Punt antipodal

Archiu:Digon on circle.png

Els punts antipodales en un círcul estan alluntats 180 graus.

En matemàtiques, el punt antipodal d'un punt en la superfície d'una esfera és el punt que és diametralment opost a ell, de modo que una llínea traçada d'un a un atre passa a través del centre de l'esfera i forma un diàmetro verdader.

Este terme s'aplica als punts oposts en un círcul o qualsevol n-esfera.

A un punt antipodal a voltes es diu una antípoda, una derivació regresiva d'un préstam llingüístic del grec antipodas, que originalment significava "opost als peus".

Teoria

En matemàtiques, el concepte de punts antipodales es generalisa a esferas de qualsevol dimensió: dos punts en una esfera són antípodes si són oposts a través del centre; Per eixemple, prenent el centre com a orige, són punts en vectores relacionats v i -v. En un círcul, estos punts també es diuen diametralment oposts. En atres paraules, cada recta que passa a través del centre es interseca en l'esfera en dos punts, un per cada direcció cap a fòra del centre, i estos dos punts són antípodes.

El teorema de Borsuk-Ulam és un resultat de la topología algebraica que tracta en tals parells de punts. Diu que qualsevol funció contínua de Sⁿ a Rⁿ mapea un parell de punts antipodales en Sⁿ al mateix punt en Rⁿ. Ací, Sⁿ denota l'esfera n-dimensional en l'espai (n + 1)-dimensional (a on l'esfera "ordinària" és S2 i un círcul és S1).

La aplicació antipodal A: Sⁿ → Sⁿ, definida per A(x) = -x, envia cada punt de l'esfera al seu punt antipodal. És homotópico al mapa d'identitat si n és impar, i el seu grau és (-1)ⁿ⁺¹.

Parell de punts antipodales en un polígon convexo

Un parell antipodal en un polígon convexo és un parell de punts que admeten infinites llínees paraleles que són tangentes a abdós punts, inclosos en el antipodal, sense creuar cap atra llínea del polígon convexo.

Referències

• Plantilla:Enciclopèdia Britànica 1911