Teselado uniforme

En geometria, un teselado uniforme és un tipo de teselado del pla per mig de polígons regulars, que deuen ser necessàriament vèrtiç transitivos.

Poden existir teselados uniformes tant en el pla euclídeo com en pla hiperbòlic. Els teselados uniformes estan relacionats en el poliedres uniformes finitos, que poden considerar-se teselados uniformes de l'esfera.

La majoria dels teselados uniformes es poden generar a partir d'una construcció de Wythoff, començant en un grup de simetria i un punt generador singular dins de domini fonamental. Un grup de simetria plana té un domini fonamental poligonal i pot representar-se per mig del nom del grup denotat a la seua volta per l'orde dels espills en vèrtiços seqüencials.

Un triàngul de domini fonamental és (p q r), i un triàngul rectàngul (p q 2), a on p, q, r són número entero majors que 1. El triàngul pot ser esfèric, un triàngul pla euclídeo o un triàngul pla hiperbòlic, depenent dels valors de p, q i r.

Existixen vàries classes de símbols per a denominar a estes figures, a partir d'un símbol de Schläfli modificat per a dominis de triànguls rectànguls: (p q 2) → {p, q}. El diagrama de Coxeter-Dynkin és un gràfic triangular en p, q, r etiquetats en les arestes. Si r = 2, la gràfica és llineal, ya que els nodos del domini d'orde 2 no generen reflexions. El símbol de Wythoff pren els 3 número entero i els separa per una barra vertical (|). Si el punt del generador està fòra de l'espill opost a un nodo de domini, s'indica abans de la barra.

Finalment, els teselados es poden descriure pel seu configuració de vèrtiços, la seqüència de polígons al voltant de cada vèrtiç.

Tots els teselados uniformes es poden construir a partir de vàries operacions aplicades als teselados regulars. Estes operacions, segons la nomenclatura ideada per Norman Johnson, es denominen truncació (tallat de vèrtiços), rectificació (tallat de vèrtiços fins a fer desaparéixer les arestes originals) i canteado (tallat d'arestes). l'omnitruncamiento és una operació que combina truncació i canteado. El achatado és una operació de truncació alternada de la forma omnitruncada (vore poliedre uniforme per a obtindre més detalls).

Grups de Coxeter

Els grups de Coxeter per al pla definixen la construcció de Wythoff i poden representar-se per mig dels diagrames de Coxeter-Dynkin:

Els grups en órdens sancers són els següents:

Pla euclídeo
Simetria orbifold	Grup de Coxeter			Diagrama de Coxeter	Notes
Compacte
*333	(3 3 3)	${\tilde{A}}_{2}$	[3^[3]]	Plantilla:DCD	3 formes de reflexió, 1 roma
*442	(4 4 2)	${\tilde{B}}_{2}$	[4,4]	Plantilla:DCD	5 formes de reflexió, 1 roma
*632	(6 3 2)	${\tilde{G}}_{2}$	[6,3]	Plantilla:DCD	7 formes de reflexió, 1 roma
*2222	(∞ 2 ∞ 2)	${\tilde{I}}_{1}$ × ${\tilde{I}}_{1}$	[∞,2,∞]	Plantilla:DCD	3 formes de reflexió, 1 roma
No compacte (friso)
*∞∞	(∞)	${\tilde{I}}_{1}$	[∞]	Plantilla:DCD
*22∞	(2 2 ∞)	${\tilde{I}}_{1}$ × ${\tilde{A}}_{2}$	[∞,2]	Plantilla:DCD	2 formes de reflexió, 1 roma

Pla hiperbòlic
Simetria orbifold	Grup de Coxeter		Diagrama de Coxeter	Notes
Compacte
*pq2	(p q 2)	[p,q]	Plantilla:DCD	2(p+q) < pq
*pqr	(p q r)	[(p,q,r)]	Plantilla:DCD	pq+pr+qr < pqr
Paracompacto
*∞p2	(p ∞ 2)	[p,∞]	Plantilla:DCD	p>=3
*∞pq	(p q ∞)	[(p,q,∞)]	Plantilla:DCD	p,q>=3, p+q>6
*∞∞p	(p ∞ ∞)	[(p,∞,∞)]	Plantilla:DCD	p>=3
*∞∞∞	(∞ ∞ ∞)	[(∞,∞,∞)]	Plantilla:DCD

Teselados uniformes del pla euclídeo

Vore també: Anex:Teselados k-uniformes

Erro al crear miniatura:

El teselado triangular allargat, l'únic teselado uniforme convex no wythoffiano

Hi ha grups de simetria en el pla euclidiano construïts a partir de triànguls fonamentals: (4 4 2), (6 3 2) i (3 3 3). Cada u està representat per un conjunt de llínees de reflexió que dividixen el pla en triànguls fonamentals.

