Sòlit de Johnson

La girobicúpula quadrada elongada (J₃₇), un sòlit de Johnson.

Este eixemple de 26 vèrtiços no és un sòlit de Johnson perque no és estrictament convexo (té ànguls diedros de 180°).

Este eixemple d'estrela octángula no és un sòlit de Johnson perque no és convexo.

En geometria, un sòlit de Johnson és un poliedre estrictament convexo, i cada una de les seues cares és un polígon regular. Per una atra part, no és un dels sòlits platònics, ni un dels sòlits arquimedianos, ni un prisma ni un antiprisma. No es requerix que totes les cares siguen un mateix polígon, o que polígons del mateix tipo s'unixquen pels vèrtiços. Un eixemple de sòlit de Johnson és la piràmide de base quadrada en costats equiláteros J₁, que presenta una cara quadrada i quatre triangulars.

En un sòlit convexo estricte, a lo manco tres cares concorren a un vèrtiç, i el total dels seus ànguls és menor a 360°. Ya que un polígon regular té ànguls d'a lo manco 60°, com a molt poden concórrer cinc cares en cada vèrtiç. La piràmide de base pentagonal (J₂) és un eixemple de grau 5 (màxim).

Encara que no existixen restriccions respecte a que un determinat polígon forme una cara d'un sòlit de Johnson, els polígons aplicables sempre tenen 3, 4, 5, 6, 8 o 10 costats.

Història

En 1966 el matemàtic nortamericà Norman Johnson va publicar una llista de 92 sòlits, donant-los nom i número. Encara que no va provar l'impossibilitat de que existiren atres sòlits, va fer tal conjectura, i en 1969 Victor Zalgaller va demostrar que la llista era completa.

Entre els sòlits enumerats, la girobicúpula quadrada elongada (J₃₇) resulta única per tindre vèrtiços uniformes; quatre cares concorren a cada vèrtiç i la seua disposició és sempre la mateixa: tres quadrats i un triàngul.

Nomenclatura

Els noms llistats són més descriptivos de lo que puga semblar a simple vista. La majoria dels sòlits de Johnson poden construir-se afegint una o més piràmides, cúpules o rotondes en una de les cares d'un prisma o antiprisma.

Es denomina cúpula al poliedre que té dos polígons regulars paralels, units lateralment per triànguls equiláteros i quadrats alternant-se uns i uns atres.
La rotonda dispon també, com la cúpula, de dos polígons regulars paralels, pero s'unixen lateralment per triànguls i pentàgons alternats.

Junt a estos tres poliedres es poden utilisar per a la construcció dels sòlits de Johnson; els sòlits platònics, de Arquímedes, prismes i antiprismas.

El modo en que es combinen els distints sòlits, es reflectixen en el seu nom per mig dels següents térmens i sufixos:

Bi- significa que hi ha dos còpies d'un sòlit dau unides base en base. En el cas de les cúpules i rotondes, es poden unir de manera que es troben cares similars (orto-) o disimilares (gir-). Segons esta nomenclatura, un octaedre seria una bipirámide quadrada, un cuboctaedro seria una girobicúpula triangular i un icosidodecaedro seria una girobirrotonda pentagonal.
Elongado significa que s'ha unit un prisma a la base d'un sòlit dau o entre les bases que formen un sòlit dau. Segons esta nomenclatura, un rombicuboctaedro seria una ortobicúpula quadrada elongada.
Giroelongado significa que s'ha unit un antiprisma a la base d'un sòlit dau o entre les bases que formen un sòlit dau. Un icosaedre seria una bipirámide pentagonal giroelongada.
Aumentat significa que s'ha unit una piràmide o cúpula a una de les cares del sòlit dau.
Disminuït significa que s'ha llevat una piràmide o cúpula d'un sòlit dau.
Giroide significa que s'ha rotado una cúpula del sòlit de manera que encaixe de forma distinta. Un eixemple està en la diferència entre les orto- i les girobicúpulas.

Les tres últimes operacions — aumente, disminució i gir — es poden realisar més d'una volta en un sòlit lo suficientment gran. Si s'ha realisat una d'estes operacions dos voltes, s'indica en el prefix bi- (per eixemple, un bigiroide és un sòlit que té dos de les seues cúpules rotadas); i si s'ha realisat tres voltes s'indica en el prefix tri- (per eixemple, un sòlit tridisminuido és aquell al que se li han llevat tres de les seues piràmides o cúpules).

A voltes els prefixos bi- i tri- donen lloc a ambigüitat. En el cas de que siga necessari distinguir entre un sòlit al que s'han alterat dos cares paraleles i un al que s'han alterat dos cares oblicuas, s'indica la diferència en els prefixos per a- i meta-, respectivament. Per eixemple, un sòlit parabiaumentado és aquell al que s'han aumentat dos cares paraleles, mentres que a un sòlit metabiaumentado se li han aumentat dos cares oblicuas.

Vore també

Referències

Norman Johnson, "Convex Solids with Regular Faç", Canadian Journal of Mathematics, 18, 1966, pg. 169–200. Enumeració original dels 92 sòlits, i conjectura sobre que no existixen uns atres.
Victor A. Zalgaller (1969). Consultants Bureau (ed.). Convex Polyhedra with Regular Faç. Primera prova de que solament hi ha 92 sòlits de Johnson.

Este artícul conté una traducció derivada de «Sólido de Johnson» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.