\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right\}$	$s\left\{\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right\}$	$s\left\{\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right\}$	$s\left\{\begin{array}{c}8\\ 4\end{array}\right\}$	$s\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\infty }\\ 4\end{array}\right\}$
Conway notation	A4	sC o baix	sQ

Poliedres romos no uniformes

Els poliedres no uniformes en tots els vèrtiços de valència uniformemente disposts es poden achatar, inclosos alguns conjunts infinits; per eixemple:

Bipirámides romas sdt{2,p} Archiu:Snub square bipyramid sequence es.png Bipirámide quadrada roma Archiu:Snub hexagonal bipyramid sequence es.png Bipirámide hexagonal roma

Bipirámides romas rectificades srdt{2,p} Archiu:Snub rectified hexagonal bipyramid sequence es.png Antiprismas romos s{2,2p} Image Archiu:Snub digonal antiprism.png Archiu:Snub triangular antiprism.png Archiu:Snub square antiprism colored.png Archiu:Snub pentagonal antiprism.png... Símbols de Schläfli ss{2,4} ss{2,6} ss{2,8} ss{2,10}... ssr{2,2} $ss\left\{\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right\}$ ssr{2,3} $ss\left\{\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right\}$ ssr{2,4} $ss\left\{\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right\}$ ssr{2,5}... $ss\left\{\begin{array}{c}2\\ 5\end{array}\right\}$

Poliedres estrelats romos uniformes de Coxeter

Els poliedres estrelats romos es construïxen pel seu triàngul de Schwarz (p q r), en ànguls especularment simètrics ordenats racionalment, i tots els espills actius i alternats.

Poliedres estrelats uniformes romos

Archiu:Retrosnub tetrahedron.png s{3/2,3/2} Plantilla:DCD	Archiu:Small snub icosicosidodecahedron.png s{(3,3,5/2)} Plantilla:DCD	Archiu:Snub dodecadodecahedron.png sr{5,5/2} Plantilla:DCD	Archiu:Snub icosidodecadodecahedron.png s{(3,5,5/3)} Plantilla:DCD	Archiu:Great snub icosidodecahedron.png sr{5/2,3} Plantilla:DCD
Archiu:Inverted snub dodecadodecahedron.png sr{5/3,5} Plantilla:DCD	Archiu:Great snub dodecicosidodecahedron.png s{(5/2,5/3,3)} Plantilla:DCD	Archiu:Great inverted snub icosidodecahedron.png sr{5/3,3} Plantilla:DCD	Archiu:Small retrosnub icosicosidodecahedron.png s{(3/2,3/2,5/2)}	Archiu:Great retrosnub icosidodecahedron.png s{3/2,5/3} Plantilla:DCD

Politopos i panales romos de dimensions superiors de Coxeter

En general, un policoro regular en símbol de Schläfli $\left\{\begin{array}{c}p,q,r\end{array}\right\}$ i diagrama de Coxeter-Dynkin Plantilla:DCD té un achatado en símbol de Schläfli $s\left\{\begin{array}{c}p,q,r\end{array}\right\}$ i Plantilla:DCD.

Un policoro rectificat $\left\{\begin{array}{c}p\\ q,r\end{array}\right\}$ = r{p,q,r}, i Plantilla:DCD té el achatado de símbols $s\left\{\begin{array}{c}p\\ q,r\end{array}\right\}$ = sr{p,q,r}, i Plantilla:DCD.

Eixemples

Proyecció ortogonal d'un 24-celes romo

Solament hi ha un achatado convexo uniforme en 4 dimensions, el 24-celes romo. l'icositetracoron normal té símbol de Schläfli, $\left\{\begin{array}{c}3,4,3\end{array}\right\}$ i diagrama de Coxeter-Dynkin Plantilla:DCD, i el 24-celes romo està representat per $s\left\{\begin{array}{c}3,4,3\end{array}\right\}$, i el diagrama de Coxeter-Dynkin Plantilla:DCD. També té construccions de simetria inferior d'índex 6 com $s\left\{\begin{array}{c}3\\ 3\\ 3\end{array}\right\}$ o s{3^1,1,1} i Plantilla:DCD, i subsimetría d'índex 3 com $s\left\{\begin{array}{c}3\\ 3,4\end{array}\right\}$ o sr{3,3,4} i Plantilla:DCD o Plantilla:DCD.

El panal de 24-celes romo relacionat es pot vore com $s\left\{\begin{array}{c}3,4,3,3\end{array}\right\}$ o s{3,4,3,3}, i Plantilla:DCD, i la simetria inferior $s\left\{\begin{array}{c}3\\ 3,4,3\end{array}\right\}$ o sr{3,3,4,3} i Plantilla:DCD o Plantilla:DCD, i la forma de simetria inferior com $s\left\{\begin{array}{c}3\\ 3\\ 3\\ 3\end{array}\right\}$ o s{3^1,1,1,1} i Plantilla:DCD.

Un panal euclídeo és un panal de llosa hexagonal alternada, s{2,6,3} i Plantilla:DCD o sr{2,3,6} i Plantilla:DCD o sr{2,3^[3]} i Plantilla:DCD.

Un atre panal euclídeo (escaliforme) és un panal de llosa quadrada alternada, s{2,4,4} i Plantilla:DCD o sr{2,4^1,1} i Plantilla:DCD:

L'únic panal uniforme hiperbòlic romo uniforme és el panal de llosa hexagonal romo, com a s{3,6,3} i Plantilla:DCD, que també es pot construir com panal de teselado hexagonal alternat, h{6,3,3}, Plantilla:DCD. També es construïx com a s{3^[3,3]} i Plantilla:DCD.

Un atre panal hiperbòlic (escaliforme) és el panal octaèdric d'orde-4 romo, s{3,4,4} i Plantilla:DCD.

Vore també

• Poliedre romo

Bibliografia

• “Uniform polyhedra” (1954). Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Séries A. Mathematical and Physical Sciences 246 (916): 401–450. The Royal Society. doi:10.1098/rsta.1954.0003. ISSN 0080-4614. Bibcode: 1954RSPTA.246..401C.
• Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, Plantilla:Isbn (pp. 154–156 8.6 Partial truncation, or alternation)
• Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Àsia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, Plantilla:Isbn [1]
• Archivat el 11 de juliol de 2016 archivat en Wayback Machine., Googlebooks [2]
  • (Paper 17) Coxeter, The Evolution of Coxeter–Dynkin diagrams, [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233–248]
  • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999, Plantilla:Isbn (Chapter 3: Wythoff's Construction for Uniform Polytopes)
• Norman Johnson Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
  • N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, Plantilla:Isbn
• Plantilla:Mathworld
• Richard Klitzing, Snubs, alternated facetings, and Stott–Coxeter–Dynkin diagrams, Symmetry: Culture and Science, Vol. 21, No.4, 329–344, (2010) [3]