Símbol de Wythoff
En la geometria, el símbol de Wythoff és una notació representant una construcció de Wythoff d'un poliedre uniforme o una teselación del pla dins d'un triàngul de Schwarz. Va ser utilisat per primera volta per Coxeter, Longuet-Higgins i Miller en la seua enumeració dels poliedres uniformes. Més vesprada, el diagrama de Coxeter es va desenrollar per a denotar politopos i panales uniformes en l'espai n-dimensional construïts a partir d'un símplex fonamental.
Un símbol de Wythoff consta de tres números i una barra vertical. Representa un poliedre o mosaic uniforme, encara que el mateix mosaic/poliedre pot tindre diferents símbols de Wythoff a partir de diferents generadors de simetria. Per eixemple, el gaveta regular es pot representar per 3 | 2 4 a partir de la seua simetria Oh, per 2 | 4 2 en representar-se com un prisma quadrat en 2 colors i simetria D4h, aixina com per 2 2 2 | en representar-se com una figura en 3 colors i simetria D2h.
En una llaugera extensió, el símbol de Wythoff pot aplicar-se a tots els poliedres uniformes. No obstant, els métodos de construcció no produïxen totes les teselaciones uniformes en l'espai euclídeo o hiperbòlic.
Descripció
[editar | editar còdic]La construcció de Wythoff comença en elegir un punt generador en un triàngul fonamental. Si la distància d'este punt des de cada u dels costats no és zero, el punt deu elegir-se per a que estiga a una distància igual de cada vora. Després, es deixa caure una llínea perpendicular entre el punt generador i cada cara en la que no es troba.
Els tres números en el símbol de Wythoff, p, q i r, representen els cantons del triàngul de Schwarz utilisades en la construcció, que són Plantilla:Frac, Plantilla:Frac, i Plantilla:Frac radianes respectivament. El triàngul també es representa en els mateixos números, escrits (p q r). La barra vertical en el símbol especifica una posició categòrica del punt generador dins del triàngul fonamental d'acort en lo següent:
- p | q r indica que el generador es troba en el cantó p,
- p q | r indica que el generador es troba en la vora entre p i q,
- p q r | indica que el generador es troba en l'interior del triàngul.
En esta notació, els espills estan etiquetats per l'orde de reflexió del vèrtiç opost. Els valores p, q, r s'enumeren abans de la barra si l'espill corresponent està actiu.
Un us especial és el símbol | p q r, que es designa per al cas a on tots els espills estan actius, pero les imàgens reflectides en número impar s'ignoren. La figura resultant solament té simetria rotacional.
El punt generador pot estar encés o apagat en cada espill, activat o no. Esta distinció crea 8 (2³) formes possibles, exceptuant una a on el punt generador està en tots els espills.
El símbol de Wythoff és funcionalmente similar al diagrama més general de Diagrama de Coxeter-Dynkin, en el que cada nodo representa un espill i els arcs entre ells, marcats en números, els ànguls entre els espills. (S'omet un arc que representa un àngul recte.) Un nodo es tanca en un círcul si el punt generador no està en l'espill.
Eixemples de teselaciones esfèriques, eucliídeas i hiperbòliques en triànguls rectànguls
[editar | editar còdic]Els triànguls fonamentals es dibuixen en colors alterns com a imàgens espill. La seqüència de triànguls (p 3 2) canvia d'esfèrica (p = 3, 4, 5) a eucliídea (p = 6) a hiperbòlica (p ≥ 7). Les teselaciones hiperbòliques es mostren com una proyecció de disc de Poincaré .
Vore també
[editar | editar còdic]- Politopo regular
- Poliedre regular
- Llista de teselaciones uniformes
- Teselaciones uniformes en el pla hiperbòlic
- Llista de poliedres uniformes
- Llista de poliedres uniformes per triàngul de Schwarz
- Llistes de teselaciones uniformes en l'esfera, el pla i el pla hiperbòlic
Referències
[editar | editar còdic]- Coxeter Regular Polytopes, tercera edició, (1973), edició de Dover, ISBN 0-486-61480-8 (Capítul V: El Caleidoscopio, Secció: 5.7 Construcció de Wythoff)
- Coxeter La bellea de la geometria: dotze ensajos, Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8 (Capítul 3: Construcció de Wythoff per a politopos uniformes)
- Coxeter, Longuet-Higgins, Miller, Poliedres uniformes, Phil. Trans. 1954, 246 A, 401–50.
- Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models, Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9. Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models, Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9. Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models, Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9. pàgines. 9-10.
- Este artícul conté una traducció derivada de «Símbolo de Wythoff» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.