Estos grups de simetria creen 3 teselados regulars i 7 semirregulares. Varis dels teselados semirregulares es repetixen a partir de diferents constructors de simetria.

Un grup de simetria prismàtica denotat (2 2 2 2) està representat per dos conjunts d'espills paralels, que en general poden tindre un domini fonamental rectangular. No genera nous teselados.

Un atre grup de simetria prismàtica representat per (∞ 2 2) té un domini fonamental infinit. Construïx dos teselados uniformes, el prisma apeirogonal i l'antiprisma apeirogonal.

El apilamiento de les cares finitas d'estos dos teselados prismàtics construïx un teselado uniforme no wythoffiano del pla. Es diu teselado triangular elongado i està compost per capes alternes de quadrats i triànguls.

Triànguls fonamentals rectànguls: (p q 2)

(p q 2)	Triànguls fonamentals	Original	Truncat	Rectificat	Bitruncado	Birrectificado (dual)	Canteado	Omnitruncado (Cantitruncado)	Romo
Construcció de Wythoff		q &#; p 2	2 q &#; p	2 &#; p q	2 p &#; q	p &#; q 2	p q &#; 2	p q 2 &#;	&#; p q 2
Símbol de Schläfli		{p,q}	t{p,q}	r{p,q}	2t{p,q}=t{q,p}	2r{p,q}={q,p}	rr{p,q}	tr{p,q}	sr{p,q}
Diagrama de Coxeter-Dynkin		Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD
Configuració de vèrtiços		p^q	q.2p.2p	(p.q)²	p. 2q.2q	q^p	p. 4.q.4	4.2p.2q	3.3.p. 3.q
Teselado quadrat (4 4 2)	Erro al crear miniatura: Plantilla:0	{4,4}	Erro al crear miniatura: 4.8.8	Erro al crear miniatura: 4.4.4.4	Erro al crear miniatura: 4.8.8	Erro al crear miniatura: {4,4}	4.4.4.4	Erro al crear miniatura: 4.8.8	Erro al crear miniatura: 3.3.4.3.4
Teselado hexagonal (6 3 2)	Plantilla:0	{6,3}	Erro al crear miniatura: 3.12.12	3.6.3.6	6.6.6	{3,6}	Erro al crear miniatura: 3.4.6.4	4.6.12	Erro al crear miniatura: 3.3.3.3.6

Triànguls fonamentals generals: (p q r)

Construcció de Wythoff (p q r)	Triànguls fonamentals	q &#; p r	r q &#; p	r &#; p q	r p &#; q	p &#; q r	p q &#; r	p q r &#;	&#; p q r
Diagrama de Coxeter-Dynkin		Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD
Configuració de vèrtiços		(p.q)^r	r.2p.q.2p	(p.r)^q	q.2r.p. 2r	(q.r)^p	q.2r.p. 2r	r.2q.p. 2q	3.r.3.q.3.p
Triangular (3 3 3)	Plantilla:0	Erro al crear miniatura: (3.3)³	Erro al crear miniatura: 3.6.3.6	Erro al crear miniatura: (3.3)³	3.6.3.6	Erro al crear miniatura: (3.3)³	Erro al crear miniatura: 3.6.3.6	Erro al crear miniatura: 6.6.6	Erro al crear miniatura: 3.3.3.3.3.3

Dominis fonamentals no simples

L'únic domini fonamental possible en l'espai euclídeo bidimensional que no és un símplex és el rectàngul (∞ 2 ∞ 2), en diagrama de Coxeter-Dynkin: Plantilla:DCD. Totes les formes generades a partir d'ell es convertixen en teselados quadrats.

Vore també

Referències

Bibliografia

Harold Scott MacDonald Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller, Poliedres uniformes, 'Phil. Trans. 1954, 246 A, 401-50; (Taula 8) Plantilla:JSTOR
Norman Johnson Politopos uniformes, Manuscrit (1991)
- N.W. Johnson: La teoria dels politopos uniformes i els panales, Ph.D. Dissertació, Universitat de Toronto, 1966
(1987) Tilings and Patterns, W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-1193-1. (secció 12.3 de teselados d'estreles)

Este artícul conté una traducció derivada de «Teselado uniforme» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.