Reflexió esgolada

Concepte d'una reflexió esgolada: està composta d'una reflexió respecte a una recta i d'una translació paralela a la citada recta

Ya que esta chafada de chafada té simetria de reflexió esgolada, l'aplicació de l'operació farà que cada chafada esquerra corresponga en una chafada dreta, i que cada chafada dreta coincidixca en una chafada esquerra, donant lloc a una configuració final que és indistinguible de l'original

En geometria bidimensional, una reflexió esgolada (també traslareflexión, reflexió deslizante o reflexió en esmonyida) és una operació de simetria que consistix en aplicar successivament una reflexió respecte a una recta i una translació en el sentit d'eixa mateixa recta, combinades en una sola operació. Els objectes en simetria d'esmonyida, en general, no són simètrics respecte a una reflexió. En teoria de grups, el pla d'esmonyida es classifica com un tipo d'isometría oposta bidimensional.

La successió de reflexions esgolades està relacionada en la generació de frisos. Un reflex esgolat es pot vore com un cas llímit d'una rotoreflexión, quan la rotació es convertix en una translació. Segons la notació de Schoenflies, es descriu com a S_2∞, en la notació de Coxeter té la forma [∞⁺, 2⁺]; i en la notació orbifold s'escriu com ∞ ×.

Descripció

La combinació d'una reflexió respecte a una recta i una translació en una direcció perpendicular, es convertix en una reflexió equivalent respecte a una recta paralela a l'original. No obstant, una reflexió esgolada no pot ser reduïda d'eixa manera. Per lo tant, l'efecte d'una reflexió combinada en una translació qualsevol és una reflexió esgolada, en un sol cas especial reducible a una nova reflexió. Estos són els dos tipos d'isometría en 2D indirectes.

Per eixemple, existix una isometría que consistix en la reflexió sobre l'eix x, seguida de la translació d'una unitat paralela a ella. En coordenades cartesianas, s'expressa com

(x, i) → (x+1, -i).

Esta aplicació conserva el paralelisme entre rectes paraleles.

El grup d'isometría generat per una única reflexió esgolada és un grup cíclico infinit.

La combinació de dos reflexions d'esmonyida iguals genera una translació pura, en un vector de translació que és el doble del desplaçament de la reflexió esgolada, per lo que les combinacions pares de reflexions esgolades formen un grup de translacions.

En el cas de la simetria de reflexió deslizante, el grup de simetria d'un objecte conté una reflexió esgolada i, per lo tant, el grup generat per esta. Si això és tot lo que conté, este tipo de moviment es classifica com un friso p11g.

Eixemple de patró en este grup de simetria:

Grup friso n. 6 (reflexions d'esmonyida, translacions i rotacions) es genera per mig d'una reflexió esgolada i una rotació al voltant d'un punt en la llínea de reflexió. És isomorfo a un producte semidirecto de Z i C₂.

Eixemple de patró en este grup de simetria:

Un eixemple típic de reflexió esgolada en la vida quotidiana serien les chafades deixades en l'arena per una persona que camina en una plaja.

Per a qualsevol grup de simetria que continga alguna simetria de reflexió esgolada, el seu vector de translació associat és la mitat d'un element del grup de translació. Si el vector de translació d'una reflexió esgolada és en sí mateixa un element del grup de translació, llavors la simetria de reflexió esgolada corresponent es reduïx a una combinació d'eix de simetria i simetria traslacional.

La simetria de reflexió deslizante sobre dos llínees paraleles en la mateixa translació implica que també hi ha simetria traslacional en la direcció perpendicular a estes llínees, en una distància de translació que és el doble de la distància entre les llínees de reflexió esgolada. Açò correspon al grup del paper pintat pg; també es dona en simetria adicional en pmg, pgg i p4g.

Si també hi ha llínees de reflexió verdaderes en la mateixa direcció, llavors estan espayades uniformemente entre les llínees de reflexió esgolades. Una llínea de reflexió esgolada paralela a una llínea de reflexió verdadera implica esta situació. Açò correspon al grup de paper pintat cm. La simetria de translació ve donada pels vectores de translació oblicuos d'un punt en una llínea de reflexió verdadera a dos punts en el següent, recolzant un rombo en la llínea de reflexió verdadera com una de les diagonals. En simetria adicional, també ocorre en cmm, p3m1, p31m, p4m i p6m.

En 3D, la reflexió esgolada es denomina pla d'esmonyida. És un reflex en un pla combinat en una translació paralela al pla.

Grups del paper pintat

En el pla euclídeo, 3 de 17 elements del grup del paper pintat requerixen generadors de reflexió esgolada. L'element p2gg posseïx reflexions esgolades ortogonals i rotacions de dos lòbuls. L'element cm posseïx simetria d'esmonyida paraleles, i pg posseïx esmonyides paraleles (les reflexions d'esmonyida es mostren a continuació com a llínees discontínues)

Grup del paper pintat. Dominis de cela i dominis fonamentals (groc)

Nom cristalográfico	pgg	cm	pg
Nom de Conway	22×	×	××
Diagrama		Erro al crear miniatura:	Archiu:Wallpaper group diagram pg.svg
Eixemple	Archiu:SymBlend pgg.svg	Archiu:SymBlend cm.svg	Archiu:SymBlend pg.svg

Vore també

• Eix helicoidal, pla d'esmonyida per a les operacions de simetria 3D corresponents